壓電疊堆作動器率相關遲滯非線性建模研究

王琴琴， 周孟德， 孫晨晉， 任宇航， 張新雨， 劉 巍

(大連理工大學 機械工程學院, 遼寧 大連 116024)

0 引言

壓電作動器作為能實現(xiàn)電能-機械能相互轉換的微納精度執(zhí)行器，具有體積小，位移分辨率高，響應速度快及輸出驅動力大等特點，被廣泛應用于光學掃描定位、航空航天及生物醫(yī)學等領域進行精密定位與控制[1]。在高速風洞飛行器動穩(wěn)定性評估試驗中，壓電作動器作為角位移輸出裝置的驅動元件，通過電壓驅動的方式驅動壓電疊堆作動器產(chǎn)生微位移，經(jīng)角度轉換放大裝置轉化為不同頻率的簡諧運動[2]。然而壓電材料存在遲滯非線性現(xiàn)象，即輸入電壓與輸出位移呈多值映射性，使壓電作動器輸出位移偏移預設值，從而影響角位移裝置的輸出精度，甚至造成整個動穩(wěn)定性評估系統(tǒng)失穩(wěn)[3]。控制系統(tǒng)輸入信號頻率不固定，而壓電元件輸出位移不僅與當前輸入信號有關，還受輸入信號頻率影響。因此，建立壓電疊堆作動器的率相關遲滯非線性模型，是實現(xiàn)執(zhí)行器線性化控制的前提和保障，有利于提高控制系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性。

針對壓電元件的遲滯建模問題，國內外學者進行了大量的科學研究。目前，描述遲滯現(xiàn)象的模型主要分為：

1) 基于遲滯內在物理機制的物理模型(如Jiles-Atherton模型[4]及Duhem模型[5]等)。

2) 僅考慮系統(tǒng)輸入輸出數(shù)學關系的唯象模型(如Prandtl-Ishlinskii(PI)模型、Bouc-Wen模型[6]及Hammerstein模型[7]等)。

3) 基于機器學習方法的智能模型(如神經(jīng)網(wǎng)絡模型[8]及支持向量機模型[9]等)。

PI模型結構簡單且存在數(shù)學解析逆模型，是當前應用最廣的遲滯建模方法之一，但PI模型只適用于描述對稱的遲滯曲線。壓電疊堆作動器遲滯環(huán)具有非對稱及非光滑的特點。許多學者提出了改進的PI模型(如變間隔閾值PI模型[10]、基于非對稱play算子的PI模型[11]及改進增強型PI模型[12]等)，這類改進模型通過將模型進行分段描述及增加模型參數(shù)的方法，改善了PI模型奇對稱的局限性，但改進后的模型存在結構復雜、參數(shù)多的問題，并且在輸入信號頻率大范圍變化時，建模精度降低，無法描述遲滯的動態(tài)率相關特性。

本文針對壓電疊堆作動器的遲滯非線性、非對稱特性，在PI遲滯模型backlash算子基礎上，提出了符合壓電作動器遲滯環(huán)非對稱，輸入、輸出非負特性的asymmetric unilateral backlash(aubacklash)算子；考慮到遲滯現(xiàn)象的率相關記憶特性，構建了基于aubacklash算子的率相關BP神經(jīng)網(wǎng)絡(BPNN)遲滯模型。搭建了壓電疊堆作動器遲滯建模精度評估系統(tǒng)，采用Levenberg-Marquardt(L-M)算法辨識了aubaklash算子參數(shù)，確定了BP神經(jīng)網(wǎng)絡遲滯模型的最優(yōu)結構。通過單一高低頻及復合頻率信號下的實驗數(shù)據(jù)，驗證了本文提出的建模方法的準確性與頻率適應性。

1 基于aubacklash算子的率相關BPNN遲滯建模

對壓電疊堆作動器施加激勵電壓，其升壓與降壓階段的輸出位移曲線不重合，呈現(xiàn)出一對多的多值映射非線性，且遲滯曲線隨輸入電壓信號的頻率變化表現(xiàn)出明顯的率相關特性，如圖1所示。壓電疊堆作動器遲滯非線性還具有局部記憶特性，即當前時刻的輸出位移不僅取決于當前時刻輸入，還受歷史輸出位移的影響。

圖1 壓電疊堆作動器率相關遲滯非線性

本文提出的壓電疊堆作動器率相關遲滯模型結構如圖2所示。圖中，aubacklash算子用于描述靜態(tài)非線性遲滯特性，率相關特性擴展輸入用于描述動態(tài)率相關遲滯特性，將以上兩者結合構成神經(jīng)網(wǎng)絡輸入，構建BPNN遲滯模型。

圖2 率相關遲滯模型結構

1.1 靜態(tài)aubacklash算子遲滯模型

PI遲滯模型通過線性疊加多個不同權值和閾值的backlash算子來預測壓電疊堆作動器遲滯響應(見圖1)。backlash算子(見圖3)表達式為

圖3 backlash算子

(1)

式中：ub(t)為t時刻backlash算子輸入；Hr[ub](t)為backlash算子輸出；r為backlash算子閾值；T為采樣周期。

由圖3可知，backlash算子輸入-輸出圖像呈嚴格中心對稱，當輸入為0時，算子輸出取決于算子權值與閾值。實際壓電疊堆作動器升降壓遲滯回線非對稱，且輸入激勵電壓為0時，輸出位移響應為0。因此,用backlash算子描述壓電疊堆作動器遲滯非線性存在精度不足的問題。

為增強算子靈活性，改進backlash算子在原點處的殘余位移與算子圖像中心對稱性的問題，提出了非對稱單邊aubacklash算子(見圖4)，其表達式為

圖4 不同非對稱系數(shù)m取值的aubacklash算子

(2)

式中：ua(t)為t時刻的aubacklash算子輸入；Hr,m[ua](t)為aubacklash算子輸出；r為aubacklash算子的閾值;m為非對稱修正系數(shù);T為采樣周期。

改進后aubacklash算子依然具有原backlash算子結構簡單的優(yōu)點，更符合壓電疊堆作動器實際輸出時的特性。將以上n個不同權值w、非對稱修正系數(shù)m和閾值r的算子疊加可得到aubacklash算子模型輸出yAPI(t)：

(3)

算子閾值向量r=(r1,…,rn)T為一組由算子輸入決定的等差數(shù)列[12]：

(4)

式中：n為aubacklash算子個數(shù)；umax(t)為最大輸入電壓。

1.2 動態(tài)率相關BPNN遲滯模型

BPNN通常由一個輸入層、一個非線性隱含層和一個線性輸出層構成，采取輸入信息前向傳播、預測誤差反向傳播的方式進行模型學習和訓練，使其輸出不斷逼近待辨識的復雜非線性模型[13]。與遲滯現(xiàn)象的多值映射特性不同，BPNN描述的是一對一的映射關系，因此需引入能代表遲滯率相關記憶性的特征輸入作為神經(jīng)網(wǎng)絡的擴展輸入層節(jié)點，通過擴展BPNN輸入向量維度，使其能準確描述壓電作動器多對一的遲滯特性。

針對壓電疊堆作動器的率相關遲滯特性，通過當前時刻和上一時刻的輸入電壓作為神經(jīng)網(wǎng)絡的擴展特征輸入，以此表征輸入信號頻率對當前時刻輸出位移的影響；針對其局部記憶特性，引入上一時刻的輸出位移作為神經(jīng)網(wǎng)絡的擴展特征輸入。因此，將上一時刻輸入激勵電壓u(t-1)、當前時刻輸入激勵電壓u(t)、上一時刻輸出位移y(t-1)作為BPNN擴展輸入，與aubacklash算子模型預測輸出yAPI(t-1)一起作為遲滯模型輸入層，形成由4個輸入層節(jié)點、j個隱含層節(jié)點、1個輸出層節(jié)點構成的三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡，該遲滯模型拓撲結構如圖5所示。

圖5 BPNN遲滯模型結構示意圖

BPNN隱含層節(jié)點數(shù)將對神經(jīng)網(wǎng)絡模型預測精度產(chǎn)生較大的影響，隱含層最優(yōu)節(jié)點數(shù)的范圍為

(5)

式中：i為輸入層節(jié)點數(shù)；j為隱含層節(jié)點數(shù)；k為輸出層節(jié)點數(shù)；a為0～10的常數(shù)。

由圖5可知，i=4，k=1，再根據(jù)式(5)可得，BPNN遲滯模型中隱含層節(jié)點數(shù)為2～12。

2 遲滯模型參數(shù)辨識

2．1 遲滯建模精度評估系統(tǒng)

搭建的遲滯建模精度評估系統(tǒng)如圖6所示。數(shù)據(jù)采集記錄儀器使用美國NI公司嵌入式實時控制器，增設了采樣率250 kS/s的16位控制信號輸出(D/A)模塊及采樣率102.4 kS/s的24位應變信號采集(A/D)模塊作為驅動型號輸出及位移采集系統(tǒng)。壓電疊堆作動器為德國PI公司的定制高壓壓電陶瓷P-016.20，其諧振頻率為64 kHz，壓電陶瓷內部封裝的應變片可用于實時應變監(jiān)測，在驅動電壓0～1 000 V下，作動器標稱行程范圍為0～30 μm。D/A模塊可輸出電壓信號為0～10 V。在驅動電壓0～10 V下無法獲取壓電疊堆作動器遲滯特性曲線，因此，在D/A模塊與壓電作動器之間增加信號放大環(huán)節(jié)，選用PI公司功率放大器將D/A模塊輸出控制信號放大100倍。在功率放大器輸出驅動信號作用下，壓電作動器產(chǎn)生的應變可通過應變采集模塊構成應變全橋電路測量作動器實時應變，并由控制器實現(xiàn)實時應變-位移的轉換，進而將位移信號傳輸至上位機顯示與保存，信號傳輸流程如圖6所示。

圖6 遲滯建模實驗系統(tǒng)圖

本實驗的數(shù)據(jù)采集控制算法基于LabVIEW軟件，為實現(xiàn)不同頻率激勵電壓信號下壓電疊堆作動器輸出位移信號的精確還原，設置輸入輸出模塊采樣頻率均為10 kHz，對壓電作動器施加幅值和直流偏置為A、頻率為f的偏置正弦激勵電壓。u(t)=A+Asin(2πft-0.5π)，采集的激勵電壓信號及輸出位移信號通過LabVIEW在上位機實時顯示與存儲。

2.2 aubacklash模型參數(shù)辨識

要辨識率相關記憶BPNN遲滯模型參數(shù)，首先需要確定BPNN輸入層aubacklash算子模型預測輸出yAPI(t)。在Matlab/Simulink中搭建算子個數(shù)n=9的aubacklash算子模型，使用模型參數(shù)辨識工具箱對模型未知參數(shù)(權值w、非對稱修正系數(shù)m)進行辨識。參數(shù)辨識方法采用L-M算法，設置參數(shù)辨識終止條件：ε=0.001，阻尼系數(shù)初值λ1=0.000 1，最大迭代次數(shù)kmax=100，導入峰-峰值為8 V、直流偏置電壓為4 V、混合頻率為1 Hz/5 Hz/10 Hz/ 30 Hz/50 Hz/80 Hz正弦激勵下，輸入激勵電壓-輸出位移數(shù)據(jù)辨識參數(shù)(w、m)如表1所示。

表1 aubacklash算子模型參數(shù)

2.3 BPNN模型結構參數(shù)

采用與上述aubacklash算子模型參數(shù)辨識相同的實驗數(shù)據(jù)對BPNN進行訓練，設置BPNN學習速率為0.01，訓練目標最小誤差為0.000 01，將單一頻率4 Hz下的實驗數(shù)據(jù)作為模型精度測試數(shù)據(jù)，不同隱含層節(jié)點數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡模型計算的建模均方根誤差(ERMSE)為

(6)

式中：y(t)為壓電疊堆作動器實際輸出；ym(t)為模型擬合輸出。根據(jù)式(6)計算結果如表2所示。

表2 不同隱含層節(jié)點數(shù)建模誤差

由表1可知，當隱含層節(jié)點數(shù)為6時建模均方根誤差值最小，因此可確定該率相關記憶BPNN模型各層神經(jīng)元節(jié)點數(shù)分別為4-6-1。

3 模型精度實驗驗證

為了驗證本文所提出模型在描述壓電疊堆作動器率相關遲滯特性時的優(yōu)勢，分別用2Hz、60 Hz、100 Hz的單一正弦激勵信號及混合正弦激勵信號3 Hz/8 Hz/20 Hz/40 Hz/70 Hz下的數(shù)據(jù)建立BPNN遲滯模型與PI遲滯模型，對比了兩模型在相同輸入信號下的建模結果。PI模型由一系列不同權值w和閾值r的backlash算子線性疊加而得，同樣搭建backlash算子個數(shù)n=9的PI模型，在Simulink中采用L-M算法對模型參數(shù)進行辨識。

圖7、8為單一頻率2 Hz與混合頻率3 Hz/8 Hz/20 Hz/40 Hz/70 Hz輸入電壓信號下，實驗數(shù)據(jù)與BPNN模型、PI模型建模對比及建模誤差圖。

圖7 單一頻率2 Hz時模型實驗結果

圖8 混合頻率3 Hz /8 Hz /20 Hz /40 Hz /70 Hz時模型實驗結果

由圖7可知，單一頻率輸入信號下，在輸入信號峰值和谷值時，PI模型建模誤差較大，且在周期正弦輸入信號作用下，模型輸入-輸出遲滯環(huán)與實驗數(shù)據(jù)遲滯環(huán)重合度較低。與PI模型相比，在整個周期內，BPNN模型建模誤差均低于PI模型，模型預測輸出更穩(wěn)定。由圖8可知，混合頻率輸入信號下，PI模型隨著輸入信號頻率升高，建模誤差明顯增大。而BPNN模型對混合頻率信號有較好的適應能力，即BPNN模型對變頻率信號預測輸出更接近真實值。

采用均方根誤差ERMSE、相對誤差ERE驗證BPNN模型與PI模型精度，計算式為

(7)

表3為不同頻率下BPNN模型與PI模型建模誤差對比。

表3 BPNN模型與PI模型建模誤差對比

由表3可知，在輸入信號頻率為2Hz時,BPNN模型ERMSE較PI模型ERMSE提高89.98%，ERE較PI模型ERE提高89.84%；輸入信號頻率為60 Hz時，BPNN模型ERMSE較PI模型ERMSE提高78.82%，BPNN模型ERE較PI模型ERE提高78.83%；輸入信號頻率為100 Hz時，BPNN模型ERMSE較PI模型ERMSE提高70.90%，BPNN模型ERE較PI模型ERE提高70.69%；輸入混合頻率信號時，BPNN模型ERMSE較PI模型ERMSE提高88.14%，BPNN模型ERE較PI模型ERE提高88.28%。因此，低頻、高頻及混合頻率下，本文提出的率相關BPNN遲滯模型較PI唯象模型均表現(xiàn)出較大優(yōu)勢，模型具有良好的頻率適應性。

4 結束語

本文針對壓電疊堆作動器的非線性、率相關遲滯特性，對PI模型的backlash算子做出了改進，提出了非對稱aubacklash算子。在此基礎上，將aubaklash算子輸出作為BPNN擴展輸入，提出了率相關記憶BPNN遲滯模型。通過本文搭建的基于NI實時控制器的實驗平臺，對所提出的率相關遲滯模型進行實驗驗證。實驗結果顯示，與PI模型相比，在高、低單一頻率及混合頻率輸入信號下，本文提出的BPNN遲滯模型精度均明顯比PI模型優(yōu)，均方誤差提高較PI模型降低了70.90%～89.98%，相對誤差較PI模型降低了70.69%～89.84%，對不同頻率信號均有良好的適應性。該建模方法求逆過程簡單，模型精度高且頻率適應性好，為疊堆壓電作動器的線性化補償與高精度控制奠定了基礎。