多模型的油藏模擬自動(dòng)歷史擬合方法研究

盧異，胡浩 ，成亞斌，夏國(guó)朝，任光文

1.中國(guó)石油大港油田勘探開(kāi)發(fā)研究院，天津?yàn)I海新區(qū)300280

2.中海福陸重工有限公司，廣東珠海519090

3.中國(guó)石油大港油田公司資源評(píng)價(jià)處，天津?yàn)I海新區(qū)300280

引言

隨著數(shù)值模擬理論的不斷完善以及計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，油氣藏?cái)?shù)值模擬逐漸由人工歷史擬合向自動(dòng)歷史擬合發(fā)展[1-7]，由傳統(tǒng)的單模型預(yù)測(cè)向多模型預(yù)測(cè)改進(jìn)[8-11]。多模型自動(dòng)歷史擬合主要分為兩個(gè)部分：多初始模型的建立與挑選以及多模型的自動(dòng)歷史擬合。由于所建立的地質(zhì)模型即使經(jīng)過(guò)歷史擬合，也僅能說(shuō)明模型計(jì)算結(jié)果和已知的歷史動(dòng)態(tài)基本一致，無(wú)法保證能反映地下儲(chǔ)層的真實(shí)分布，同時(shí)也無(wú)法保證對(duì)未來(lái)的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確。而采用多個(gè)特征各異卻又符合歷史動(dòng)態(tài)的模型同時(shí)進(jìn)行預(yù)測(cè)，提供一個(gè)未來(lái)生產(chǎn)情況的參考區(qū)間而非參考值，將更能夠降低開(kāi)發(fā)風(fēng)險(xiǎn)。

1 方法原理

1.1 主成分分析法降維

實(shí)際油藏建模中，即使經(jīng)過(guò)粗化，大型油藏模型的網(wǎng)格數(shù)量仍可達(dá)數(shù)十萬(wàn)以上，數(shù)據(jù)量龐大，導(dǎo)致模型后期處理以及自動(dòng)歷史擬合效率低下，因此，需要對(duì)模型數(shù)據(jù)進(jìn)行降維[12-14]。主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）[15]是由Hotelling[16]提出的數(shù)據(jù)降維方法，通過(guò)對(duì)原始變量的相關(guān)矩陣或協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu)的研究，將多個(gè)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換為少數(shù)幾個(gè)新的隨機(jī)變量（同時(shí)保留原始變量絕大部分特征信息），從而達(dá)到降維目的。

設(shè)隨機(jī)實(shí)現(xiàn)樣本為M={m1,m2,···,mNr}，其中，mi表示第i個(gè)實(shí)現(xiàn)的參數(shù)向量，Nr則是實(shí)現(xiàn)個(gè)數(shù)。

根據(jù)最優(yōu)重建準(zhǔn)則，PCA 目標(biāo)函數(shù)為

式中：

降維矩陣和原始參數(shù)向量相乘可將模型的參數(shù)向量由Nm維轉(zhuǎn)化為n維（通常Nm?n），樣本矩陣M和單個(gè)實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)向量m的降維可由式（4）計(jì)算

式中：

1.2 改進(jìn)的K 中心點(diǎn)聚類(lèi)

多個(gè)地質(zhì)模型經(jīng)過(guò)聚類(lèi)，將屬性相近的地質(zhì)模型歸并成一類(lèi)，可以減少用于歷史擬合的模型數(shù)量，本次采用K 中心點(diǎn)聚類(lèi)方法進(jìn)行聚類(lèi)[17]，主要原理如下：

設(shè)數(shù)據(jù)集合X中有f條a維數(shù)據(jù)，每條數(shù)據(jù)xq為一個(gè)對(duì)象。當(dāng)e個(gè)初始中心點(diǎn)對(duì)象隨機(jī)或按照一定依據(jù)選定后，將剩余的f?e個(gè)非中心點(diǎn)劃分為e個(gè)組，分組的規(guī)則是將非中心點(diǎn)對(duì)象化歸到離它最近的中心點(diǎn)。準(zhǔn)確地說(shuō)：如果Oq是一個(gè)非代表對(duì)象，Ow是一個(gè)代表對(duì)象（中心點(diǎn)），并且Oq與Ow的距離d(Oq,Ow)是Oq與所有中心點(diǎn)距離最近的，則稱(chēng)Oq屬于Ow所代表的簇。兩個(gè)對(duì)象的距離為

式（5）表示的是曼哈頓距離，根據(jù)不同情況可以選擇歐氏距離等其他形式的距離。

初始中心點(diǎn)確定并劃分好簇后，隨后每一步隨機(jī)使用一個(gè)非中心點(diǎn)對(duì)象Or替換現(xiàn)有中心點(diǎn)對(duì)象Ow，提高聚類(lèi)質(zhì)量。為了確保中心點(diǎn)Ow能夠被Or很好地替代，在每一次替換時(shí)需要考慮4種情況。

對(duì)于所有f?e個(gè)非代表對(duì)象Oq，一次替代所造成的總代價(jià)為

式中：

若Ct小于0，則認(rèn)為本次替換可以提高聚類(lèi)質(zhì)量，認(rèn)可本次替換，反之則拒絕替換。

常規(guī)K 中心點(diǎn)聚類(lèi)時(shí)間復(fù)雜度很高，最多需要e(f?e)2次計(jì)算判斷，尤其對(duì)初始中心點(diǎn)的選擇異常敏感?；陬I(lǐng)域的K 中心點(diǎn)算法[18]通過(guò)對(duì)中心點(diǎn)設(shè)定鄰域半徑，選取相互距離較遠(yuǎn)的e個(gè)處于樣本分布密集區(qū)域的數(shù)據(jù)作為K 中心點(diǎn)算法的初始聚類(lèi)中心，即可以在初期找到佳中心點(diǎn)或到達(dá)最佳中心點(diǎn)附近，減少中心點(diǎn)替換次數(shù)，又能避免初始中心點(diǎn)處于同一簇造成重復(fù)計(jì)算。

數(shù)據(jù)對(duì)象的鄰域半徑R定義為

對(duì)于任意數(shù)據(jù)對(duì)象xw，以xw為中心，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)的數(shù)據(jù)對(duì)象稱(chēng)為數(shù)據(jù)對(duì)象xw的鄰域，用δw表示。

在鄰域的限制下，K 中心點(diǎn)聚類(lèi)效率得到顯著提高。

1.3 自動(dòng)歷史擬合模型參數(shù)

在自動(dòng)歷史擬合研究中，需要將參數(shù)表示為向量的形式。如同時(shí)對(duì)孔隙度、滲透率、飽和度、相對(duì)滲透率和水體參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，則油藏參數(shù)組成的控制變量h可表示為

為了得到統(tǒng)一的歷史數(shù)據(jù)格式，即每項(xiàng)數(shù)據(jù)在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)都有數(shù)值，對(duì)應(yīng)時(shí)間步測(cè)量則為測(cè)量值，沒(méi)有測(cè)量也必須填寫(xiě)任意值，通常為0。

1.4 目標(biāo)函數(shù)

近年來(lái)，基于貝葉斯理論目標(biāo)函數(shù)[11]被廣泛用于自動(dòng)歷史擬合領(lǐng)域，不僅可以考慮動(dòng)態(tài)歷史和模型響應(yīng)之間的偏差，同時(shí)可以充分利用隨機(jī)實(shí)現(xiàn)中的先驗(yàn)信息，使得擬合后的模型更為符合實(shí)際地質(zhì)統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式為

將式（5）代入式（10），通過(guò)PCA 進(jìn)行變換可得模型降維后目標(biāo)函數(shù)式（11），可有效減少求解的計(jì)算量。

1.5 SPSA 優(yōu)化算法及改進(jìn)

SPSA 算法[19]可以一次同時(shí)擾動(dòng)所有控制變量，每次迭代僅需擾動(dòng)兩次即可求取隨機(jī)梯度，隨機(jī)梯度的期望為真實(shí)梯度，且恒為上山方向，在解決多變量的歷史擬合問(wèn)題時(shí)，效率高且收斂速度快。

本次在SPSA 算法的基礎(chǔ)上，為了使隨機(jī)梯度更接近真實(shí)梯度，提高算法穩(wěn)定性，采用在每個(gè)迭代步中求取多個(gè)隨機(jī)梯度，以其均值作為搜索方式

目前普遍認(rèn)可實(shí)際油藏相鄰網(wǎng)格的參數(shù)存在一定的相關(guān)性，參數(shù)場(chǎng)中相鄰網(wǎng)格之間為漸變關(guān)系，引入控制變量協(xié)方差矩陣來(lái)指導(dǎo)生成擾動(dòng)向量[20-21]

2 多模型自動(dòng)歷史擬合流程

多模型歷史擬合完整流程如圖1所示，主要包括5個(gè)步驟。

圖1 多模型歷史擬合完整流程Fig.1 Process of multi-model history matching

（1）整理靜態(tài)地質(zhì)資料和動(dòng)態(tài)觀測(cè)數(shù)據(jù)，依據(jù)靜態(tài)資料使用隨機(jī)模擬建立多個(gè)實(shí)現(xiàn)；

（2）使用PCA 算法對(duì)模型數(shù)據(jù)進(jìn)行降維；

（3）使用改進(jìn)的K 中心點(diǎn)聚類(lèi)算法挑選指定數(shù)量的隨機(jī)實(shí)現(xiàn)作為初始模型；

（4）設(shè)定SPSA 算法參數(shù)，對(duì)所有初始模型進(jìn)行自動(dòng)歷史擬合；

（5）使用擬合后的模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，評(píng)價(jià)開(kāi)發(fā)不確定性。

3 實(shí)例驗(yàn)證

3.1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備及隨機(jī)實(shí)現(xiàn)的生成

以反五點(diǎn)井網(wǎng)模型為例，工區(qū)面積為1000m×1000m，網(wǎng)格劃分為25×25×1=625個(gè)，網(wǎng)格尺寸為40 m×40m×20m，包含1口注水井（I）和4口采油井（A、B、C 和D 井）。研究區(qū)儲(chǔ)層參數(shù)如表1 所示，5口井的物性參數(shù)見(jiàn)表2。

表1 儲(chǔ)層參數(shù)Tab.1Properties of reservoir

表2 井的物性參數(shù)Tab.2 Physical properties of five wells

依據(jù)5口井的地質(zhì)資料，使用序貫高斯模擬隨機(jī)生成701組孔隙度、滲透率和凈毛比的模型。選擇其中一組作為參考模型，將其進(jìn)行數(shù)值模擬運(yùn)算后的生產(chǎn)數(shù)據(jù)作為油藏歷史數(shù)據(jù)。

圖2為參考模型的孔隙度、滲透率及凈毛比的空間分布。該模型共模擬7200d，前6000d 作為歷史數(shù)據(jù)，用于歷史擬合，將后1200d 假設(shè)為未來(lái)真實(shí)動(dòng)態(tài)，用于和經(jīng)歷史擬合確定后的模型參數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果做對(duì)比，分析預(yù)測(cè)的不確定性。

模型中的4口采油井采用定液量的方式生產(chǎn)，產(chǎn)油量變化如圖3所示。從圖3中可以看出，4口井的穩(wěn)產(chǎn)時(shí)間不同，D 井的穩(wěn)產(chǎn)時(shí)間最長(zhǎng)、B 井的穩(wěn)產(chǎn)時(shí)間最短。

圖3 參考模型生產(chǎn)井產(chǎn)油量曲線Fig.3 Oil productionrate of four production wellssimulated by reference geologic model

3.2 模型降維及初始模型的聚類(lèi)挑選

使用PCA 算法對(duì)700個(gè)隨機(jī)實(shí)現(xiàn)進(jìn)行降維，每個(gè)實(shí)現(xiàn)包含孔隙度、滲透率和凈毛比3類(lèi)共625×3=1875個(gè)數(shù)據(jù)，經(jīng)降維計(jì)算，前221個(gè)主成分即可表達(dá)原始數(shù)據(jù)90%以上的特征信息。由此每個(gè)實(shí)現(xiàn)的參數(shù)數(shù)據(jù)可由1875維降至221維。主成分?jǐn)?shù)據(jù)對(duì)總樣本數(shù)據(jù)的特征貢獻(xiàn)率如圖4所示。降維后的模型數(shù)據(jù)量大大減少，可以明顯減少聚類(lèi)計(jì)算量以及擬合階段需要調(diào)整的參數(shù)數(shù)量。

圖4 主成分特征貢獻(xiàn)率Fig.4 Contribution rateof principal component

使用改進(jìn)的K 中心點(diǎn)聚類(lèi)算法，在降維后的數(shù)據(jù)中挑選出5個(gè)實(shí)現(xiàn)作為初始模型，初始模型的滲透率分布如圖5所示，觀察可知，5個(gè)初始模型的滲透率分布具有明顯差別，各初始模型能很好地代表一類(lèi)實(shí)現(xiàn)，能夠更廣泛地包含儲(chǔ)層物性的分布。

圖55 個(gè)初始模型的滲透率參數(shù)場(chǎng)Fig.5 Permeability distributionof five initial models

3.3 自動(dòng)歷史擬合及預(yù)測(cè)

本例中僅考慮孔隙度、滲透率和凈毛比3類(lèi)變量對(duì)歷史擬合的影響；經(jīng)敏感性分析，發(fā)現(xiàn)滲透率對(duì)擬合效果產(chǎn)生較大影響，孔隙度和凈毛比影響可以忽略，且自動(dòng)歷史擬合迭代超過(guò)30次后，目標(biāo)函數(shù)已趨于收斂。

將滲透率作為擬合參數(shù)，設(shè)定最大擾動(dòng)次數(shù)為30次。其余參數(shù)設(shè)置為：隨機(jī)梯度個(gè)數(shù)為3，增益系數(shù)為10（增益系數(shù)是期望迭代次數(shù)的1/10或者更少），初始擾動(dòng)幅度為0.6，初始搜索步長(zhǎng)為0.3。歷史擬合后的模型滲透率分布如圖6所示，生產(chǎn)井A歷史擬合前后的產(chǎn)油量對(duì)比見(jiàn)圖7。

圖6 擬合后的滲透率模型Fig.6 Permeability distribution after history matching

圖7 不同初始模型下A 井產(chǎn)油量對(duì)比Fig.7 Contrast of oil productionrate of Well A simulated by five initial geologic models

由圖7可以看出，A 井經(jīng)過(guò)生產(chǎn)歷史擬合后，5個(gè)模型的產(chǎn)油量與歷史數(shù)據(jù)的符合率顯著提高，表明擬合效果較好。同時(shí)，從圖6可以看出，盡管各模型的滲透率分布存在差異，但都能獲得相似的生產(chǎn)歷史擬合效果，這也反映出生產(chǎn)歷史擬合存在多解性，即多個(gè)地質(zhì)模型的分布可以達(dá)到較為相似的生產(chǎn)效果。

另外，從A 井6 000～7 200 d 的生產(chǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果可以看出，使用任何一個(gè)經(jīng)歷史擬合后的模型預(yù)測(cè)A井的未來(lái)產(chǎn)量，都與A 井真實(shí)產(chǎn)量存在一定差異，但A 井的真實(shí)產(chǎn)量包含在5個(gè)模型預(yù)測(cè)的產(chǎn)量范圍內(nèi)（圖7）。這表明，使用單一模型預(yù)測(cè)的生產(chǎn)效果不佳，而采用多個(gè)模型預(yù)測(cè)的生產(chǎn)效果接近真實(shí)情況，因此，在今后的油藏?cái)?shù)值模擬中，有必要采用多個(gè)模型進(jìn)行生產(chǎn)效果預(yù)測(cè)。

4 結(jié)論

（1）地質(zhì)模型經(jīng)過(guò)PCA 降維，可以保留地質(zhì)模型中大部分特征的信息，并大大降低參數(shù)維度，減少聚類(lèi)計(jì)算量，提高擬合效率。

（2）提出了利用改進(jìn)K 中心點(diǎn)聚類(lèi)方法為基礎(chǔ)的初始模型挑選方法，使挑選出的模型具有很好的代表性，更廣泛地反映儲(chǔ)層的可能分布狀況。

（3）在自動(dòng)歷史擬合中將基于貝葉斯理論的目標(biāo)函數(shù)和PCA 算法相結(jié)合，提高了目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算效率。

（4）以理想反五點(diǎn)井網(wǎng)模型為研究對(duì)象，進(jìn)行模型降維、聚類(lèi)挑選及自動(dòng)歷史擬合的完整流程，驗(yàn)證了多模型自動(dòng)歷史擬合的可行性，實(shí)例中的整體動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的匹配度有明顯提高，效果顯著。