組合數(shù)學方向研究生教材建設初探
——以《圖論中的控制理論》為例*

張新鴻 李瑞娟

（1.太原科技大學應用科學學院 山西太原 030024；2.山西大學數(shù)學科學學院 山西太原 030006）

引言

組合數(shù)學是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)研究生的一個研究方向，是研究離散問題的一門學科，隨著數(shù)學以及計算機領域的不斷發(fā)展和變革，對組合數(shù)學的研究變得日益精進相關內(nèi)容可以參看文獻[1-3]。圖論是組合數(shù)學方向的重要研究內(nèi)容之一，所研究的內(nèi)容既涉及應用數(shù)學中的一部分理論，同時也是計算機科學中離散數(shù)學的重要組成。同時，圖論也是數(shù)學與應用數(shù)學類專業(yè)重要的專業(yè)基礎課程，它的學習效果直接影響學生后繼專業(yè)課程的學習，影響學生后續(xù)運用計數(shù)理論、組合方法、圖論技巧等思想分析和解決實際問題的能力發(fā)展。事實上，當任何一門學科中具備一個二元變量關系時，圖論都可為其提供一個數(shù)學模型?；诖嗽颍诂F(xiàn)代組合數(shù)學的研究過程中，圖的控制理論成為圖論中發(fā)展最快的分支之一。

在組合數(shù)學的眾多分支學科中，圖論中的控制理論不像分析學、代數(shù)學、拓撲學等學科具有完整的數(shù)學教學理論，在20世紀九十年代末期，圖的控制理論

主要涉及的是圖的點控制問題，很少涉及圖的邊控制問題[4]，使得大部分關于圖的控制理論的教材從內(nèi)容上來看都不夠完整。近十年來，隨著計算機技術的不斷發(fā)展和提高，圖的控制理論中的標號方法和標號技術都有了很大的進步和提高。同時，與圖的控制理論相關聯(lián)的以數(shù)字化為特征的內(nèi)容，如圖的標號[5]、染色[6]等內(nèi)容也受到了很大的推動作用，使得圖的控制理論變得越來越豐富。

一、組合數(shù)學方向研究生教材建設現(xiàn)狀

從“幻方”“楊輝三角”到萊布尼茨正式提出組合數(shù)學的概念，前后經(jīng)歷了上千年的時間。但是作為數(shù)學學科中的傳統(tǒng)學科，目前高校中所使用的組合數(shù)學教材尤其是圖論方向的教材仍不豐富，涉及圖論中的控制理論、染色理論、標號理論等相關教材更是少之又少。造成此種局面的原因有兩個。首先，從招生數(shù)量來看，組合數(shù)學方向只是數(shù)學學科中一個方向，招生數(shù)量一般較少，出版教材的發(fā)行量難以達到編輯部要求的規(guī)模，很難激發(fā)出版編輯組織編寫的熱情。其次，研究生教育與科技相關聯(lián)，與國際、國內(nèi)相關學科的發(fā)展有密切聯(lián)系，同時受到研究人員的水平、工作內(nèi)容、工作周期等因素的影響。教材的編寫還與編寫者的研究成果息息相關，編寫難度較大，周期較長[7]。

盡管在研究生教材編寫方面存在著各種困難，但是多年來，國內(nèi)外學者對組合數(shù)學方向研究生教材的研究和實踐從來沒有停止過。筆者也在多年來的日常科研、教學工作中對組合數(shù)學方向的教材建設多加關注與調(diào)研。對于組合數(shù)學方向碩士研究生的培養(yǎng)，太原科技大學數(shù)學系正初具規(guī)模。近年來，隨著數(shù)學學科建設的不斷增強，組合數(shù)學方向碩士研究生的數(shù)量在逐年增加，但研究生教材建設的現(xiàn)狀卻亟待提高。除學位課所涉及的公共課、基礎理論課，部分與研究方向相關的專業(yè)課均沒有匹配度較高的教材。因此，對組合數(shù)學方向研究生進行教材建設已成為目前數(shù)學學科下一步工作的重點，對該學科其他方向的教材建設也必將起到積極的示范帶頭作用。基于上述原因，本文討論了在當前研究生培養(yǎng)要面向國際、培養(yǎng)結(jié)構立體化的前提下，以《圖論中的控制理論》教材建設為例，闡述了組合數(shù)學方向研究生教材建設的“三模塊”教學模式創(chuàng)新理念，融入新的思想，改革目前存在的組合數(shù)學傳統(tǒng)教學模式。

二、“三模塊”教學模式的內(nèi)涵特征

研究生教育的核心工作之一便是教材建設。2021年8月，國家教材委員會制定了《習近平新時代中國特色社會主義思想進課程教材指南》，這是將馬克思主義中國化的最新成果系統(tǒng)納入各級各類學校課程教材，用習近平新時代中國特色社會主義思想鑄魂育人的路線圖?！吨改稀访鞔_要求把習近平新時代中國特色社會主義思想全面融入課程教材，要做到覆蓋包括高等教育在內(nèi)的各類型各學段，涵蓋國家、地方和校本課程。在此背景下，這必將更加激勵和促進研究生教材建設的科學化和規(guī)范化。與此同時，對于組合數(shù)學方向研究生教材的整體設計、局部規(guī)劃以及拓展應用都是非常重要的。通過對組合數(shù)學方向研究生教育教育特點的分析，結(jié)合不斷改變的科研動態(tài)和科研要求，筆者以《圖論中的控制理論》課程為模板，構建了組合數(shù)學方向碩士研究生教材建設的“三模塊”模式，其中蘊含的基本思想如圖1所示。

圖1 《圖論中的控制理論》教材建設的“三模塊”示意圖

《圖論中的控制理論》教材建設的第一個模塊稱為基礎模塊，包括通常所說的專業(yè)基礎課或選修課的主要概念、主要理論以及主要應用。注意到，這一模塊雖然不是本教材的主干模塊，但對研究生學習控制理論的專業(yè)知識至關重要，其在教材中的建設質(zhì)量直接影響教材其他模塊的建設。同時，要著重指出的是，在組合數(shù)學知識日新月異的變化形勢下，第一模塊的建設面臨諸多革新，建設難度不斷增加。造成困難的原因主要有下面三點。第一，當前本科教育的大眾化導致目前招入的碩士研究生學科基礎薄弱。第二，數(shù)學學科分類越來越細，學科交叉、融合程度要求卻越來越高。第三，作為組合數(shù)學方向研究生課程的教材，其理論性要求高，而另一方面從研究生就業(yè)需求來看也需要能對應用有指導作用的技術性教材。針對這些困難與問題，教材第一模塊的建設必須與第二模塊和第三模塊有機結(jié)合起來，與本校特色學科相融合，進行更加科學、更加鮮明的本質(zhì)設計。

《圖論中的控制理論》教材建設的第二個模塊稱為專業(yè)模塊，是本教材設計的核心部分，包含的就是圖論中涉及的控制理論的相關內(nèi)容。在第二模塊設計并實現(xiàn)的過程里，要依據(jù)組合數(shù)學專業(yè)碩士的培養(yǎng)特色與目標進行取舍和重點建設。

既要體現(xiàn)第一模塊中的基礎知識在第二模塊中的作用，又要考慮向第三模塊傳遞的科學性和順暢性，對于本校以及本學科關聯(lián)的內(nèi)容可以進行重點打造，著重突出控制理論在圖論中的重要性和關聯(lián)性，并要體現(xiàn)出能啟發(fā)學生思維的內(nèi)容。由于下一模塊是此模塊的一個應用部分，所以本部分既是主要核心內(nèi)容，又需要具備拓展的特點，扮演了承上啟下的角色，因此在設計上需要多重考慮、精心組織。

《圖論中的控制理論》教材建設的第三個模塊稱為專業(yè)應用推廣模塊，本模塊的設計與建設要結(jié)合各碩士生導師自身的研究興趣和方向，針對各自研究方向前沿進行本模塊的編寫。這一模塊在建設上不但要考慮研究生以后的研究內(nèi)容，同時也需考慮碩士研究生的研究課題以及學位論文組成內(nèi)容。筆者認為，要充分結(jié)合控制理論在染色問題、標號問題、競爭問題、信道處理、天際線問題的等多個應用方面的內(nèi)容，結(jié)合目前國內(nèi)外研究的突出問題、熱點內(nèi)容綜合進行考慮。上述內(nèi)容再教材建設的過程必須得到足夠的重視才能夠是的教材本身具有延展性和包容性，使得本教材的應用目標除了重點針對組合數(shù)學方向的研究生以外，也可以成為計算機等學科方向研究生的一個選學教材，將豐富的應用成果包含進入此模塊，是體現(xiàn)學科交叉融合、解決復雜問題這一教材設計思想的一個初衷。同時，本模塊中提煉出的一系列具體的研究課題，也有助于學生確定研究方向、精準選擇研究題木以及快速進入研究狀態(tài)。

《圖論中的控制理論》教材建設的“三模塊”設計思想與當前我國研究生教育的基本組織形式和培養(yǎng)過程是相契合的，同時也兼顧了本校以工科見長，交叉于本校其他重點學科的目的。既包括本課程所需的基礎內(nèi)容，使碩士研究生掌握堅實的基礎理論和系統(tǒng)的專門知識，又涵蓋了該學科的發(fā)展前沿，充分反映國內(nèi)外先進研究成果，還涉及了部分科學的方法論內(nèi)容，有利于研究生逐步嫻熟的運用所學的基本原理與方法，進入學科發(fā)展前沿，選對方向，不斷地提出問題，解決問題，在科學研究實踐中發(fā)展知識，提高創(chuàng)造能力。本文中提出的“三模塊”教材建設模式，是新時代研究生教材建設的一種嘗試和探索，它對于進一步揭示研究生教材建設的基本規(guī)律，研究生教材建設規(guī)劃方案、實施措施等的確定，以及向更多課程教材建設推廣均具有一定的指導意義。

三、組合數(shù)學方向教學中的實踐

為檢驗三個模塊實際教學過程中的效果，筆者在本校基礎組合數(shù)學方向碩士研究生教育中進行了一些嘗試，編寫了部分教材內(nèi)容和一些電子教案，主要工作見圖2。

圖2 《圖論中的控制理論》教材建設實踐流程圖

在對組合數(shù)學方向研究生的教學實踐中，綜合Bondy[8]等人編著的《圖論》，以及Bang Jensen[9]等人編著的《有向圖理論》，筆者將圖的一般概念和基本參數(shù)進行了總結(jié)、提煉和匯編，將教材中用到的基本理論進行了篩選與凝練，以便于研究生能盡快將基礎知識進行掌握和了解，這一過程對應的內(nèi)容即為“第一模塊”。

在第一模塊的基礎上，根據(jù)Haynes等人編著的《圖的控制主題》以及Hedetniemi等人編著的《圖的控制基礎》，同時結(jié)合筆者近幾年在控制理論方向與研究生合作完成的部分研究成果，編寫了相應的教案與教材初稿，這一部分的理論使得研究生在學習之后，能夠準確地選定課題，并進行進一步的科學研究，最終獲得一定的研究成果。尤其是對有向圖部分的控制理論研究，得出了較為豐富的研究結(jié)果，填補了有向圖在此方面的部分空白。這一部分的工作對應“第二模塊”。

與第二模塊緊密關聯(lián)，我們在第三模塊部分針對控制理論在圖論方面的應用進行了深入的探討和研究。給出了相關的科研課題，比如“局部半完全有向圖的控制數(shù)與競爭數(shù)的關系”“局部競賽圖的染色數(shù)與控制數(shù)的關系”“有向圖的羅馬控制數(shù)”等內(nèi)容。第三模塊是前兩個模塊內(nèi)容的深化與擴展，與前面模塊既關系密切，又具有更深層次的特點與作用。

通過與國內(nèi)外同行的深入分析和探討，我們對編著新教材的進行了規(guī)劃，其基本框架如表1。

表1 《圖論中的控制理論》建設框架

該教材的建設不但對許多組合數(shù)學理論有重要的推動意義，更廣泛應用于通信編解碼、矩陣運算、任務分配、分布式系統(tǒng)、模式識別、圖像處理與分析、網(wǎng)絡理論、經(jīng)濟管理等領域。本教材的面向?qū)ο鬄閿?shù)學與應用數(shù)學專業(yè)以及計算機科學與技術的各專業(yè)研究生，旨在從理論和技術上深入地介紹圖的控制理論的原理、技術，以及國內(nèi)外前沿研究內(nèi)容，為學生在基于圖論的理論背景下深入學習控制理論技術和相關應用研究奠定基礎。

目前，此教材的建設工作處于中期建設階段，積累了一些研究成果，完成了部分編寫工作，下面將進一步對教材建設工作進行充實和完善，也希望得到同行的支持與建議，最終完成相關工作。