盾構(gòu)隧道縱向等效抗彎剛度解析解

鮮泰巍

（中國(guó)鐵建昆侖投資集團(tuán)有限公司，四川 成都 610093）

0 引言

在盾構(gòu)隧道的設(shè)計(jì)中，主要考慮橫斷面上的受力狀態(tài)和襯砌結(jié)構(gòu)的變形，一般不把縱向上的結(jié)構(gòu)計(jì)算放在重要的位置。但實(shí)際工程中，盾構(gòu)隧道在縱向上本就是通過(guò)螺栓將管片環(huán)拼裝成一個(gè)整體的柔性結(jié)構(gòu)，如果不能充分地理解并合理地評(píng)價(jià)這個(gè)特點(diǎn)，可能會(huì)導(dǎo)致設(shè)計(jì)上出現(xiàn)重大問(wèn)題。因此，考慮施工途中的各階段及完成后荷載的作用狀態(tài)及襯砌的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，根據(jù)需要來(lái)進(jìn)行隧道縱向上的結(jié)構(gòu)計(jì)算具有重要的意義。

目前在盾構(gòu)隧道縱向力學(xué)行為和結(jié)構(gòu)計(jì)算方面主要包括現(xiàn)場(chǎng)或室內(nèi)試驗(yàn)、數(shù)值分析和理論解析，集中在對(duì)機(jī)理和影響因素及計(jì)算模型的研究[1-6]。當(dāng)前對(duì)縱向變形機(jī)理及其影響因素的研究已經(jīng)較為深入，但是在隧道縱向變形計(jì)算模型方面的研究還相對(duì)較少。

本文對(duì)圓環(huán)斷面的等效連續(xù)梁模型進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)。同時(shí)，考慮到隧道縱向受力變形時(shí)，不可避免地會(huì)引起隧道橫向幾何形態(tài)發(fā)生改變，橫截面也不再是圓環(huán)面。假設(shè)變形后的隧道橫截面變?yōu)闄E圓環(huán)，繼而提出基于等效連續(xù)梁模型的橢圓環(huán)斷面條件下盾構(gòu)隧道縱向等效抗彎剛度的計(jì)算方法，為隧道設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1 盾構(gòu)隧道縱向計(jì)算理論

1.1 隧道縱向結(jié)構(gòu)計(jì)算依據(jù)

隧道縱向上的結(jié)構(gòu)計(jì)算，依據(jù)以下情況按需要來(lái)進(jìn)行。這些都是僅僅依據(jù)橫斷方向的結(jié)構(gòu)計(jì)算來(lái)評(píng)價(jià)由作用荷載及地層位移引起的隧道力學(xué)行為比較困難的情況。

（1）小半徑曲線及大坡度施工的情況。進(jìn)行小半徑曲線及大坡度施工的盾構(gòu)機(jī)，為了沿著設(shè)計(jì)線形掘進(jìn)，通過(guò)將千斤頂?shù)耐屏ψ鳛槠暮奢d來(lái)獲得自身的轉(zhuǎn)向力進(jìn)行掘進(jìn)。這時(shí)，在隧道的前端部受到了與隧道軸向有偏斜角的軸向壓力（千斤頂推力）及由千斤頂推力的偏心造成的彎矩作用，對(duì)曲線內(nèi)側(cè)的環(huán)間接頭產(chǎn)生了過(guò)大的拉力作用，有時(shí)會(huì)導(dǎo)致接縫的開(kāi)裂及管片的損傷。

（2）受到地震作用的情況。隧道縱向上地震時(shí)的力學(xué)特性，與橫斷方向一樣，一般認(rèn)為隧道幾乎可以追隨地層的變形。在隧道縱向上，由于隧道縱向表層地層地震時(shí)力學(xué)行為的相位差（沿著隧道縱向的相對(duì)位移分布），產(chǎn)生了地震時(shí)的應(yīng)變（變形）與應(yīng)力。可以認(rèn)為良好地層中的隧道受到的影響比較小。應(yīng)該注意隧道縱向上受到地震影響的研究對(duì)象為豎井部位及地中接合部位等結(jié)構(gòu)發(fā)生變化的部位，地層條件發(fā)生突變的部位及小半徑曲線施工的部位。

（3）受到鄰近施工影響的情況。在鄰近盾構(gòu)隧道附近修建建（構(gòu)）筑物時(shí)，沿著隧道縱向上作用在隧道上的荷載會(huì)發(fā)生變化，由于鄰近施工隧道在縱斷方向上受到了影響。此時(shí)隧道在方向上局部發(fā)生了上浮或側(cè)向位移。

（4）受到地層不均勻沉降影響的情況。在隧道的局部區(qū)間存在固結(jié)過(guò)程中的地層及由硬質(zhì)地層向軟弱地層過(guò)渡區(qū)間時(shí)，在隧道縱向上會(huì)有產(chǎn)生不均勻沉降的可能性。

（5）受到平行設(shè)置隧道影響的情況?？梢钥紤]為前期施工的隧道受到后期施工隧道通過(guò)時(shí)臨時(shí)荷載的影響及由于后期隧道的開(kāi)挖引起的長(zhǎng)期影響等。

1.2 彈性地基梁模型

彈性地基梁模型是理論解析法中一種較為簡(jiǎn)單的模型。該模型將盾構(gòu)隧道的縱向管片簡(jiǎn)化為一均質(zhì)的彈性地基梁，對(duì)于環(huán)縫接頭的考慮通過(guò)用彈簧單元模擬接頭或把接頭處的剛度減弱體現(xiàn)到梁剛度的折減上的這兩種方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。土與結(jié)構(gòu)的相互作用用地層彈簧模擬。該模型概念清晰，計(jì)算和參數(shù)的選取較為簡(jiǎn)單，容易為廣大工程技術(shù)人員掌握，可以得出相鄰管片環(huán)之間的變形量。但該模型對(duì)接頭的考慮較粗略，直梁也難以模擬管片環(huán)的特性，不適合在襯砌環(huán)和接縫性能或地層有變化的隧道段使用。

1.3 縱向梁-彈簧模型

在縱向梁-彈簧模型中，以軸向、剪切和彎曲彈簧模擬接縫和螺栓，以梁?jiǎn)卧M襯砌環(huán)，以彈簧模擬土體與隧道之間的相互作用，使用彈簧將眾多的梁聯(lián)結(jié)在一起，構(gòu)成隧道的縱向解析模型。該模型以橫向梁-彈簧模型為基礎(chǔ)，可以在一定程度上模擬襯砌環(huán)和接頭的變形和力學(xué)特性，由村上博智和小泉淳提出。理論上可以在管片折減剛度區(qū)域內(nèi)通過(guò)不同剛度的折減體現(xiàn)出來(lái)。但是該模型以單元為計(jì)算基礎(chǔ)，分析過(guò)程為矩陣形式，需要通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法才能求得結(jié)果。該方法中彈簧的力學(xué)參數(shù)和影響范圍還是有待解決的問(wèn)題。

1.4 縱向等效剛度模型

縱向等效剛度模型考慮環(huán)間接頭引起的隧道縱向上剛度的折減，將隧道在縱向上看成剛度折減后的連續(xù)均質(zhì)圓筒。該模型是由志波由紀(jì)夫和川島一彥提出。該模型較符合隧道與土共同作用的實(shí)際情況，通過(guò)改變計(jì)算參數(shù)能夠適合各種地質(zhì)條件及工況，容易為廣大工程技術(shù)人員掌握。缺點(diǎn)是簡(jiǎn)化為均勻連續(xù)梁難以準(zhǔn)確反應(yīng)襯砌環(huán)之間的聯(lián)系。

對(duì)應(yīng)于將管片環(huán)模型化后的梁?jiǎn)卧?，多將地層模型化為與隧道軸向垂直的軸直角方向彈簧模型及在隧道縱向上的軸向彈簧。在計(jì)算這些彈簧系數(shù)時(shí)，地層特性及影響范圍成了難題?？煽紤]使用如下的計(jì)算方法：（1）采用慣用計(jì)算方法來(lái)進(jìn)行計(jì)算；（2）對(duì)地層采用有限元法，將隧道看成剛體，然后施加荷載，從荷載與位移的關(guān)系來(lái)進(jìn)行計(jì)算；（3）根據(jù)不同情況，將隧道縱向結(jié)構(gòu)模型組裝為地層有限元模型中進(jìn)行斷面內(nèi)力計(jì)算。

作用力有荷載、不均勻沉降、地震時(shí)的響應(yīng)位移等引起的力。有必要在充分考慮隧道條件的基礎(chǔ)上，來(lái)評(píng)價(jià)其作用力的大小及作用方向。對(duì)管片環(huán)縱斷方向結(jié)構(gòu)模型與地層模型構(gòu)成的解析模型，設(shè)定合適的邊界條件及初始條件后，施加合適的作用力來(lái)進(jìn)行數(shù)值解析。具體方法有對(duì)管片環(huán)的梁模型直接施加力的作用及通過(guò)地層彈簧來(lái)施加變位等。

當(dāng)前軸向等效剛度方法仍然是隧道縱向理論研究中的重要方法。而彈性地基梁模型、縱向-梁彈簧模型均將隧道簡(jiǎn)化為二維的梁，雖然實(shí)際工程中隧道直徑相對(duì)于整個(gè)隧道的長(zhǎng)度很小，但隧道直徑的尺寸效應(yīng)、地基的側(cè)壓力及地基的約束影響尚未知，需要進(jìn)一步完善。

2 盾構(gòu)隧道縱向等效抗彎剛度推導(dǎo)

2.1 圓環(huán)面隧道

圓環(huán)斷面等效抗彎剛度計(jì)算示意圖如圖1。根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件、力平衡條件和彎矩平衡條件可聯(lián)立求解出圓環(huán)斷面盾構(gòu)隧道縱向等效抗彎剛度。

圖1 圓環(huán)斷面等效抗彎剛度計(jì)算示意圖

2.1.1 變形協(xié)調(diào)條件

2.1.2 力平衡條件

即：

2.1.3 彎矩平衡條件

即：

下面聯(lián)合式（3）、（4）、（5）、（6）、（7）對(duì)相關(guān)未知變量進(jìn)行求解。

定義縱向螺栓單位伸長(zhǎng)量下的隧道橫截面上的等效應(yīng)力為kr，則：

考慮到x=Rsinφ，由式（5）可得：

聯(lián)立式（3）、（4）可得：

聯(lián)立式（10）、（11）可得：

即：

由式（6）可得：

將式（13）代入式（3）可得：

聯(lián)立式（12）、（14）可得：

通過(guò)求解式（15），可以解出中性軸的位置?。

由式（4）可得：

所以：

將式（16）、（17）代入式（7）可得：

由此即可求得（EI）eq的值如下：

上述各式中：

R——管片半徑（取管片環(huán)截面中心到管片中心的距離）；

D——管片外直徑；

t——管片厚度；

ls——兩環(huán)管片中心線間的距離，即一環(huán)管片的長(zhǎng)度；

c、?——中性軸的位置；

θ——管片截面轉(zhuǎn)角；

σt、εt——受拉側(cè)管片最大應(yīng)力、應(yīng)變；

σc、εc——受壓側(cè)管片最大應(yīng)力、應(yīng)變；

Es——管片彈性模量；

Is——截面慣性矩；

As——隧道橫截面積；

δJ——受拉側(cè)縱向螺栓最大伸長(zhǎng)量；

fJ——受拉側(cè)縱向螺栓最大等效應(yīng)力；

n——縱向螺栓個(gè)數(shù)；

kJ——單個(gè)縱向螺栓的線剛度；

KJ——整環(huán)管片縱向螺栓的等效線剛度，KJ=nkJ；

Eb——螺栓彈性模量；

Ab——單個(gè)接頭螺栓橫截面積；

lb——螺栓長(zhǎng)度。

2.2 橢圓環(huán)面隧道

“參數(shù)法”是求解橢圓問(wèn)題的一種重要方法，通過(guò)設(shè)參、用參、消參，簡(jiǎn)化問(wèn)題并使問(wèn)題得以解決。在應(yīng)用參數(shù)方程求解前，先研究橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義。橢圓環(huán)斷面等效抗彎剛度計(jì)算示意圖如圖2。以原點(diǎn)O為圓心，分別以a、b（a>b>0）為半徑作兩個(gè)同心圓，設(shè)A為大圓上任意一點(diǎn)，連接OA交小圓于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A作AE垂直于x軸，垂足為E，過(guò)B作BD垂直于AE，垂足為D，設(shè)∠x(chóng)OA=β，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x,y），那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為y，由三角函數(shù)的定義有x=acosβ，y=bsinβ。當(dāng)半徑OA繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，就得到了點(diǎn)D的軌跡，它的參數(shù)方程是（β為參數(shù)），這就得到了中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓。由圖2可以看出，參數(shù)β是點(diǎn)D所對(duì)應(yīng)的圓的半徑OA的旋轉(zhuǎn)角（稱為點(diǎn)D的離心角），而不是OD的旋轉(zhuǎn)角。

圖2 橢圓環(huán)斷面等效抗彎剛度計(jì)算示意圖

微橢圓弧為：

類似于圓環(huán)斷面等效抗彎剛度的求解，可從橢圓環(huán)斷面等效抗彎剛度的推導(dǎo)過(guò)程中領(lǐng)會(huì)。

2.2.1 變形協(xié)調(diào)條件

2.2.2 力平衡條件

2.2.3 彎矩平衡條件

3 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)圓環(huán)斷面的等效連續(xù)梁模型進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)，在傳統(tǒng)圓形盾構(gòu)隧道等效連續(xù)化模型的基礎(chǔ)上，建立了橢圓環(huán)面盾構(gòu)隧道的縱向等效連續(xù)化模型，提出了橢圓環(huán)面盾構(gòu)隧道等效抗彎剛度計(jì)算方法。由于盾構(gòu)隧道的橫向性能與縱向性能是密切聯(lián)系的，在后續(xù)的研究中需要進(jìn)一步考慮橫縱向性能的匹配關(guān)系，得到考慮隧道橫向行為的縱向等效抗彎剛度解析式，從而得到更為精確的盾構(gòu)隧道縱向等效抗彎剛度。