對(duì)角修形斜齒輪高精度逆向建模

李旭東 ，魏 剛

（長(zhǎng)安大學(xué)工程機(jī)械學(xué)院，陜西 西安 710064）

0 引言

斜齒輪因具有承載能力強(qiáng)、重合度大、傳動(dòng)平穩(wěn)的特點(diǎn)，在農(nóng)機(jī)產(chǎn)品、新能源汽車、風(fēng)電設(shè)備等齒輪傳動(dòng)場(chǎng)合得到廣泛應(yīng)用。但由于安裝誤差和制造誤差等因素影響，輪齒嚙合時(shí)會(huì)產(chǎn)生嚙入沖擊，導(dǎo)致振動(dòng)和噪聲。而對(duì)角修形是實(shí)現(xiàn)減振降噪的有效方法。因此，完成對(duì)角修形斜齒輪的精確建模對(duì)嚙入沖擊力計(jì)算、齒面承載接觸分析和有限元仿真分析等有重要意義。

王憲法等[1-2]最早提出對(duì)角修形方法，并通過試驗(yàn)證明對(duì)角修形斜齒輪相較標(biāo)準(zhǔn)齒輪具有更低的噪聲。蔣進(jìn)科等[3]通過仿真計(jì)算表明，對(duì)角修形相較齒廓修形在實(shí)現(xiàn)斜齒輪減振降噪方面效果更顯著。何湘玥[4]基于Masta平臺(tái)通過仿真計(jì)算發(fā)現(xiàn)，對(duì)角修形斜齒輪可降低電動(dòng)汽車的嘯叫。曾紅等[5]基于CATIA逆向工程完成弧齒錐齒輪建模，并通過無縫接口導(dǎo)入ABAQUS完成接觸應(yīng)力分析，該方法可提高分析效率。高曉偉等[6]基于CATIA對(duì)弧齒錐齒輪進(jìn)行了建模，并將其導(dǎo)入ABAQUS完成應(yīng)力分析，仿真應(yīng)力和Hertz接觸理論計(jì)算應(yīng)力基本一致，驗(yàn)證了建模合理性。葛德等[7]研究了基于MATLAB和CATIA完成標(biāo)準(zhǔn)斜齒輪快速精確建模的方法。唐良兵等[8]基于CATIA建立斜齒輪三維模型，并完成了應(yīng)力分析，試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果基本吻合，表明了建模的可靠性。金美付等[9]基于CATIA完成齒向鼓形修形斜齒輪建模，最高可達(dá)0級(jí)精度。Fuentes-Aznar等[10]提出采用Hermite插值方法實(shí)現(xiàn)非光滑連接齒根過渡區(qū)的幾何建模。

CATIA在齒輪建模方面具有較高的精度，在實(shí)際工程中應(yīng)用非常廣泛?；贑ATIA完成對(duì)角修形斜齒輪的精確建模，對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、CAE快速分析等有重要意義。本研究首先以斜齒輪為研究對(duì)象，建立假想產(chǎn)形斜齒條展成斜齒輪坐標(biāo)系，推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)工作齒面和齒根過渡齒面方程。其次，給出對(duì)角修形方法的具體過程，在標(biāo)準(zhǔn)工作齒面法矢方向疊加修形曲面建立修形齒面，并利用Hermite插值對(duì)修形齒面與齒根過渡曲面的邊界處進(jìn)行光滑處理。最后，借助CATIA完成對(duì)角修形斜齒輪的三維逆向建模和擬合偏差分析。

1 全齒面方程

1.1 標(biāo)準(zhǔn)漸開線

假想產(chǎn)形齒條展成工件右齒面的坐標(biāo)變換如圖1所示，建齒條刀參考坐標(biāo)系St于左刀面，通過坐標(biāo)變換即可得到左齒面。圖中αn為法向壓力角，β為分度圓螺旋角，θ1為齒輪轉(zhuǎn)角，rp1為分度圓半徑；am=0.25πmn/cosβ，表示1/4端面齒距；mn表示齒輪法向模數(shù)。假設(shè)齒條刀右側(cè)刀面位矢和單位法矢分別為rt=[ut, 0,lt, 1]T，nt=[0, 1, 0]T，其中ut、lt分別為齒條刀右刀面xt軸、zt軸上的坐標(biāo)參數(shù)。根據(jù)齒輪嚙合原理，標(biāo)準(zhǔn)漸開線右齒面的位矢r1(ut,lt,θ1)、單位法矢n1(ut,lt,θ1)以及嚙合方程[11]表示為：

圖1 假想產(chǎn)形齒條展成工件右齒面的坐標(biāo)變換

式中，M1t=M1fMfaMabMbcMcdMdt，M1t為從齒條刀參考坐標(biāo)系St到工件動(dòng)坐標(biāo)系S1的變換矩陣，L1t為M1t去掉最后一行和最后一列的變換子矩陣。

1.2 齒根過渡曲線

假想產(chǎn)形齒條法向齒廓如圖2所示，假設(shè)齒條過渡圓弧部分的位矢和法矢分別為r＇t=[-rwsinφtmntanαn,rwcosφt-rw,lt, 1]T，n＇t(φt,lt)，其中過渡圓弧半徑rw=0.25mn/(1-sinαn)。根據(jù)齒輪嚙合原理，工件右側(cè)齒根過渡齒面的位矢r＇1(φt,lt,θ1)、法矢n＇1(φt,lt,θ1)及嚙合方程為：

圖2 假想產(chǎn)形齒條法向齒廓

式中，φt∈[0, π/2-αn]。

2 對(duì)角修形齒面建模

對(duì)角修形是指在輪齒嚙入嚙出端進(jìn)行修形，中間部分不修或者少修。以右旋斜齒輪左齒面為例進(jìn)行分析，對(duì)角修形斜齒輪三維圖如圖3所示。齒頂修形終止位置為齒頂ra1，齒根修形終止位置是在保證漸開線最小嚙合長(zhǎng)度條件下的嚙合起始點(diǎn)，其半徑rk1為：

圖3 對(duì)角修形斜齒輪三維圖

式中，ra2為從動(dòng)輪的齒頂圓半徑，rb1、rb2分別為主、從動(dòng)輪的基圓半徑，rp1、rp2分別為主、從動(dòng)輪的分度圓半徑，αt為端面壓力角。旋轉(zhuǎn)投影面對(duì)角修形示意圖如圖4所示，給定修形高度AB、DE，得到旋轉(zhuǎn)投影面上B點(diǎn)坐標(biāo)（-B1/2，ra1-AB）、E點(diǎn)坐標(biāo)（B1/2，rk1+DE），其中，B1為齒寬，可以得出：

圖4 旋轉(zhuǎn)投影面對(duì)角修形示意圖

聯(lián)立式（1）（3）（4）分別得到B、E點(diǎn)的齒輪轉(zhuǎn)角根據(jù)同一齒面接觸線齒輪轉(zhuǎn)角相同的原理，將分別代入式（1）（3）（4）得到修形長(zhǎng)度AC、DF。修形起始線BC、EF在旋轉(zhuǎn)投影面上的投影非常接近直線，為便于修形量的計(jì)算，用直線代替曲線。齒頂、齒根修形起始線的螺旋角分別為βa=atan(AB/AC)、βd=atan(DE/DF)。假設(shè)齒頂和齒根修形區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)G到修形起始線的距離為lG，修形區(qū)域沿著lG方向的修形量可按照直線型、二次拋物線、四次拋物線增大，且平行于修形起始線的修形量相等，則點(diǎn)G(z2,x2)的修形量為：

式中，Ca、Cd分別為齒頂和齒根的最大修形量；ka、kd為修形曲線次數(shù)，可取1次、2次、4次；la為A到BC的距離；ld為D到EF的距離。

修形齒面表示為標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒面與法向修形曲面的疊加，其位矢和法矢可表示為：

式中，r1m，n1m分別為小輪對(duì)角修形齒面的位矢和單位法矢。

圖3中修形齒面與齒根過渡曲面的邊界處出現(xiàn)不連續(xù)問題。而Hermite插值不僅可以保證在給定節(jié)點(diǎn)處插值多項(xiàng)式的函數(shù)值與原函數(shù)值相同，而且可以使其導(dǎo)數(shù)值也與被插函數(shù)的相應(yīng)階導(dǎo)數(shù)值相等，非常適合用于對(duì)不連續(xù)處進(jìn)行光滑處理，如圖5所示。給定位矢P0、P1以及切矢T0、T1，通過式（8）定義兩點(diǎn)之間的Hermite曲線[10]為：

圖5 Hermite插值處理修形曲線與過渡曲線分界處

式中，t為Hermite曲線參數(shù)，t∈[0,1]?？梢缘贸鯤ermite曲線的混合函數(shù)：

式中，b1、b2、b3和b4為權(quán)重系數(shù)。

進(jìn)行修形齒輪Hermite曲面建模時(shí)，針對(duì)齒輪某一截面的過渡曲線，假設(shè)初始點(diǎn)位矢P0為(xP0,yP0,zP0)，最終點(diǎn)位矢P1為(xP1,yP1,zP1)，初始點(diǎn)P0的切矢T0為(xT0,yT0,zT0)，最終點(diǎn)P1的切矢T1為(xT1,yT1,zT1)。則Hermite曲線上一點(diǎn)P(xP,yP,zP)關(guān)于參數(shù)t的函數(shù)為：

Hermite曲線曲率是變化的，需增加切向量參數(shù)th控制曲線的弧度，th的取值范圍一般為0.5~1.5。對(duì)切矢T0和T1分別乘以齒輪法向模數(shù)mn以及切向量參數(shù)th，通過調(diào)整th得到滿足要求的齒輪輪廓。

3 逆向建模和精度分析

斜齒輪副基本參數(shù)和對(duì)角修形基本參數(shù)分別如表1、表2所示。為保證Hermite曲面與原齒根過渡曲面較為逼近，經(jīng)多次調(diào)整發(fā)現(xiàn)取th=0.9效果最好。通過MATLAB編程對(duì)二次拋物線對(duì)角修形斜齒輪齒面在齒高方向和齒寬方向進(jìn)行數(shù)字化離散，如圖6所示；其中Hermite插值處理后的斜齒輪右側(cè)前端面曲線廓形如圖7所示。

圖7 斜齒輪右齒面前端面曲線廓形

表1 斜齒輪副基本參數(shù)

表2 對(duì)角修形基本參數(shù)

圖6 二次拋物線對(duì)角修形斜齒輪齒面

利用CATIA中DES模塊import命令將齒面離散坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)導(dǎo)入形成點(diǎn)云，通過QSR模塊的Power fit命令進(jìn)行強(qiáng)力擬合得到單個(gè)齒槽。借助DES模塊的Deviation Analysis命令[12]對(duì)修形齒面和標(biāo)準(zhǔn)齒面進(jìn)行偏差分析，此命令定義左側(cè)齒面法矢方向由標(biāo)準(zhǔn)齒面指向齒槽處，右側(cè)齒面法矢方向由標(biāo)準(zhǔn)齒面指向?qū)嶓w。在齒廓方向，分別選取z1為-20 mm、0 mm、20 mm處截線每次導(dǎo)入50個(gè)標(biāo)準(zhǔn)齒面點(diǎn)計(jì)算偏差。左右齒面齒廓偏差如圖8（a）、（b）所示，z1分別為-20 mm、20 mm時(shí)的截線偏差去除修形量30 μm，得到最大擬合偏差分別為0.189 μm、0.380 μm；而z1為0 mm的截線偏差，去除在齒根修形終止位置處的最大修形量為0.7 μm，齒根部分最大擬合偏差為0.636 μm，而此截線靠近齒頂部分不修形，則此截線最大擬合偏差為1.103 μm，發(fā)生在左齒面。因此，齒廓最大擬合偏差為1.103 μm。在齒向方向，分別選取半徑r為85.666 mm（齒根修形終止位置）、89.706 mm（分度圓）、94.706 mm（齒頂圓）的截線每次導(dǎo)入100個(gè)標(biāo)準(zhǔn)齒面點(diǎn)計(jì)算偏差。左右齒面齒向偏差圖如圖8（c）、（d）所示，r分別為85.666 mm、94.706 mm的偏差去除修形量30 μm，得到最大擬合偏差分別為0.380 μm、0.189 μm，r為89.706 mm的截線偏差去除靠近齒根修形區(qū)域外端面上的修形量1.1 μm，而此截線靠近齒頂區(qū)域不修形，則此截線最大擬合偏差為0.691 μm，發(fā)生在右齒面。因此，齒向最大擬合偏差為0.691 μm。綜上，左右修形齒面最大擬合偏差約為1.1 μm。

圖8 二次拋物線對(duì)角修形斜齒輪偏差比較

經(jīng)延伸、裁剪、封閉、旋轉(zhuǎn)、陣列等命令得到二次拋物線對(duì)角修形斜齒輪三維模型，如圖9所示。

圖9 二次拋物線對(duì)角修形斜齒輪三維模型

4 結(jié)論

1）本文以斜齒輪為研究對(duì)象，建立假想產(chǎn)形斜齒條展成斜齒輪坐標(biāo)系，并推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)工作齒面和齒根過渡齒面的齒面方程和嚙合方程。

2）在標(biāo)準(zhǔn)工作齒面法矢方向疊加修形曲面建立修形齒面，并利用Hermite插值對(duì)修形齒面與齒根過渡曲面的邊界處進(jìn)行光滑處理。

3）借助CATIA軟件完成了二次拋物線對(duì)角修形斜齒輪的精確建模，最大擬合偏差約為1.1 μm，符合設(shè)計(jì)要求。