數(shù)學思想在數(shù)與代數(shù)部分解題中的應用研究
——以山西省中考為例

盧鳳婷

（太原師范學院 山西晉中 030619）

數(shù)與代數(shù)部分是中學數(shù)學教學的四大板塊之一，是學生認知數(shù)量關(guān)系、探索數(shù)學規(guī)律、構(gòu)建數(shù)學模型的基礎(chǔ)，能夠讓學生從數(shù)的角度清晰認識、理解和表達世界。數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的學習，有助于學生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發(fā)展幾何直觀和運算能力[1]。

數(shù)與代數(shù)部分同樣也是中考數(shù)學的重要組成部分，主要涵蓋了數(shù)與式、方程與不等式和函數(shù)三個板塊，是學生在初中數(shù)學學習中必須掌握的重點知識，在中考數(shù)學中占據(jù)了一半的分值。數(shù)學思想作為數(shù)學解題的重要思想，在解決數(shù)與代數(shù)問題時有重要的作用。

一、函數(shù)思想在中考數(shù)學數(shù)與代數(shù)部分解題中的應用

對于中學數(shù)學，函數(shù)思想的應用主要體現(xiàn)在：首先是能夠借助初等函數(shù)的性質(zhì)來解決相關(guān)含參問題；其次是在解決問題的過程中，建立函數(shù)關(guān)系式，把鉆研的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榕c函數(shù)相關(guān)的問題，以實現(xiàn)化繁為簡，化難為易[2]。在具體的解題過程中，面對很多實際問題，我們無法利用相同領(lǐng)域內(nèi)的知識完成問題的分析和解決，這時需要我們將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而完成求解[3]。

例1如圖1，平面直角坐標系中，正四邊形OABC的頂點O落在坐標原點，邊長為2，A點，C點分別位于x軸和y軸的正半軸上。函數(shù)y=2x的圖象與CB交于點D，函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過點D，與AB相交于點E，與函數(shù)y=2x的圖象在第三象限內(nèi)交于點F，連接AF、EF。求函數(shù)的表達式，并寫出E點和F點的坐標。

圖1

問題分析：該題目是山西省2017年中考題第18題。解決這一題目的關(guān)鍵就是要利用函數(shù)思想，將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進行求解。在解題中，可以借助待定系數(shù)法完成求解。首先根據(jù)題目條件，我們可以知道正方形OABC且邊長為2，點A，點C分別在x軸，y軸的正半軸上，所以A點的坐標是（2，0），C點坐標是（0，2）；函數(shù)y=2x的圖象與CB交于點D，CB的解析式為y=2，所以兩個方程構(gòu)建二元一次方程組，聯(lián)立求解得到交點D的坐標（1，2）；函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過點D，所以點D函數(shù)上，點D的坐標滿足該函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法，就可以求得函數(shù)的表達式。E的坐標可以根據(jù)點A坐標和數(shù)的表達式求得，F(xiàn)的坐標是點D關(guān)于原點的對稱點，可根據(jù)點D坐標求得。這一題目主要考查學生數(shù)學思維的靈活轉(zhuǎn)化能力，從題型上看，本題主要是正方形和反比例函數(shù)的交點問題，單純通過反比例函數(shù)的相關(guān)知識去解決這一問題難度較大，如果通過構(gòu)建函數(shù)的方式分析問題，借助函數(shù)思想和待定系數(shù)法就能夠?qū)⑦@一復雜的問題簡單化，提高學生的解題效率。

二、轉(zhuǎn)化思想在中考數(shù)學數(shù)與代數(shù)部分解題中的應用

轉(zhuǎn)化思想就是指從不同的角度思考，另辟蹊徑地將新知識與舊知識聯(lián)系到一起。在初中數(shù)學學習中，轉(zhuǎn)化思想是學生解決數(shù)學習題的有效途徑。學生靈活應用轉(zhuǎn)化思想，解決某些難以入手的證明題、計算題，能提高學習信心[4]。

例2，如圖2，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為2，以點A為圓心，以AC為半徑畫弧交AB的延長線于點E，交AD的延長線于點F，則圖中陰影部分的面積是（）。

圖2

A.4π-4 B.4π-8 C.8π-4 D.8π-8

問題分析：該題目是山西省2018年中考題選擇題最后一題，從這道題的位置來看，處于選擇題壓軸題的位置，學生一開始可能會產(chǎn)生畏難情緒。但是仔細看這道題，我們發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積可以轉(zhuǎn)化，利用在轉(zhuǎn)化思想，我們可以把不易解決的問題轉(zhuǎn)化成已解決的問題或者易解決的問題。圖中陰影部分的面積是分散的，我們利用拼補的方法可以把上半圓的陰影補到下半圓的空白地方，陰影部分的面積就完整了，求分散的陰影部分的面積我們就可以轉(zhuǎn)化成求一個整體的陰影面積。而轉(zhuǎn)化后的整體面積就是大扇形面積減去一個三角形的面積，大扇形的面積和三角形的面積都是學生易解決的問題，這道題就迎刃而解了。所以在日常教學中加強學生的聯(lián)想思考，讓學生在面對難題時能迅速找到解題的切入點，采用補形轉(zhuǎn)化、換元轉(zhuǎn)化、化繁為簡、問題變更等方法，完成習題的解析與論證。

三、數(shù)形結(jié)合思想在中考數(shù)學數(shù)與代數(shù)部分解題中的應用

數(shù)形結(jié)合是將數(shù)學之中的“數(shù)”與“形”相結(jié)合，將復雜的問題簡單化，將抽象的問題直觀化，利用圖形的直接性和數(shù)據(jù)的嚴謹性更好地解決問題[5]。數(shù)學教師在講課過程中應有意識地利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，讓學生多養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的思維，更好地解決數(shù)學問題。

例3：已知點A,（x1，y1），B（x2，y2）,C（x3，y3）都在反比例函數(shù)（k＜0）的圖象上，且x1＜x2＜0＜x3，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）。

A.y2＞y1＞y3B.y3＞y2＞y1C.y1＞y2＞y3D.y3＞y1＞y2

問題分析：該題目是山西省2020年中考題選擇題第7題。對于這一問題，如果單純地通過函數(shù)和取值范圍的角度去思考，很難找到解題的突破口，尤其是對于反比例函數(shù)這類極為抽象的知識點。借助數(shù)形結(jié)合思想，能夠完美解決。在解題的過程中，可以將函數(shù)轉(zhuǎn)化為圖形，根據(jù)反比例函數(shù)中k的正負，判定函數(shù)圖像的走勢，這樣就將原來的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)的圖像問題，最后將關(guān)鍵點的坐標代入就可以完成求解。當k＜0時，函數(shù)圖像就是從左往右逐漸上升的，y值會隨著x值的增大不斷增大。此時，整個問題就會變得思路清晰，解題難度就會降低。

四、分類討論思想在中考數(shù)學數(shù)與代數(shù)部分解題中的應用

分類討論思想是一種最基礎(chǔ)的解決困難的思維戰(zhàn)略，旨在將所要研究的對象按照標準分為若干不同的類別，在挨個研究的進程中，實現(xiàn)分而治之。分類討論思想貫穿初中數(shù)學教學，包括概念、定理、公式、運算性質(zhì)、不確定的量等，它同樣也是培養(yǎng)學生良好數(shù)學思維品質(zhì)的關(guān)鍵方法。分類討論思想也是中考數(shù)學解題中一種重要的解題思想，該思想主要應用于函數(shù)部分問題中，尤其是對于二次函數(shù)，a取值的不同直接影響著整個解題思路。在解題的過程中，要注重對二次項系數(shù)的正負和常數(shù)項的正負做好分類討論，根據(jù)不同的情況判斷函數(shù)曲線。

圖3

問題分析：該題目是山西省2020年中考第23題1，2小問。在求解這一問題的時候，解析問題（1）只需要學生將函數(shù)所對應的方程值為0時就可求得與x軸的交點A，B兩點的坐標，再聯(lián)合點D和點A的坐標，求得直線l的函數(shù)表達式。但是，對于問題（2）動點問題，則需要學生考慮實際情況，進行分類討論，在此過程中，教師應該起到引領(lǐng)的作用，啟發(fā)學生運用該思想進行探索：

PM與直線l交于點N當點N是線段PM的三等分點，而點N是線段PM的三等分點，可以是靠近P的三等分點，也可以是靠近M的三等分點。所以可分兩種情況進行討論：

第一種是|MN|=2|PN|，第二種是2|MN|=|PN|，M、N、P三點的坐標均可以用含m的代數(shù)式表達，所以根據(jù)不同的等量關(guān)系可以列出等式，即可解出滿足關(guān)系的m，得到點P的坐標。在動點問題中，應用分類討論思想，使得學生在解析問題的時候，能夠全面分析影響因素，做到高效解題。分類討論思想的運用可以提高學生的思維能力，又可以使學生形成良好的解題習慣。

五、方程思想在中考數(shù)學數(shù)與代數(shù)部分解題中的應用

方程思想作為中學數(shù)學中主要的思想之一，它主要是立足于具體數(shù)學問題，在正確理解的基礎(chǔ)上，將問題中文字語言轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳臄?shù)學語言，并建立起相關(guān)的數(shù)學關(guān)系——方程或方程組，然后通過解方程（組），從而解決問題，習得一種新型的思維方式.通俗而言，方程思想就是“實際問題→數(shù)學問題→代數(shù)問題→方程問題”這樣一個過程。

例5：2020年5月，太原舉行了“活力太原·樂購晉陽”消費暖心活動，此次活動中的電器消費券單筆消費滿600元立減128元（一次只能使用一張）。某品牌電飯煲以進價的150%進行標價，假如按標價的80%售賣，一位客人購置該電飯煲時，使用一張電器消費券后，又付了568元。請問該電飯煲的進價是多少。

問題分析：該題目是山西省2020年中考第17題。這道題是生活中常見的銷售問題，依據(jù)是商場售價=買家應付款這一等量關(guān)系，由于題目中已知標價為銷售價的15%，且八折銷售，買家在付款時有滿600減128的優(yōu)惠，買家在優(yōu)惠后付款568，所以買家應付款為568+128。因此可設進價為x，根據(jù)這一等量關(guān)系，x·（1+50%）·0.8=568+128，解得x=580。類似的實際問題可以讓學生熟悉生活常見模型，將未知數(shù)表示出來后代入等量關(guān)系中。列方程解應用題的學習能讓學生直觀感受和應用方程思想，明白未知量與已知量之間的等量關(guān)系。

六、建模思想在中考數(shù)學數(shù)與代數(shù)部分解題中的應用

在新課標理念下，中學數(shù)學的教學慢慢向教學生如何解決現(xiàn)實問題進行轉(zhuǎn)變。對于學生來說，解決繁雜的實際問題還是有一定的挑戰(zhàn)，而數(shù)學建?？梢詭椭鷮W生將煩瑣的現(xiàn)實問題抽象為易懂的數(shù)學問題，用數(shù)學知識去求解，這樣能夠大幅度地提高了學生的解題的速度，而且培養(yǎng)學生解決問題的能力。

例6：圖4是某車站的一組智能通道閘機，當行人通過時智能閘機會自動識別行人身份，識別成功后，兩側(cè)的圓弧翼閘會收回到兩側(cè)閘機箱內(nèi)，這時行人即可通過。圖5是兩圓弧翼展開時的截面圖，扇形ABC和DEF是閘機的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對稱，BC和EF均垂直于地面，扇形的圓心角∠ABC=∠DEF=28°，半徑BA=ED=60cm，點A與點D在同一水平線上，且它們之間的距離為10cm.求閘機通道的寬度，即BC與EF之間的距離（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）；

圖4

圖5

問題分析：該題目是山西省2020年中考第21題第1小問。這道題把實際生活中遇到的閘機問題抽象成了兩圓弧翼展開時的截面圖，構(gòu)建了一個數(shù)學模型，從而幫助解題。題目中給了扇形圓心角的大小，給了半徑的長度，我們可以分別過C，D點作BC和EF的垂線從而構(gòu)造直角三角形，以此達到解題的目的。通過構(gòu)建幾何模型并轉(zhuǎn)變?yōu)槿呛瘮?shù)問題來解，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，從而解決問題。與實際模型比較，在初中數(shù)學中根據(jù)建模思想建立各種數(shù)學模型還處于初級階段。數(shù)學教學中應該把學習知識、應用知識、探索發(fā)現(xiàn)和建模求解更好地聯(lián)系在一起，使學生靈活應用數(shù)學建模思想，學會用數(shù)學的思維思考。

我們由以上的例子可以看到，數(shù)學思想方法是處理數(shù)學問題的指導思想和基本策略，是形成學生數(shù)學能力、數(shù)學意識的橋梁，是數(shù)學的靈魂。所以，在學習數(shù)學的過程中，學生需要不斷對方法和思想進行總結(jié)滲透，使它上升至一個高度，形成數(shù)學思想方法，并用數(shù)學思想方法指導我們解題，這樣才能運用數(shù)學和駕馭數(shù)學，成為學習數(shù)學的真正主人。