基于灰色GM(1,1)模型的桂林市GDP預(yù)測研究

蔣延軍 李運德 李樹德 唐洪貺

(桂林航天工業(yè)學院 電子信息與自動化學院，廣西 桂林 541004)

國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)是一個國家(或地區(qū))所有常住單位在一定時期內(nèi)生產(chǎn)活動的最終成果，是國民經(jīng)濟核算的核心指標，也是衡量一個國家或地區(qū)經(jīng)濟狀況和發(fā)展水平的重要指標[1]。分析預(yù)測GDP的數(shù)值對預(yù)測國家或地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展具有很大的參考作用。近年來隨著桂林市獲批《桂林國際旅游勝地建設(shè)發(fā)展規(guī)劃綱要》(發(fā)改社會[2012]3437號)和《桂林市建設(shè)國家可持續(xù)發(fā)展議程創(chuàng)新示范區(qū)》(國函[2018]31號)，標志著桂林國際旅游勝地建設(shè)正式上升為國家戰(zhàn)略。桂林市社會經(jīng)濟水平得到了快速發(fā)展，鞏固了桂林國際旅游地位，GDP呈現(xiàn)逐年增長的趨勢。但是，在當前世界格局深刻變化，經(jīng)濟形勢錯綜復雜，未來GDP發(fā)展趨勢如何保持穩(wěn)健發(fā)展，是大家關(guān)注的問題[2]，因此，對桂林市GDP發(fā)展趨勢預(yù)測具有現(xiàn)實意義。

GDP預(yù)測歷來是學者們研究的熱點問題，國內(nèi)外學者做了很多的相關(guān)研究工作。文獻[3]中孫愛民采用2010—2018年西安市GDP數(shù)據(jù)，通過新息優(yōu)先原則建立了改進GM(1,1)的預(yù)測模型，模擬GDP數(shù)據(jù)相對誤差5.35%以內(nèi)，并預(yù)測了西安市2019—2023年GDP數(shù)值，取得了一定效果，但預(yù)測精度有待提高；文獻[4]中Yuan Zou等采用2016—2019年美國、日本、中國和印度歷史GDP數(shù)據(jù)建立了灰色馬爾科夫鏈和ANN相結(jié)合的GDP預(yù)測模型，并分別對美國、日本、中國和印度進行2020—2022年GDP預(yù)測，預(yù)測相對誤差均在5%以內(nèi)，但預(yù)測模型計算較為復雜；文獻[5]中田梓辰、劉淼以2006—2015年新疆GDP歷史數(shù)據(jù)，建立了基于拉格朗日插值改進的GM(1,1)模型，優(yōu)化模型背景值，對新疆2016—2018年的GDP數(shù)據(jù)進行了預(yù)測，一定程度提高了預(yù)測精度，但對于原始數(shù)據(jù)波動處理不足。文獻[2]中楊智凱、范彥勤等利用1995—2020年桂林的GDP歷史數(shù)據(jù)，采用時間序列方法建立ARIMA模型進行擬合分析，并預(yù)測桂林市未來GDP數(shù)值，相對誤差僅為2.5%，預(yù)測精度較高，但原始數(shù)據(jù)異常波動時，該方法預(yù)測精度會下降。

灰色系統(tǒng)理論是鄧聚龍教授在1982年創(chuàng)立的，它是以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”“貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對象。實際上國家或地區(qū)GDP增長變化原因是復雜的，影響經(jīng)濟發(fā)展有些是已知的，有些是未知的，具有不確定性和灰色性，波動性和非線性，于是灰色理論很適合用于其發(fā)展和趨勢預(yù)測[6-7]。為有效地削弱原始數(shù)據(jù)波動影響及提高預(yù)測精度，本文提出了一種基于灰色理論的桂林市GDP改進GM(1,1)預(yù)測模型，對GDP原始數(shù)據(jù)進行平滑處理及優(yōu)化初始條件，從而更好地預(yù)測桂林市未來時刻的GDP發(fā)展趨勢，以便為桂林市經(jīng)濟發(fā)展決策提供參考。

1 原始GM(1,1)模型

GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論中最常用最重要的預(yù)測模型之一，只是一階一變量的微分方程，是社會經(jīng)濟發(fā)展趨勢預(yù)測模型的一種有效模型[6-8]。本文對桂林市GDP實際歷史數(shù)據(jù)建立GM(1,1)模型來進行灰色預(yù)測，其建模步驟如下：

1.1 一階累加生成

設(shè)有一組GDP的歷史記錄數(shù)據(jù)序列，將其作為建模原始數(shù)據(jù)列x(0)，其中包含n個非負的原始樣本數(shù)據(jù)列：

x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，

(1)

對x(0)數(shù)列進行一階累加生成

x(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}，

(2)

其中：

1.2 建立白化微分方程

由于生成數(shù)列x(1)(k)具有近似的指數(shù)增長規(guī)律，而一階微分方程的解恰好為指數(shù)形式，因此，x(1)數(shù)列認為是能滿足一階線性微分方程模型：

dx(1)/dt+ax(1)=u；

(3)

式中：a為模型的發(fā)展參數(shù)，反映x(1)及原始數(shù)列x(0)的發(fā)展趨勢；u為模型的協(xié)調(diào)系數(shù)，反映數(shù)據(jù)的變化關(guān)系。

設(shè)：A=[a,u]T，根據(jù)最小二乘法解得參數(shù)A，

A=(BTB)-1BTY，

(4)

1.3 求解灰色白化微分方程，建立GM(1,1)預(yù)測模型

k= 0,1,2,…

(5)

1.4 進行一階累加還原，得到預(yù)測值

k=1, 2, …

(6)

即得到原始數(shù)列x(0)的灰色預(yù)測模型：

k= 0,1, …

(7)

2 灰色預(yù)測模型的改進

2.1 原始數(shù)據(jù)的平滑處理

社會公共突發(fā)事件對GDP影響很大，如新冠肺炎、地區(qū)沖突及經(jīng)濟制裁等,都會對GDP原始數(shù)據(jù)帶來異常波動，對灰色預(yù)測是很不利的，容易使得預(yù)測誤差劇增。因此，為了減弱原始數(shù)據(jù)波動帶來的影響，可對GDP原始數(shù)據(jù)進行平滑處理，從而提高灰色預(yù)測的精度[9-12]。本文采用加權(quán)平滑法對GDP原始數(shù)據(jù)進行平滑處理，減弱原始數(shù)據(jù)突變值的影響，均衡原始數(shù)據(jù)列的變化趨勢，盡可能使原始數(shù)據(jù)列保持指數(shù)的遞增規(guī)律。

設(shè)：y(0)(0)=x(0)(0)，再按照(8)式對原始數(shù)列x(0)進行平滑：

y(0)(k)=αx(0)(k)+(1-α)y(0)(k-1)，

0<α≤1，k=1,2,…

(8)

2.2 初始條件的修正

原始GM(1,1)模型中求解參數(shù)a和u一般取實際數(shù)列的初始值x(0)(1)為初始條件，但該值并非為最優(yōu)初始條件。雖然初始條件對參數(shù)估計值沒有影響，但由(7)可知，生成序列和預(yù)測值均與初值x(0)(1)有關(guān)，因此進行初始條件的修正可以有效地提高預(yù)測精度[8，13-15]。

設(shè)修正式為：

x(1)(1)=x(0)(1)+b

其中：b為修正系數(shù)，這時灰色預(yù)測模型將為：

(k=0,1,2,…)

(9)

式(9)中，修正系數(shù)b對預(yù)測值有修正作用，當b=0時就為最初預(yù)測表達式。本文按照生成序列新預(yù)測值的誤差在最小二乘意義下最小的原則選取b值[8]，即：

(10)

(11)

3 灰色預(yù)測模型的誤差檢驗

建立了基于原始數(shù)據(jù)平滑處理和初始值修正的灰色預(yù)測模型后，預(yù)測值是否可靠或者可信，需要進行模型檢驗?；疑A(yù)測模型的檢驗主要采用殘差檢驗和后驗差檢驗[10-15]。

3.1 殘差檢驗

3.2 后驗殘差檢驗

根據(jù)C和p的值，按照模型檢驗精度等級表1進行檢驗。

表1 模型檢驗精度等級

4 預(yù)測模型的實例驗證

4.1 數(shù)據(jù)來源

本文選取廣西統(tǒng)計年鑒2021中桂林市2001-2021年GDP歷史實際數(shù)據(jù)作為研究數(shù)據(jù)[1]，如表2所示。利用歷史GDP數(shù)據(jù)建立桂林市GDP灰色預(yù)測模型，分析其GDP總量發(fā)展趨勢，預(yù)測桂林市未來GDP變化。

表2 2001—2021年桂林市GDP數(shù)據(jù)

4.2 建立預(yù)測模型

首先，本文對原始樣本數(shù)據(jù)進行選取時，不一定所有原始數(shù)據(jù)都用于建模，原始數(shù)據(jù)的維數(shù)不同會對預(yù)測精度有一定影響，本文分別選取了5至10維原始數(shù)據(jù)建立基于灰色理論GM(1,1)預(yù)測模型。其次，對預(yù)測模型進行數(shù)據(jù)擬合和精度檢驗，計算預(yù)測模型的方差比C和小誤差概率p值，然后根據(jù)C和p值的大小來獲得預(yù)測模型的可行性。若C和p符合一級精度要求，則直接采用預(yù)測模型進行數(shù)據(jù)預(yù)測，若C或p未達到一級精度，將啟動原始數(shù)據(jù)平滑處理和初始值修正處理，重新建模直到預(yù)測模型符合一級的擬合精度，最后才對未來桂林市GDP數(shù)據(jù)進行預(yù)測。

本文根據(jù)歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，選取桂林市2001—2020年期間的GDP歷史數(shù)據(jù)，建立改進的GM(1,1)預(yù)測模型,預(yù)留2021年實際數(shù)據(jù)作為預(yù)測結(jié)果的檢驗和對比分析。

建模時,根據(jù)桂林市GDP歷史數(shù)據(jù)波動具體情況，分析GDP原始數(shù)據(jù)的波動程度，為反映數(shù)據(jù)的整體性，選擇平滑系數(shù)0.8。每次啟用樣本數(shù)據(jù)平滑處理時平滑系數(shù)遞進0.1，直至預(yù)測模型擬合數(shù)據(jù)符合精度要求為止，預(yù)測模型流程圖如圖1所示。

圖1 預(yù)測模型流程圖

表3 不同數(shù)據(jù)維度預(yù)測模型精度對比

表4 6維預(yù)測模型擬合數(shù)據(jù)和精度檢驗

圖2 2015—2020年桂林市GDP模擬圖

4.3 預(yù)測的結(jié)果及分析

本文建立了符合桂林市GDP預(yù)測要求的6維數(shù)據(jù)列改進灰色GM(1,1)預(yù)測模型后，對桂林市未來4年GDP數(shù)據(jù)進行預(yù)測，預(yù)測的結(jié)果與文獻[2] 中ARIMA模型的預(yù)測結(jié)果進行了比較，如表5所示。

根據(jù)表5桂林市GDP預(yù)測數(shù)據(jù)及相對誤差可知，本文預(yù)測模型的GDP預(yù)測數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)相比, 2020年擬合值相對誤差2.24%和2021年預(yù)測值相對誤差1.05%，稍優(yōu)于文獻[2]中預(yù)測結(jié)果：2020年預(yù)測相對誤差2.5%和2021年相對誤差2.16%。

2015—2020年桂林市GDP實際數(shù)據(jù)和本文對2015—2024年桂林市GDP擬合和預(yù)測數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢，如圖3所示。

本文預(yù)測模型擬合和預(yù)測數(shù)據(jù)均有較高的精度，符合實際應(yīng)用要求?？晒┕鹆质薪?jīng)濟發(fā)展實際應(yīng)用和決策參考。

表5 桂林市GDP預(yù)測數(shù)據(jù)及相對誤差

圖3 2015—2024年桂林市GDP預(yù)測數(shù)據(jù)

5 結(jié)論

分析和預(yù)測地區(qū)GDP的發(fā)展數(shù)據(jù)對預(yù)測國家或地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展有很重要的現(xiàn)實意義。為有效地削弱GDP原始數(shù)據(jù)波動大的影響，提高地區(qū)GDP預(yù)測精度，本文提出了一種基于灰色理論的改進GM(1,1)模型，對桂林市GDP進行了預(yù)測。首先采用桂林市2001—2020年的實際歷史數(shù)據(jù)作為灰色G(1,1)預(yù)測模型建模的原始數(shù)據(jù)。其次對原始數(shù)據(jù)進行平滑處理和模型初始值優(yōu)化，并對預(yù)測模型進行精度等級評價。然后經(jīng)過實驗對比，選取6維原始數(shù)據(jù)列進行預(yù)測擬合，獲得了較高的模型擬合精度，更好地適合中長期GDP預(yù)測，并可用于實際GDP預(yù)測。最后對2021—2024年桂林市GDP數(shù)據(jù)進行了預(yù)測，并與對應(yīng)年份GDP實際值進行了比較，結(jié)果表明預(yù)測數(shù)據(jù)精度較高，相對誤差1.05%以內(nèi)。預(yù)測結(jié)果可作為桂林市經(jīng)濟發(fā)展應(yīng)用和決策參考，該方法也可對其他地區(qū)GDP預(yù)測有一定借鑒意義。