從解決數(shù)學(xué)問題出發(fā)認(rèn)識(shí)計(jì)算思維

鄭興航 江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)

我國(guó)大學(xué)計(jì)算機(jī)專業(yè)許多在起始階段都?xì)w在數(shù)學(xué)系，后來才逐漸分離獨(dú)立，這種現(xiàn)象說明計(jì)算機(jī)學(xué)科的誕生和數(shù)學(xué)學(xué)科有著千絲萬縷的聯(lián)系。計(jì)算思維概念脫胎于計(jì)算機(jī)專業(yè)，而數(shù)學(xué)思維概念的提出則源于數(shù)學(xué)。筆者發(fā)現(xiàn)，從對(duì)數(shù)學(xué)問題解決過程入手，師生比較容易辨清與把握計(jì)算思維實(shí)質(zhì)。

筆者所在學(xué)校信息技術(shù)課程“數(shù)據(jù)與計(jì)算”模塊主要采用項(xiàng)目方式組織學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)。第一階段以使用海倫公式求三角形面積作為樣例貫穿教學(xué)始終，隨著預(yù)設(shè)條件不斷增加，順序、分支、循環(huán)、面向過程與面向?qū)ο缶幊痰戎R(shí)應(yīng)用被漸進(jìn)嵌入到項(xiàng)目中。第二階段為基本算法進(jìn)階，力圖通過不同問題的解決，幫助學(xué)生了解窮舉、回溯和二分等算法的基本思想。

學(xué)生以Python語言為背景，首先學(xué)習(xí)賦值、輸出語句的書寫格式，了解語句含義。為幫助學(xué)生掌握順序結(jié)構(gòu)編程的方法，教師布置了一道思維上沒有難度的基礎(chǔ)訓(xùn)練題，要求學(xué)生在三條邊的長(zhǎng)度分別為5、6、7的條件下，用海倫公式編程求出三角形面積，并輸出結(jié)果，海倫公式由教師預(yù)先給出。為滲透模塊調(diào)用方法，本次編程需要在程序第一行，用import語句導(dǎo)入math模塊，以便在程序中順利使用sqrt函數(shù)。按照教師課前設(shè)想，學(xué)生編寫的代碼應(yīng)與圖1所示的程序類似。

圖1

剛剛學(xué)習(xí)編程，語句格式寫錯(cuò)是學(xué)生常犯的錯(cuò)誤。但在幫助學(xué)生調(diào)試程序的過程中，教師發(fā)現(xiàn)，一個(gè)班級(jí)經(jīng)常有5到6位同學(xué)編寫的程序就像圖2所示的程序一樣，單條語句并沒有錯(cuò)誤，但語句放置的順序不對(duì)，而且錯(cuò)誤雷同。課后與其他信息技術(shù)教師交流，他們反映其他班級(jí)也有類似現(xiàn)象。教師當(dāng)時(shí)只是將這種現(xiàn)象簡(jiǎn)單歸結(jié)為學(xué)生編程習(xí)慣還沒有養(yǎng)成。半年后在與數(shù)學(xué)老師的一次交流中，筆者突然認(rèn)識(shí)到這種現(xiàn)象的出現(xiàn)并不偶然，這不僅僅是學(xué)生對(duì)賦值語句沒有理解，而是與學(xué)生經(jīng)過多年的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)，已經(jīng)養(yǎng)成的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣有關(guān)。數(shù)學(xué)關(guān)注前后邏輯關(guān)系，強(qiáng)調(diào)由因到果，但在表達(dá)某個(gè)結(jié)論時(shí)，其涉及的約束條件經(jīng)常是放在后面做補(bǔ)充說明，對(duì)順序并不像程序設(shè)計(jì)要求那么嚴(yán)苛。

圖2

通過上述發(fā)生的教學(xué)事件，筆者認(rèn)為可以通過列舉一些數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生體悟數(shù)學(xué)思維與計(jì)算思維在問題解決中發(fā)揮的不同作用來認(rèn)識(shí)它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，從而加深學(xué)生對(duì)計(jì)算思維抽象與自動(dòng)化本質(zhì)的理解。

●通過解題步驟對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換感受數(shù)學(xué)思維與計(jì)算思維之間存在的差異

為幫助學(xué)生糾正前文提及的程序編寫錯(cuò)誤，在后來的教學(xué)中教師有意識(shí)地對(duì)原來的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了修改。增加教學(xué)環(huán)節(jié)，安排學(xué)生先在紙張上寫出數(shù)學(xué)解題的一般步驟，然后再啟發(fā)學(xué)生思考，這些解題步驟要轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)可以接受的程序，需要對(duì)數(shù)學(xué)的解題步驟做哪些變通與調(diào)整，即引導(dǎo)學(xué)生將思維方式從數(shù)學(xué)推理模式對(duì)應(yīng)遷移到應(yīng)用計(jì)算模式，同時(shí)畫出流程圖。在比較中理解程序設(shè)計(jì)中的p=(a+b+c)/2語句的本質(zhì)是指揮計(jì)算機(jī)從內(nèi)存調(diào)用已經(jīng)準(zhǔn)備好的變量a、b、c的值，在運(yùn)算器中按照一定規(guī)則進(jìn)行計(jì)算，再把結(jié)果存儲(chǔ)到變量p所表示的內(nèi)存中，與數(shù)學(xué)中所指的p=(a+b+c)/2有本質(zhì)不同。為此，在執(zhí)行p=(a+b+c)/2語句之前，需要先在內(nèi)存中開辟三個(gè)空間，分別命名為a、b、c，并用a=5,b=6,c=7三條賦值語句在這三個(gè)空間中存入具體數(shù)值。a、b、c、p代表的四個(gè)物理空間有了具體數(shù)值之后，才能應(yīng)用海倫公式計(jì)算三角形面積s。

能夠運(yùn)用順序結(jié)構(gòu)描述問題解決的一般步驟，并且認(rèn)識(shí)到用計(jì)算機(jī)處理問題一般要經(jīng)歷數(shù)據(jù)準(zhǔn)備、數(shù)據(jù)計(jì)算、輸出結(jié)果三個(gè)階段，標(biāo)示計(jì)算思維初步形成。

●問題解決不同階段，數(shù)學(xué)思維與計(jì)算思維互相支持，各自發(fā)揮獨(dú)特作用

組合數(shù)學(xué)是學(xué)生高中階段數(shù)學(xué)學(xué)科中需要學(xué)習(xí)的一個(gè)重要模塊。為得到組合數(shù)計(jì)算公式，數(shù)學(xué)教師授課一般會(huì)經(jīng)過下述步驟：

（1）引導(dǎo)學(xué)生通過若干案例分析，認(rèn)識(shí)加法與乘法原理；

（2）作為乘法原理的具體應(yīng)用，得到排列計(jì)算公式A(m,n）=m*(m-1)*......*(m-n+1)；

（3）在排列中去除有序性，順理成章得到組合數(shù)計(jì)算公式C(m,n)=m*(m-1)*......*(m-n+1)/n!=m!/(n!*(m-n)!)（公式一）；

（4）根據(jù)集合的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系得到公式C(m,n)=C(m,m-n)，再根據(jù)某一元素取與不取，根據(jù)元素分類原則，分類統(tǒng)計(jì)得到公式C(m,n)=C(m-1,n-1)+C(m-1,n)（公式二）。

教學(xué)過程中輔之若干具體應(yīng)用，數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)主體任務(wù)即算完成。在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生分類思考、分步計(jì)算、對(duì)應(yīng)變換等數(shù)學(xué)思維得到了訓(xùn)練與培養(yǎng)。

相同問題遷移到信息技術(shù)課堂，還要求學(xué)生對(duì)具體數(shù)值求出具體結(jié)果。學(xué)生需要接著思考用什么算法、程序如何編寫，才能將組合數(shù)結(jié)果計(jì)算出來。不同于數(shù)學(xué)中的“數(shù)”，計(jì)算機(jī)程序涉及的“數(shù)”是有具體數(shù)據(jù)范圍的，數(shù)據(jù)規(guī)?；蛴?jì)算結(jié)果較大有可能造成數(shù)據(jù)溢出。公式一計(jì)算直接用Python實(shí)現(xiàn)，整數(shù)較大時(shí)會(huì)自動(dòng)轉(zhuǎn)換為浮點(diǎn)數(shù)，會(huì)影響精度，需設(shè)計(jì)算法避免這種情況發(fā)生，如用高精度。用計(jì)算機(jī)解決問題不僅要考慮結(jié)果的正確性，在現(xiàn)實(shí)環(huán)境下，某些場(chǎng)景對(duì)計(jì)算速度和所占的空間大小要求嚴(yán)苛，為計(jì)算組合數(shù)，Python提供了多種計(jì)算方法，如遞歸、動(dòng)態(tài)規(guī)劃等，遞歸實(shí)現(xiàn)會(huì)出現(xiàn)重復(fù)計(jì)算，而動(dòng)規(guī)需要開設(shè)更多空間。兩種算法實(shí)現(xiàn)的具體程序如下頁圖3、圖4所示。

圖3

圖4

在組合數(shù)計(jì)算的這個(gè)例子中，數(shù)學(xué)思維體現(xiàn)在梳理問題內(nèi)在邏輯聯(lián)系、找出規(guī)律、列出公式。計(jì)算思維不僅關(guān)注數(shù)量關(guān)系，還關(guān)注初始數(shù)據(jù)的范圍、中間數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)，及思考由此帶來的不同空間與時(shí)間復(fù)雜度等，以及用不同算法把結(jié)果算出來的效率和效益。

●數(shù)學(xué)思維品質(zhì)提升改變計(jì)算思維方式

信息學(xué)奧林匹克競(jìng)賽的許多試題創(chuàng)意都是來源于日常生活，但欲求出最終結(jié)果，無論是數(shù)學(xué)模型建立，還是在空間與時(shí)間受到限制的條件下編程實(shí)現(xiàn)都不是一件容易的事情，需要較強(qiáng)的抽象思維能力及其他高階思維深度參與。例如，受廣場(chǎng)舞和走步鍛煉身體刷微信步數(shù)啟發(fā)，全國(guó)信息學(xué)奧林匹克聯(lián)賽就出過一道求“微信步數(shù)”試題，對(duì)原題改編，將多維降為二維，題目大意是：

地面上有一個(gè)n行、m列的田字格，喜歡走步刷微信的朋友小C準(zhǔn)備在這個(gè)田字格上按照一定規(guī)則走步鍛煉身體，具體規(guī)則由k個(gè)按順序排列的二維數(shù)組(c1,d1)、(c2,d2)、(c3,d3)、……(ck,dk)構(gòu)成，其中ci=x或y,x表示要求小C沿著橫向走，y表示沿著縱向走；di=1或者-1，表示向前或向后走一步。小C每天只選一個(gè)交叉點(diǎn)開始按規(guī)則走步，并不斷重復(fù)這個(gè)規(guī)則，直到他走出了場(chǎng)地范圍才結(jié)束一天的走步計(jì)劃（走完第k步后，若小C還在場(chǎng)地內(nèi)，他將重復(fù)規(guī)則繼續(xù)走下去，當(dāng)然也有可能永遠(yuǎn)結(jié)束不了）。小C每天走步所選的交叉點(diǎn)互不相同，很顯然完成全部計(jì)劃小C需要n*m天。問完成全部走步任務(wù)，小C總共走了多少步？如果完不成任務(wù)則輸出-1。

非常有意思，為鍛煉思維，從純數(shù)學(xué)角度看，這道試題可以成為小學(xué)生的分類思維題，將情境分成兩類：一類是可以結(jié)束的游戲，一類是無法結(jié)束的游戲。對(duì)于可以結(jié)束的類型，只要分點(diǎn)計(jì)算和統(tǒng)計(jì)，一定會(huì)得到明確結(jié)果；對(duì)于無法結(jié)束的游戲，引導(dǎo)學(xué)生找出內(nèi)在約束條件，即k步走步規(guī)則，分縱橫向，前進(jìn)與后退的步數(shù)總和均為零，而且在田字格中至少存在一點(diǎn)，從這一點(diǎn)出發(fā)，一輪走步結(jié)束后，小C仍然回到了原點(diǎn)。問題還可以再進(jìn)一步延伸討論，一輪走步走不出邊界的本質(zhì)，是從這一點(diǎn)出發(fā)，左右、上下移動(dòng)產(chǎn)生的位移的最大值都超越不了邊界。用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，即是對(duì)走步規(guī)則，先分橫向與縱向，再分左右與上下，順序統(tǒng)計(jì)求最大位移。

如果思考這道問題的對(duì)象是中學(xué)生，可引導(dǎo)學(xué)生換一個(gè)角度思考，在游戲結(jié)果不會(huì)出現(xiàn)-1的前提下，讓學(xué)生從單點(diǎn)求解、求和入手轉(zhuǎn)換為統(tǒng)一整體考慮，想象有n*m個(gè)人在田字格中按照規(guī)則同時(shí)走步，統(tǒng)計(jì)每一步走步人數(shù)，很顯然第一步走步人數(shù)為n*m,隨著規(guī)則的繼續(xù)，不斷有人走出邊界，人數(shù)持續(xù)減少。規(guī)則相同，用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，就是循環(huán)，直到所有人走出田字格，游戲結(jié)束。

思維品質(zhì)再一次提升到競(jìng)賽層次，尋找n*m個(gè)人走出田字格的內(nèi)在規(guī)律。

模擬第一輪走步，分縱橫向研究每一步產(chǎn)生的影響，發(fā)現(xiàn)縱橫向之間相互獨(dú)立。對(duì)橫向一行中的n個(gè)點(diǎn)，按照規(guī)則走到第i步時(shí)，向左側(cè)移動(dòng)積累的最大位移為li（負(fù)整數(shù)，即到第i步，每行有|li|個(gè)人已從左側(cè)走出了田字格）,向右側(cè)移動(dòng)積累的最大位移為ri（正整數(shù)，即到第i步，每行有ri個(gè)人已從右側(cè)走出了田字格）,一行剩下的n-ri+li個(gè)人下一步對(duì)走步貢獻(xiàn)就是n-ri+li；同理，對(duì)縱向一列的m個(gè)點(diǎn)，設(shè)到i步時(shí)，向下方移動(dòng)積累的最大位移為di（負(fù)整數(shù)，即到第i步，每列有|di|個(gè)人已從下方走出了田字格）,向上方移動(dòng)積累的最大位移為ui（正整數(shù)，即到第i步，每列有ui個(gè)人已從上方走出了田字格）,一列剩下的m-ui+di個(gè)人下一步對(duì)走步的貢獻(xiàn)就是m-ui+di。因此，走下一步時(shí)，田字格中剩下的總?cè)藬?shù)為（n-ri+li）*（n-ui+di），也是下一步對(duì)走步結(jié)果的的貢獻(xiàn)，i=0,1,2…k-1（i表示初始狀態(tài)或上一輪的集結(jié)狀態(tài)）統(tǒng)計(jì)求和，即得到第一輪所走的總步數(shù)。

第一輪走完，橫向整體產(chǎn)生的移動(dòng)距離用a表示，剩余人數(shù)為x=n-rk+lk；縱向整體產(chǎn)生的移動(dòng)用b表示，剩余人數(shù)為y=muk+dk。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，從第二輪開始，下面每一輪橫向走出田字格的人數(shù)均為|a|，縱向走出田字格的人數(shù)均為|b|。從第二輪開始，前i步橫向走出田字格的總?cè)藬?shù)用xi表示,縱向用yi表示。容易得到循環(huán)輪數(shù)為T=min(int(x/|a|),int(y/|b|))，用數(shù)學(xué)公式表達(dá)，第二輪開始所走的主要步數(shù)為：

x,a,y,b,xi(i=0,…,k-1),yi(i=0,…,k-1)的值，在編程計(jì)算時(shí)可先行預(yù)處理得到。歸納出一般的計(jì)算公式，數(shù)學(xué)思維的深度參與，使得這道題目的運(yùn)算規(guī)模從(n*m)2降到min(n,m)*k，從科學(xué)計(jì)算角度看，這是質(zhì)的躍升。

本題程序?qū)崿F(xiàn)所占篇幅較長(zhǎng)，有興趣的讀者可以登錄網(wǎng)站（https://www.luogu.com.cn/）查看。

●借助計(jì)算思維設(shè)計(jì)方案，解決數(shù)學(xué)疑難問題

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，有很多問題到目前還沒有確定的研究結(jié)果，用不完全歸納法去驗(yàn)證是常用的探索研究方法，但當(dāng)數(shù)據(jù)規(guī)模較大時(shí)，人工計(jì)算將是一件不可能完成的任務(wù)，如哥德巴赫猜想、旅行商問題等。哥德巴赫猜想任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，從數(shù)學(xué)角度思考，不完全歸納驗(yàn)證很簡(jiǎn)單，將給定的偶數(shù)a分解為兩個(gè)質(zhì)數(shù)b,c之和，所有情況一一列舉出來，如果有一種分解得到的b,c均是質(zhì)數(shù)，說明猜想對(duì)于具體的偶數(shù)是正確的。

隨著需驗(yàn)證數(shù)據(jù)規(guī)模的增大，用手工方法去計(jì)算，計(jì)算量越來越大，轉(zhuǎn)用計(jì)算機(jī)工具解決就變得相對(duì)簡(jiǎn)單。計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度快，善于處理規(guī)律性問題，在計(jì)算機(jī)可以處理的數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，首先把所有質(zhì)數(shù)預(yù)處理出來，存儲(chǔ)在特定空間中，并用循環(huán)對(duì)每一偶數(shù)窮舉所有分解并驗(yàn)證，微秒時(shí)間內(nèi)可得到結(jié)果。不過用計(jì)算機(jī)解析出所有質(zhì)數(shù)有多種算法，如試除法、埃氏篩、線性篩等，選擇不同算法對(duì)存儲(chǔ)空間和運(yùn)算速度會(huì)有不同影響。同一問題用不同算法分析解決是培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算思維的有效途徑（如圖5、圖6）。

圖5

圖6

通過對(duì)不同類型數(shù)學(xué)問題的討論，筆者發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)思維與計(jì)算思維之間既相互區(qū)別又緊密聯(lián)系。數(shù)學(xué)思維重在從現(xiàn)象背后找出一般規(guī)律，并力爭(zhēng)將結(jié)論用公式形式化表達(dá)出來。計(jì)算思維強(qiáng)調(diào)前期數(shù)據(jù)準(zhǔn)備，中間數(shù)據(jù)計(jì)算與存儲(chǔ)，后期數(shù)據(jù)輸出；針對(duì)具體數(shù)值，形式化表達(dá)的數(shù)學(xué)結(jié)論，在不同的計(jì)算思維方式指導(dǎo)下可以產(chǎn)生不同的計(jì)算實(shí)現(xiàn)方法。數(shù)學(xué)思維與計(jì)算思維在問題解決的不同階段可以各自發(fā)揮不同的作用；數(shù)學(xué)思維下思考難以完成的任務(wù)可以借助計(jì)算思維探索解決之道；數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升，對(duì)問題內(nèi)在規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，可以同步提升計(jì)算思維品質(zhì)。