振動(dòng)體聲學(xué)靈敏度分析的Burton-Miller奇異邊界法及其MATLAB工具箱開(kāi)發(fā)

張汝毅， 王發(fā)杰， 程隋福， 劉建政

(青島大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 山東 青島 266071)

0 引 言

在產(chǎn)品設(shè)計(jì)和開(kāi)發(fā)過(guò)程中，產(chǎn)品的NVH性能是衡量產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)力的一項(xiàng)重要指標(biāo)。聲學(xué)靈敏度分析是產(chǎn)品NVH性能分析的重要組成部分，可以為產(chǎn)品的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供方向和依據(jù)，降低開(kāi)發(fā)成本。因此，發(fā)展聲學(xué)靈敏度分析[1]的準(zhǔn)確高效數(shù)值算法和開(kāi)發(fā)相關(guān)計(jì)算軟件平臺(tái)具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義。

本文基于Burton-Miller奇異邊界法(BM-SBM)[2-3]，采用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)聲學(xué)靈敏度分析的相關(guān)代碼生成，并對(duì)聲學(xué)靈敏度相關(guān)的幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)算例進(jìn)行分析測(cè)試。BM-SBM引入Burton-Miller公式，采用物理力學(xué)問(wèn)題控制方程的奇異基本解作為插值基函數(shù)，可有效解決聲學(xué)問(wèn)題計(jì)算中出現(xiàn)的虛假特征頻率問(wèn)題，是一種半解析邊界型無(wú)網(wǎng)格方法。該方法可簡(jiǎn)化傳統(tǒng)有限元法[4]中的網(wǎng)格劃分等前處理過(guò)程，也無(wú)須傳統(tǒng)邊界元法[5]中的奇異計(jì)算，具有數(shù)學(xué)理論簡(jiǎn)單、計(jì)算精度高、易于數(shù)值實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)。BM-SBM通過(guò)源點(diǎn)強(qiáng)度因子避免基本解的奇異性[6-7]，因此如何有效計(jì)算源點(diǎn)強(qiáng)度因子尤為重要。目前，許多學(xué)者針對(duì)該問(wèn)題提出不同的解決方案，主要包括反插值技術(shù)[8]、加減去奇異技術(shù)[9]、經(jīng)驗(yàn)公式[2,10]等。其中，經(jīng)驗(yàn)公式是最簡(jiǎn)單直接的一種方法，具有節(jié)省計(jì)算成本、提高計(jì)算效率的優(yōu)勢(shì)。因此，本文采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算源點(diǎn)強(qiáng)度因子。

MATLAB具有強(qiáng)大的計(jì)算能力，是功能種類(lèi)豐富的商業(yè)軟件，在數(shù)據(jù)分析、算法開(kāi)發(fā)、信息可視化、人機(jī)交互等方面應(yīng)用廣泛。MATLAB還內(nèi)置各類(lèi)擴(kuò)展工具箱，如Stateflow、RF Toolbox等，可以使軟件應(yīng)用于不同領(lǐng)域。[11]本文利用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)BM-SBM聲學(xué)靈敏度分析代碼生成，開(kāi)發(fā)相應(yīng)的圖形用戶(hù)界面(graphical user interface, GUI)。用戶(hù)無(wú)須進(jìn)行繁瑣的算法理論研究，可直接根據(jù)需要輸入?yún)?shù)，對(duì)各種二維和三維結(jié)構(gòu)進(jìn)行聲學(xué)靈敏度分析。該用戶(hù)界面具有可操作性強(qiáng)、運(yùn)行可靠和界面友好等特點(diǎn)。

1 Burton-Miller奇異邊界法BM-SBM

奇異邊界法即邊界型無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法，通過(guò)關(guān)于不同源點(diǎn)的基本解的線性組合逼近問(wèn)題的解。該方法不需要設(shè)置虛擬邊界，而是將源點(diǎn)和場(chǎng)點(diǎn)重合布置，利用源點(diǎn)強(qiáng)度因子OIFs代替邊界奇異點(diǎn)。當(dāng)邊界源點(diǎn)總數(shù)為N時(shí)，BM-SBM的基本形式為

αiuBM,ii,xi∈Γu,sj∈Γ

(1)

αiqBM,ii,xi∈Γq,sj∈Γ

(2)

(3)

式中：α為待求的未知系數(shù)；λ=i/(k+1)，i為虛數(shù)單位；uBM,ii和qBM,ii為源點(diǎn)強(qiáng)度因子，可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式獲得；Γu和Γq為邊界Γ上已知邊界條件的邊界部分；ns和nx分別為源點(diǎn)sj和邊界配點(diǎn)xi處的單位外法向量。

OIFs是BM-SBM算法中的關(guān)鍵，因此準(zhǔn)確求解OIFs十分重要。在已有的OIFs有效算法中，經(jīng)驗(yàn)公式最為簡(jiǎn)單實(shí)用。經(jīng)驗(yàn)公式可分為二維問(wèn)題和三維問(wèn)題2種情況，

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：Lj和Aj分別為源點(diǎn)在二維和三維問(wèn)題中的影響范圍(見(jiàn)圖1)；γ為歐拉常數(shù)；S為域的表面積；二維問(wèn)題δji=Lj/Li，三維問(wèn)題δji=Aj/Ai，Li和Ai分別為二維和三維問(wèn)題場(chǎng)點(diǎn)影響區(qū)域的范圍；G0(xi,sj)為拉普拉斯方程的基本解，

(8)

邊界條件分為Dirichlet邊界和Neumann邊界2類(lèi)，

(9)

(10)

將已知的邊界條件代入式(1)和(2)，得

Aα=b

(11)

式中：A為系數(shù)矩陣；α為源點(diǎn)處待求系數(shù)向量；b為已知向量。

(a)二維問(wèn)題

通過(guò)求解式(11)可以得到未知系數(shù)向量α。將求解得到的未知系數(shù)α代入式(12)和(13)，可求得任一點(diǎn)的值

(12)

(13)

2 聲學(xué)靈敏度分析

聲音在均勻的各向同性介質(zhì)中的傳播，可以通過(guò)Helmholtz方程描述，

?2p(x)+k2p(x)=0,x∈Ω

(14)

式中：?2為拉普拉斯算子；k為波數(shù)，k=ω/c，ω為角頻率，c為空氣中的聲速。

在Dirichlet邊界和Neumann邊界條件下，

(15)

(16)

本文的聲學(xué)靈敏度分析涉及輻射聲場(chǎng)，因此有必要為外部聲輻射問(wèn)題引入無(wú)窮遠(yuǎn)條件，即無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)上的聲壓應(yīng)滿足Sommerfeld輻射條件

(17)

式中：r為點(diǎn)x到聲場(chǎng)中心的距離；d為所研究問(wèn)題的維數(shù)，d=2,3。

將已知的邊界條件代入式(1)和(2)，求解得到未知系數(shù)α，將α代入式(12)和(13)，并對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行直接求導(dǎo)，即可求得任一點(diǎn)聲壓關(guān)于設(shè)計(jì)變量的靈敏度值

(18)

(19)

綜上所述，利用BM-SBM求解聲學(xué)靈敏度的分析流程見(jiàn)圖2。

圖2 BM-SBM求解聲學(xué)靈敏度的分析流程

3 MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)

3.1 GUI界面的創(chuàng)建

GUI是MATLAB軟件附帶的工具箱，GUI提供文本框、按鍵、滑動(dòng)條、圖形窗口等多種控件供用戶(hù)選擇，用戶(hù)可通過(guò)光標(biāo)拖動(dòng)編輯各類(lèi)控件的位置，并通過(guò)回調(diào)功能自定義其屬性和功能，從而設(shè)計(jì)出所需要的圖形界面。GUIDE在用戶(hù)進(jìn)行頁(yè)面設(shè)置時(shí)自動(dòng)生成可以運(yùn)行的.m文件，可以大大簡(jiǎn)化應(yīng)用程序的創(chuàng)建過(guò)程，用戶(hù)可以直接在框架中進(jìn)行代碼的編寫(xiě)。

軟件的主要操作流程包括初始化、計(jì)算工作和結(jié)果輸出3個(gè)過(guò)程。使用前單擊“幫助”按鈕可獲取使用信息。在初始化過(guò)程中，用戶(hù)可以進(jìn)行算例選擇和相關(guān)參數(shù)(如節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)、設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)、法向振速、聲速等)設(shè)置，單擊“繪制圖形”按鈕可以將模型在二維或三維坐標(biāo)系中繪制出來(lái)。待所有數(shù)據(jù)都輸入后，單擊“計(jì)算”按鈕可完成計(jì)算工作。計(jì)算結(jié)果以圖像方式輸出，也可以單擊“輸出靈敏度數(shù)據(jù)和輸出誤差數(shù)據(jù)”按鈕輸出文本文件，以查看測(cè)試點(diǎn)的具體計(jì)算結(jié)果。計(jì)算完成后點(diǎn)擊“復(fù)位”按鈕可實(shí)現(xiàn)軟件重置，以重新選擇算例和參數(shù)。軟件界面見(jiàn)圖3。

圖3 聲學(xué)靈敏度分析界面

3.2 操作步驟

算例屬性模塊示意見(jiàn)圖4。在算例屬性模塊中，選擇需要計(jì)算的算例，并設(shè)置好相應(yīng)的參數(shù)，包括算例尺寸、邊界節(jié)點(diǎn)數(shù)、法向振速、聲速、空氣密度等。若算例為聲散射模型，還需設(shè)置入射波方向。

圖4 算例屬性模塊示意

計(jì)算設(shè)置模塊示意見(jiàn)圖5。在計(jì)算設(shè)置模塊中，選擇設(shè)計(jì)變量并輸入設(shè)計(jì)變量步長(zhǎng)，同時(shí)設(shè)置測(cè)試點(diǎn)坐標(biāo)。若設(shè)計(jì)變量為波數(shù)k，則需要設(shè)置波數(shù)的取值范圍。

圖5 計(jì)算設(shè)置模塊示意

在計(jì)算結(jié)果模塊中，單擊“計(jì)算”按鈕，待計(jì)算完成后在模塊中顯示計(jì)算時(shí)間、實(shí)部和虛部最大絕對(duì)誤差以及實(shí)部和虛部全局誤差，同時(shí)可以根據(jù)需要選擇導(dǎo)出靈敏度和誤差數(shù)據(jù)。計(jì)算結(jié)束后進(jìn)行復(fù)位操作，準(zhǔn)備下一次運(yùn)算。

4 數(shù)值算例

用2個(gè)經(jīng)典的標(biāo)準(zhǔn)算例[12-13]展示本文開(kāi)發(fā)的工具箱具有計(jì)算準(zhǔn)確、結(jié)果直觀以及易于操作的特點(diǎn)。對(duì)一個(gè)復(fù)雜的二維車(chē)腔模型進(jìn)行聲學(xué)靈敏度分析，展示該工具箱在實(shí)際工程中的應(yīng)用。

4.1 二維無(wú)限長(zhǎng)脈動(dòng)圓柱聲輻射

取空氣中聲速c=343 m/s，空氣密度ρ=1.2 kg/m3，給定波數(shù)k的取值范圍為0.1≤k≤10.0，步長(zhǎng)dk=0.1，測(cè)試點(diǎn)坐標(biāo)取(2,2)。使用BM-SBM對(duì)測(cè)試點(diǎn)聲學(xué)靈敏度進(jìn)行求解，本文開(kāi)發(fā)的工具箱計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖6，部分k值下的相對(duì)誤差見(jiàn)表1。

(a)實(shí)部

表 1 部分k值下的相對(duì)誤差

由圖6和表1可以看出，該算法的計(jì)算精度較高，不同k值下得出的計(jì)算結(jié)果與精確解之間差值很小，相對(duì)誤差穩(wěn)定在1%以下，因此認(rèn)為BM-SBM可以準(zhǔn)確求解出二維-無(wú)限長(zhǎng)脈動(dòng)圓柱(聲輻射)關(guān)于波長(zhǎng)k的聲學(xué)靈敏度問(wèn)題。與此同時(shí)，計(jì)算過(guò)程反映出該工具箱具有操作簡(jiǎn)單、使用便捷、計(jì)算速度快、效率高的特點(diǎn)。

4.2 三維振動(dòng)球聲輻射

(a)實(shí)部

圖8 三維振動(dòng)球的聲學(xué)靈敏度誤差

由圖7和8可以看出，不同k值下得到的聲學(xué)靈敏度數(shù)值結(jié)果與相對(duì)應(yīng)的精確解結(jié)果高度一致，可見(jiàn)該工具箱能夠精確模擬三維振動(dòng)球聲輻射關(guān)于波長(zhǎng)k的聲學(xué)靈敏度問(wèn)題。

4.3 二維車(chē)腔聲散射

除對(duì)一些特定形狀的模型進(jìn)行分析外，本文開(kāi)發(fā)的工具箱還可以對(duì)任意形狀物體進(jìn)行聲學(xué)靈敏度計(jì)算。某車(chē)腔模型示意見(jiàn)圖9。將二維車(chē)腔模型的邊界節(jié)點(diǎn)信息導(dǎo)入到主程序的根目錄下，輸入給定參數(shù)為初始聲壓p0=1 Pa，入射波為沿x軸方向pi=p0exp(ikrcosθ)，波數(shù)0.1≤k≤10.0，步長(zhǎng)dk=0.1，計(jì)算外部測(cè)試點(diǎn)(4,1)關(guān)于波長(zhǎng)k的聲學(xué)靈敏度，結(jié)果見(jiàn)圖10。

圖9 車(chē)腔模型示意

(a)實(shí)部

5 結(jié)束語(yǔ)

建立聲學(xué)靈敏度分析的Burton-Miller奇異邊界法BM-SBM數(shù)值離散模型，在不同維度下求解聲學(xué)靈敏度問(wèn)題。與傳統(tǒng)方法相比，本文方法能夠避免復(fù)雜的網(wǎng)格劃分和奇異積分計(jì)算，在簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程的同時(shí)保證較高的精度。在MATLAB軟件的GUI環(huán)境下創(chuàng)建對(duì)應(yīng)的計(jì)算工具箱，為聲學(xué)靈敏度分析提供一種簡(jiǎn)單高效的數(shù)值方法計(jì)算平臺(tái)。該工具箱界面友好、操作簡(jiǎn)單，不僅可以用于學(xué)術(shù)研究，還可用于求解實(shí)際工程問(wèn)題。

奇異邊界法是一種邊界型無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法，所建立的矩陣方程為稠密矩陣。隨著計(jì)算規(guī)模和結(jié)構(gòu)復(fù)雜度的增加，本文方法將需要更多的存儲(chǔ)空間和計(jì)算時(shí)間。因此，未來(lái)需要對(duì)算法進(jìn)行加速，建立大規(guī)模聲學(xué)靈敏度分析的快速奇異邊界法，以?xún)?yōu)化程序、提高效率。

該用戶(hù)界面的開(kāi)發(fā)過(guò)程完全基于MATLAB軟件，其中復(fù)雜結(jié)構(gòu)的邊界配點(diǎn)借助于三維建模軟件SolidWorks和有限元軟件HyperMesh實(shí)現(xiàn)。用戶(hù)想要順利使用，無(wú)須深入了解奇異邊界法的理論，但可能會(huì)用到專(zhuān)業(yè)的建模和網(wǎng)格劃分軟件。如果能夠?qū)崿F(xiàn)建模、節(jié)點(diǎn)布置、數(shù)值仿真一體化功能，那么會(huì)更加方便用戶(hù)操作，也會(huì)提升軟件的實(shí)用價(jià)值。