壓電懸臂梁振動模糊滑?？刂?/h1>
2023-01-30 07:01:44陳紅霞劉文光方孟翔吳興意高銘陽馮逸亭
壓電與聲光 2022年6期
陳紅霞,劉文光,方孟翔,吳興意,高銘陽,馮逸亭
(南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，江西 南昌 330063)
0 引言
振動存在于飛行器的滑跑、起飛、飛行直至降落的整個過程。由于日益追求高性能、長續(xù)航和高穩(wěn)定性，故現(xiàn)代飛行器要求應(yīng)用輕質(zhì)和低阻尼結(jié)構(gòu)[1-2]。飛行器結(jié)構(gòu)(如飛機(jī)壁板和機(jī)翼)服役時，不但受振動載荷作用，且結(jié)構(gòu)振動自由衰減速度較慢，由此導(dǎo)致疲勞損傷，嚴(yán)重危及飛行器結(jié)構(gòu)的安全可靠性[3-4]。因此，為保障飛行器結(jié)構(gòu)的工作穩(wěn)定性和延長其使用壽命，研究結(jié)構(gòu)振動控制方法具有重要意義。
滑模控制是通過控制量的切換使系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面滑動[5]，使系統(tǒng)在受到參數(shù)攝動和外界干擾時具有良好的魯棒性，因而被研究者廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)振動控制中。潘成龍等[6]針對柔性自旋導(dǎo)彈振動問題設(shè)計(jì)了模糊滑模控制器，有效地抑制導(dǎo)彈尾部振動。董彬等[7]采用準(zhǔn)滑?？刂品椒p小了風(fēng)力機(jī)葉片在風(fēng)載荷作用下的振動位移，在結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定情況下該方法具有良好的魯棒性。Do等[8]開發(fā)了模糊滑?？刂破?，有效地抑制了汽車座椅懸架的振動，增強(qiáng)了系統(tǒng)對不確定性和干擾的魯棒性。Qiu等[9]提出了滑模預(yù)測控制方法，實(shí)現(xiàn)了壓電柔性懸臂板振動的快速抑制。與PID控制相比，該方法具有更好的控制性能。Qi等[10]提出了滑?？刂撇呗?，在存在時變測量延遲的情況下有效地抑制了亞音速壓電復(fù)合板的振動。袁明新等[11]設(shè)計(jì)了帶濾波的滑?？刂破鳎⒉捎萌诤显颇Ｐ秃头聪?qū)W習(xí)的克隆算法優(yōu)化滑模參數(shù)，有效地抑制鍛壓機(jī)沖擊對鍛造機(jī)器人造成的殘余振動。Li等[12]研究了受擾離散系統(tǒng)中存在的各種未知不確定性抖振問題，提出了基于切換的離散時間模糊滑?？刂品椒?，提高欠驅(qū)動機(jī)器人系統(tǒng)的控制性能。Xie等[13]設(shè)計(jì)了基于創(chuàng)新強(qiáng)化學(xué)習(xí)的模糊自適應(yīng)滑模控制器，在保持魯棒性的同時減小了抖振效應(yīng)。Song等[14]開發(fā)了分?jǐn)?shù)階積分模糊滑模控制方案，利用神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)逼近分?jǐn)?shù)子系統(tǒng)中存在的不確定非線性函數(shù)，使系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在有限時間內(nèi)收斂。Suilun等[15]針對具有障礙物約束、模型不確定性和分布擾動的非線性柔性懸臂梁系統(tǒng)，發(fā)明了基于自適應(yīng)非對稱障礙函數(shù)的滑?？刂坡桑瑢?shí)現(xiàn)了分布式干擾抑制和模型不確定性補(bǔ)償。Tian等[16]開發(fā)了積分終端滑模魯棒控制方法，抑制空間智能桁架結(jié)構(gòu)的受迫振動。
對振動滑?？刂埔延写罅垦芯?，但是對如何消除滑?？刂茙淼亩墩瘳F(xiàn)象研究較少。抖振不僅影響控制的精確性，而且易激起系統(tǒng)其他模態(tài)振動，破壞系統(tǒng)性能。因此，本文在采用滑?？刂埔种茟冶哿赫駝拥幕A(chǔ)上，引入模糊規(guī)則調(diào)節(jié)切換增益，利用飽和函數(shù)替換符號函數(shù)，以減小滑?？刂茙淼亩墩駟栴}。
1 壓電懸臂梁的有限元建模
1.1 壓電梁單元的建模
圖1為壓電懸臂梁幾何模型。在梁的根部上下表面貼壓電陶瓷分別作為作動器和傳感器。將壓電懸臂梁分為若干個梁單元，包括壓電梁單元以及基于Euler-Bernoulli理論假設(shè)的均質(zhì)梁單元。梁的總長為L，壓電梁單元長為le，壓電梁單元用于模擬壓電元件作為傳感器/作動器結(jié)合的區(qū)域，而梁的其余部分由均質(zhì)梁單元模擬。
圖1 壓電懸臂梁幾何模型
根據(jù)拉格朗日方程，可推導(dǎo)出均質(zhì)梁單元的運(yùn)動方程[17]為
(1)
式中：fb為均質(zhì)梁單元受到的外界力；qb為梁單元節(jié)點(diǎn)的位移矩陣；Mb，Kb分別為均質(zhì)梁單元的質(zhì)量陣、剛度陣，且有：
(2)
(3)
式中：ρb為均質(zhì)梁的密度；Ab為均質(zhì)梁單元的表面面積；Eb,Ib分別為均質(zhì)梁單元的彈性模量和轉(zhuǎn)動慣量；x為梁長度方向坐標(biāo)；N為梁單元形函數(shù)向量。
同理，可推導(dǎo)出壓電梁單元的運(yùn)動方程
(4)
式中：fp為壓電梁單元受到的外界力；qp為壓電梁單元節(jié)點(diǎn)的位移矩陣；Mp，Kp分別為壓電梁單元的質(zhì)量陣、剛度陣，且有：
(5)
(6)
式中：EI為壓電梁單元的等效抗彎剛度；A為壓電梁單元表面面積；ρ為壓電梁單元的密度。
1.2 壓電傳感與作動方程
懸臂梁振動時，傳感器層不受外場作用，粘貼于梁表面的壓電傳感器將會產(chǎn)生電荷，壓電傳感層兩個表面電極間的電壓Vs(t)為
(7)
(8)
式中:Cp為壓電傳感器電容;Q為電荷；b為寬度。
在壓電作動器上施加外部電壓Va，壓電片將產(chǎn)生形變抑制梁的振動，壓電梁單元產(chǎn)生的彎矩Ma為
(9)
作動器施加在壓電梁單元上產(chǎn)生的控制力為
fctrl=hVa
(10)
(11)
1.3 壓電懸臂梁的動力學(xué)方程
將壓電懸臂梁的單元剛度陣、單元質(zhì)量陣組裝成總質(zhì)量陣、總剛度陣，可推出考慮比例阻尼的壓電懸臂梁的運(yùn)動方程[18]為
(12)
式中：M,K分別為壓電懸臂梁總質(zhì)量矩陣和剛度矩陣;Fctrl為懸臂梁所受控制力。
整體節(jié)點(diǎn)位移列陣q和模態(tài)阻尼矩陣D分別為
(13)
D=αM+βK
(14)
式中：α，β為結(jié)構(gòu)阻尼常數(shù)；m為單元節(jié)點(diǎn)個數(shù)。
(15)
式中：系數(shù)A，B，C分別為輸入矩陣、輸出矩陣和傳輸矩陣；u(t)為輸入電壓；y(t)為輸出電壓。
2 壓電懸臂梁有限元模型的降階
利用平衡截?cái)喾ê喕瘔弘姂冶哿耗Ｐ涂傻玫较鄳?yīng)降階模型。當(dāng)方程(15)可控、可觀且漸進(jìn)穩(wěn)定時，則其可控Gramian矩陣Wc和可觀Gramian矩陣Wo都是正定的，且滿足Lyapunov方程[20]：
(16)
假設(shè)存在非奇異矩陣T1，使Wc=Wo且為對角陣，則系統(tǒng)內(nèi)部平衡，方程(15)可轉(zhuǎn)換為
(17)
當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)部平衡時有：
(18)
且λ1>λ2>…>λn，對角陣可寫成兩組奇異值的形式:
(19)
式中：λ(1)為要保留的可控性和可觀測性強(qiáng)的子系統(tǒng)；λ(2)為要刪除的可控性和可觀測性弱的子系統(tǒng)。
當(dāng)λ(1)取合適的階數(shù)時，該“強(qiáng)”子系統(tǒng)保持了原始系統(tǒng)的固有屬性。
將降階模型和殘差模型簡化為
(20)
式中(A11,B1)為最高可控性和可觀測性對。
3 模糊滑?？刂撇呗?/h2>3.1 滑模控制
利用滑?？刂茖Ｕ`差的不靈敏性設(shè)計(jì)主動控制器，存在線性時不變系統(tǒng)[21]：
(21)
式中A12X2為建模誤差。
滑模控制律由等效控制ueq和切換控制usw構(gòu)成。切換函數(shù)設(shè)計(jì)為
(22)
式中Cs為滑模面參數(shù)。
ueq=-KeqX1(t)
(23)
式中Keq為等效控制增益，且：
Keq=(CsB1)-1CsA11
(24)
定義Lyapunov函數(shù)：
(25)
到達(dá)條件為
(26)
usw=(CsB1)-1(-εsgns-ks)
(27)
式中：ε>0，k>0，ε為增益系數(shù)；k為指數(shù)趨近參數(shù)。增益系數(shù)ε必須滿足以下條件：
ε>‖CsA12X2‖
(28)
等效滑?？刂坡蔀?/p>
u=ueq+usw
(29)
則：
sCsB1[-KeqX1+(CsB1)-1(-εsgns-
ks)]+sCsA12X2+sCsA11X1=s(-
εsgns-ks+CsA12X2)≤-ε‖s‖-
k‖s‖2+‖s‖‖CsA12X2‖
(30)
3.2 模糊滑?？刂?/h3>
選用飽和函數(shù)sat(s)代替符號函數(shù)以降低滑模抖振。飽和函數(shù)為
(31)
式中飽和函數(shù)參數(shù)δ>0。
(32)
(33)
式中：NB為負(fù)大；NM為負(fù)??；ZO為零；PM為正小；PB為正大。
模糊系統(tǒng)的輸入輸出隸屬函數(shù)如圖2、3所示。模糊控制規(guī)則設(shè)計(jì)如表1所示。
圖2 輸入隸屬函數(shù)圖
圖3 輸出隸屬函數(shù)圖
表1 模糊控制規(guī)則表
(34)
式中G為比例系數(shù)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定。
根據(jù)式(30)可得：
k‖s‖2+‖s‖‖CsA12X2‖
(35)
圖4 模糊滑?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
4 結(jié)果與討論
通過COMSOL軟件建立壓電懸臂梁的有限元動力學(xué)模型，將壓電梁劃分為6個單元，對壓電懸臂梁的一端進(jìn)行完全固支，形成懸臂梁邊界條件。壓電懸臂梁的材料參數(shù)如表2所示。表3為計(jì)算與仿真固有頻率結(jié)果比較。由表可知兩者基本吻合。
表2 壓電懸臂梁的材料參數(shù)
表3 計(jì)算與仿真固有頻率結(jié)果比較
圖5為原系統(tǒng)和降階模型頻響曲線。由圖可知，壓電懸臂梁模型狀態(tài)從24階降到8階，兩者頻響曲線基本一致，說明降階模型與原系統(tǒng)具有相似的輸出特性，并保留了原系統(tǒng)的主要模態(tài)，該降階系統(tǒng)在頻域上對原系統(tǒng)有很好的近似效果，驗(yàn)證了降階方法的有效性。以降階模型為對象，在梁的自由端施加15 mm的初始位移激勵，利用仿真驗(yàn)證模糊滑?？刂破鞯挠行?。
圖5 原系統(tǒng)和降階模型頻響曲線
圖6為未控制時仿真結(jié)果。由圖可知，壓電懸臂梁在受到外界初始激勵作用下會產(chǎn)生較大振動，在自身阻尼的影響下2 s后停止。隨著振幅的減小，傳感器電壓逐漸減小。圖7為滑模控制參數(shù)k不同時曲線比較。圖8為滑模控制參數(shù)ε不同時曲線比較。由圖7、8可知，壓電懸臂梁施加滑模主動控制后，振動得到明顯抑制。當(dāng)ε=3時，指數(shù)趨近參數(shù)k值越大，振動抑制效果越好，但不能改善滑模抖振現(xiàn)象。k=5時，ε越大，曲線趨近于0時速度越快，振動抑制時間越短。
圖6 未控制時仿真結(jié)果
圖7 滑?？刂茀?shù)k不同時曲線比較
圖8 滑模控制參數(shù)ε不同時曲線比較
隨著ε的增大，施加在作動器上的控制電壓產(chǎn)生的抖振越明顯。指數(shù)趨近參數(shù)k主要影響趨近模態(tài)，ε主要影響滑動模態(tài)，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時，k值越大可使其快速到達(dá)滑模面。ε值越大,使系統(tǒng)狀態(tài)趨近于滑模面時的速度越大，且在滑模面滑動時抖振也越大。因此，選取合適的k和ε可使系統(tǒng)狀態(tài)快速到達(dá)滑模面,并減小抖振。
引入模糊規(guī)則適時調(diào)節(jié)切換增益ε，設(shè)置ε=3,k=5,G=900。圖9為滑?？刂坪湍：？刂票容^。由圖可知，單純使用滑?？刂茣r振動抑制時間更短，但抖振較大，引入模糊規(guī)則后，施加在作動器上的最大控制電壓減小，且能有效地降低抖振，但調(diào)節(jié)時間增加。由于符號函數(shù)不連續(xù)，因而模糊滑?？刂茣r作動器輸入電壓還是存在較小的抖振。
圖9 滑?？刂坪湍：？刂票容^
圖10為飽和函數(shù)模糊滑模控制結(jié)果。由圖可知，用飽和函數(shù)替換符號函數(shù)，抖振得到了明顯改善。當(dāng)飽和函數(shù)參數(shù)δ取值越小時，振動抑制速度越快。因此，基于飽和函數(shù)的模糊滑?？刂撇粌H能抑制壓電懸臂梁的振動，還能有效地降低滑?？刂频亩墩?。
5 結(jié)論
以壓電懸臂梁為對象，基于狀態(tài)空間動力學(xué)模型設(shè)計(jì)模糊滑?？刂破鳎紤]建模誤差下對懸臂梁進(jìn)行振動控制。主要結(jié)論如下：
1) 利用平衡截?cái)喾▽δＰ瓦M(jìn)行降階處理，將24階系統(tǒng)模型簡化為8階，提高了計(jì)算速度。
2) 基于降階模型設(shè)計(jì)滑?？刂破?，控制存在較大抖振，增大k、減小ε不僅能加快振動抑制，還可削弱抖振。
3) 引入模糊規(guī)則，適時調(diào)節(jié)增益系數(shù)ε，用飽和函數(shù)替換符號函數(shù)，可改善滑膜控制存在的抖振現(xiàn)象，參數(shù)δ取值越小，振動抑制效果越好。
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滑模控制是通過控制量的切換使系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面滑動[5]，使系統(tǒng)在受到參數(shù)攝動和外界干擾時具有良好的魯棒性，因而被研究者廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)振動控制中。潘成龍等[6]針對柔性自旋導(dǎo)彈振動問題設(shè)計(jì)了模糊滑模控制器，有效地抑制導(dǎo)彈尾部振動。董彬等[7]采用準(zhǔn)滑?？刂品椒p小了風(fēng)力機(jī)葉片在風(fēng)載荷作用下的振動位移，在結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定情況下該方法具有良好的魯棒性。Do等[8]開發(fā)了模糊滑?？刂破?，有效地抑制了汽車座椅懸架的振動，增強(qiáng)了系統(tǒng)對不確定性和干擾的魯棒性。Qiu等[9]提出了滑模預(yù)測控制方法，實(shí)現(xiàn)了壓電柔性懸臂板振動的快速抑制。與PID控制相比，該方法具有更好的控制性能。Qi等[10]提出了滑?？刂撇呗?，在存在時變測量延遲的情況下有效地抑制了亞音速壓電復(fù)合板的振動。袁明新等[11]設(shè)計(jì)了帶濾波的滑?？刂破鳎⒉捎萌诤显颇Ｐ秃头聪?qū)W習(xí)的克隆算法優(yōu)化滑模參數(shù)，有效地抑制鍛壓機(jī)沖擊對鍛造機(jī)器人造成的殘余振動。Li等[12]研究了受擾離散系統(tǒng)中存在的各種未知不確定性抖振問題，提出了基于切換的離散時間模糊滑?？刂品椒?，提高欠驅(qū)動機(jī)器人系統(tǒng)的控制性能。Xie等[13]設(shè)計(jì)了基于創(chuàng)新強(qiáng)化學(xué)習(xí)的模糊自適應(yīng)滑模控制器，在保持魯棒性的同時減小了抖振效應(yīng)。Song等[14]開發(fā)了分?jǐn)?shù)階積分模糊滑模控制方案，利用神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)逼近分?jǐn)?shù)子系統(tǒng)中存在的不確定非線性函數(shù)，使系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在有限時間內(nèi)收斂。Suilun等[15]針對具有障礙物約束、模型不確定性和分布擾動的非線性柔性懸臂梁系統(tǒng)，發(fā)明了基于自適應(yīng)非對稱障礙函數(shù)的滑?？刂坡桑瑢?shí)現(xiàn)了分布式干擾抑制和模型不確定性補(bǔ)償。Tian等[16]開發(fā)了積分終端滑模魯棒控制方法，抑制空間智能桁架結(jié)構(gòu)的受迫振動。
對振動滑?？刂埔延写罅垦芯?，但是對如何消除滑?？刂茙淼亩墩瘳F(xiàn)象研究較少。抖振不僅影響控制的精確性，而且易激起系統(tǒng)其他模態(tài)振動，破壞系統(tǒng)性能。因此，本文在采用滑?？刂埔种茟冶哿赫駝拥幕A(chǔ)上，引入模糊規(guī)則調(diào)節(jié)切換增益，利用飽和函數(shù)替換符號函數(shù)，以減小滑?？刂茙淼亩墩駟栴}。
1 壓電懸臂梁的有限元建模
1.1 壓電梁單元的建模
圖1為壓電懸臂梁幾何模型。在梁的根部上下表面貼壓電陶瓷分別作為作動器和傳感器。將壓電懸臂梁分為若干個梁單元，包括壓電梁單元以及基于Euler-Bernoulli理論假設(shè)的均質(zhì)梁單元。梁的總長為L，壓電梁單元長為le，壓電梁單元用于模擬壓電元件作為傳感器/作動器結(jié)合的區(qū)域，而梁的其余部分由均質(zhì)梁單元模擬。
圖1 壓電懸臂梁幾何模型
根據(jù)拉格朗日方程，可推導(dǎo)出均質(zhì)梁單元的運(yùn)動方程[17]為
(1)
式中：fb為均質(zhì)梁單元受到的外界力；qb為梁單元節(jié)點(diǎn)的位移矩陣；Mb，Kb分別為均質(zhì)梁單元的質(zhì)量陣、剛度陣，且有：
(2)
(3)
式中：ρb為均質(zhì)梁的密度；Ab為均質(zhì)梁單元的表面面積；Eb,Ib分別為均質(zhì)梁單元的彈性模量和轉(zhuǎn)動慣量；x為梁長度方向坐標(biāo)；N為梁單元形函數(shù)向量。
同理，可推導(dǎo)出壓電梁單元的運(yùn)動方程
(4)
式中：fp為壓電梁單元受到的外界力；qp為壓電梁單元節(jié)點(diǎn)的位移矩陣；Mp，Kp分別為壓電梁單元的質(zhì)量陣、剛度陣，且有：
(5)
(6)
式中：EI為壓電梁單元的等效抗彎剛度；A為壓電梁單元表面面積；ρ為壓電梁單元的密度。
1.2 壓電傳感與作動方程
懸臂梁振動時，傳感器層不受外場作用，粘貼于梁表面的壓電傳感器將會產(chǎn)生電荷，壓電傳感層兩個表面電極間的電壓Vs(t)為
(7)
(8)
式中:Cp為壓電傳感器電容;Q為電荷；b為寬度。
在壓電作動器上施加外部電壓Va，壓電片將產(chǎn)生形變抑制梁的振動，壓電梁單元產(chǎn)生的彎矩Ma為
(9)
作動器施加在壓電梁單元上產(chǎn)生的控制力為
fctrl=hVa
(10)
(11)
1.3 壓電懸臂梁的動力學(xué)方程
將壓電懸臂梁的單元剛度陣、單元質(zhì)量陣組裝成總質(zhì)量陣、總剛度陣，可推出考慮比例阻尼的壓電懸臂梁的運(yùn)動方程[18]為
(12)
式中：M,K分別為壓電懸臂梁總質(zhì)量矩陣和剛度矩陣;Fctrl為懸臂梁所受控制力。
整體節(jié)點(diǎn)位移列陣q和模態(tài)阻尼矩陣D分別為
(13)
D=αM+βK
(14)
式中：α，β為結(jié)構(gòu)阻尼常數(shù)；m為單元節(jié)點(diǎn)個數(shù)。
(15)
式中：系數(shù)A，B，C分別為輸入矩陣、輸出矩陣和傳輸矩陣；u(t)為輸入電壓；y(t)為輸出電壓。
2 壓電懸臂梁有限元模型的降階
利用平衡截?cái)喾ê喕瘔弘姂冶哿耗Ｐ涂傻玫较鄳?yīng)降階模型。當(dāng)方程(15)可控、可觀且漸進(jìn)穩(wěn)定時，則其可控Gramian矩陣Wc和可觀Gramian矩陣Wo都是正定的，且滿足Lyapunov方程[20]：
(16)
假設(shè)存在非奇異矩陣T1，使Wc=Wo且為對角陣，則系統(tǒng)內(nèi)部平衡，方程(15)可轉(zhuǎn)換為
(17)
當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)部平衡時有：
(18)
且λ1>λ2>…>λn，對角陣可寫成兩組奇異值的形式:
(19)
式中：λ(1)為要保留的可控性和可觀測性強(qiáng)的子系統(tǒng)；λ(2)為要刪除的可控性和可觀測性弱的子系統(tǒng)。
當(dāng)λ(1)取合適的階數(shù)時，該“強(qiáng)”子系統(tǒng)保持了原始系統(tǒng)的固有屬性。
將降階模型和殘差模型簡化為
(20)
式中(A11,B1)為最高可控性和可觀測性對。
3 模糊滑?？刂撇呗?/h2>3.1 滑模控制
利用滑?？刂茖Ｕ`差的不靈敏性設(shè)計(jì)主動控制器，存在線性時不變系統(tǒng)[21]：
(21)
式中A12X2為建模誤差。
滑模控制律由等效控制ueq和切換控制usw構(gòu)成。切換函數(shù)設(shè)計(jì)為
(22)
式中Cs為滑模面參數(shù)。
ueq=-KeqX1(t)
(23)
式中Keq為等效控制增益，且：
Keq=(CsB1)-1CsA11
(24)
定義Lyapunov函數(shù)：
(25)
到達(dá)條件為
(26)
usw=(CsB1)-1(-εsgns-ks)
(27)
式中：ε>0，k>0，ε為增益系數(shù)；k為指數(shù)趨近參數(shù)。增益系數(shù)ε必須滿足以下條件：
ε>‖CsA12X2‖
(28)
等效滑?？刂坡蔀?/p>
u=ueq+usw
(29)
則：
sCsB1[-KeqX1+(CsB1)-1(-εsgns-
ks)]+sCsA12X2+sCsA11X1=s(-
εsgns-ks+CsA12X2)≤-ε‖s‖-
k‖s‖2+‖s‖‖CsA12X2‖
(30)
3.2 模糊滑?？刂?/h3>
選用飽和函數(shù)sat(s)代替符號函數(shù)以降低滑模抖振。飽和函數(shù)為
(31)
式中飽和函數(shù)參數(shù)δ>0。
(32)
(33)
式中：NB為負(fù)大；NM為負(fù)??；ZO為零；PM為正小；PB為正大。
模糊系統(tǒng)的輸入輸出隸屬函數(shù)如圖2、3所示。模糊控制規(guī)則設(shè)計(jì)如表1所示。
圖2 輸入隸屬函數(shù)圖
圖3 輸出隸屬函數(shù)圖
表1 模糊控制規(guī)則表
(34)
式中G為比例系數(shù)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定。
根據(jù)式(30)可得：
k‖s‖2+‖s‖‖CsA12X2‖
(35)
圖4 模糊滑?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
4 結(jié)果與討論
通過COMSOL軟件建立壓電懸臂梁的有限元動力學(xué)模型，將壓電梁劃分為6個單元，對壓電懸臂梁的一端進(jìn)行完全固支，形成懸臂梁邊界條件。壓電懸臂梁的材料參數(shù)如表2所示。表3為計(jì)算與仿真固有頻率結(jié)果比較。由表可知兩者基本吻合。
表2 壓電懸臂梁的材料參數(shù)
表3 計(jì)算與仿真固有頻率結(jié)果比較
圖5為原系統(tǒng)和降階模型頻響曲線。由圖可知，壓電懸臂梁模型狀態(tài)從24階降到8階，兩者頻響曲線基本一致，說明降階模型與原系統(tǒng)具有相似的輸出特性，并保留了原系統(tǒng)的主要模態(tài)，該降階系統(tǒng)在頻域上對原系統(tǒng)有很好的近似效果，驗(yàn)證了降階方法的有效性。以降階模型為對象，在梁的自由端施加15 mm的初始位移激勵，利用仿真驗(yàn)證模糊滑?？刂破鞯挠行?。
圖5 原系統(tǒng)和降階模型頻響曲線
圖6為未控制時仿真結(jié)果。由圖可知，壓電懸臂梁在受到外界初始激勵作用下會產(chǎn)生較大振動，在自身阻尼的影響下2 s后停止。隨著振幅的減小，傳感器電壓逐漸減小。圖7為滑模控制參數(shù)k不同時曲線比較。圖8為滑模控制參數(shù)ε不同時曲線比較。由圖7、8可知，壓電懸臂梁施加滑模主動控制后，振動得到明顯抑制。當(dāng)ε=3時，指數(shù)趨近參數(shù)k值越大，振動抑制效果越好，但不能改善滑模抖振現(xiàn)象。k=5時，ε越大，曲線趨近于0時速度越快，振動抑制時間越短。
圖6 未控制時仿真結(jié)果
圖7 滑?？刂茀?shù)k不同時曲線比較
圖8 滑模控制參數(shù)ε不同時曲線比較
隨著ε的增大，施加在作動器上的控制電壓產(chǎn)生的抖振越明顯。指數(shù)趨近參數(shù)k主要影響趨近模態(tài)，ε主要影響滑動模態(tài)，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時，k值越大可使其快速到達(dá)滑模面。ε值越大,使系統(tǒng)狀態(tài)趨近于滑模面時的速度越大，且在滑模面滑動時抖振也越大。因此，選取合適的k和ε可使系統(tǒng)狀態(tài)快速到達(dá)滑模面,并減小抖振。
引入模糊規(guī)則適時調(diào)節(jié)切換增益ε，設(shè)置ε=3,k=5,G=900。圖9為滑?？刂坪湍：？刂票容^。由圖可知，單純使用滑?？刂茣r振動抑制時間更短，但抖振較大，引入模糊規(guī)則后，施加在作動器上的最大控制電壓減小，且能有效地降低抖振，但調(diào)節(jié)時間增加。由于符號函數(shù)不連續(xù)，因而模糊滑?？刂茣r作動器輸入電壓還是存在較小的抖振。
圖9 滑?？刂坪湍：？刂票容^
圖10為飽和函數(shù)模糊滑模控制結(jié)果。由圖可知，用飽和函數(shù)替換符號函數(shù)，抖振得到了明顯改善。當(dāng)飽和函數(shù)參數(shù)δ取值越小時，振動抑制速度越快。因此，基于飽和函數(shù)的模糊滑?？刂撇粌H能抑制壓電懸臂梁的振動，還能有效地降低滑?？刂频亩墩?。
5 結(jié)論
以壓電懸臂梁為對象，基于狀態(tài)空間動力學(xué)模型設(shè)計(jì)模糊滑?？刂破鳎紤]建模誤差下對懸臂梁進(jìn)行振動控制。主要結(jié)論如下：
1) 利用平衡截?cái)喾▽δＰ瓦M(jìn)行降階處理，將24階系統(tǒng)模型簡化為8階，提高了計(jì)算速度。
2) 基于降階模型設(shè)計(jì)滑?？刂破?，控制存在較大抖振，增大k、減小ε不僅能加快振動抑制，還可削弱抖振。
3) 引入模糊規(guī)則，適時調(diào)節(jié)增益系數(shù)ε，用飽和函數(shù)替換符號函數(shù)，可改善滑膜控制存在的抖振現(xiàn)象，參數(shù)δ取值越小，振動抑制效果越好。
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