Scratch矢量動(dòng)畫基礎(chǔ)

任亞飛

為了使用Scratch繪制立體圖形，我們需要具備一些向量和三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，通過讓圖形移動(dòng)和縮放我們可以更好地掌握這些知識(shí)。

一、點(diǎn)與向量

點(diǎn)：數(shù)學(xué)概念點(diǎn)是最簡單的圖形，在Scratch中用平面直角坐標(biāo)系定位。

向量：具有大小和方向的量就叫向量，用于描述事物去哪里。

表現(xiàn)為箭頭，尖端為向量頭，另一端為向量尾。在字母上加箭頭表示，如V。向量可以執(zhí)行加減法和乘法運(yùn)算。

向量加法：向量的加法用平行四邊形法則和三角形法則。新向量表示為a和b的起點(diǎn)重合后，以它們?yōu)猷忂厴?gòu)成的平行四邊形的一條對(duì)角線或者表示為將a的終點(diǎn)和b的起點(diǎn)重合后，從a的起點(diǎn)指向b的終點(diǎn)的向量。

向量減法：向量a和b的相減，可以看成是a向量加上一個(gè)與b大小相等，方向相反的向量。表示為a和b的起點(diǎn)重合后，從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量（圖1）。

列向量：坐標(biāo)系中的向量可以用它們的x分量和y分量來表示，這叫列向量表示法。而且向量不需要停留在原點(diǎn)，可以放置在任何地方（圖2）。

乘法：標(biāo)量k和向量之間可以做乘法，結(jié)果是另一個(gè)與方向相同或相反的｜k｜倍的向量（圖3）。

二、線段

直線上兩點(diǎn)間的部分就是線段，剛才在Scratch中就是畫筆從坐標(biāo)（0，0）落筆到（5，3）抬筆。

我們用線段畫出一個(gè)小電視。封裝兩個(gè)自定義函數(shù)積木。一個(gè)線段函數(shù)積木，畫出兩個(gè)坐標(biāo)值間的線段。通過4個(gè)變量來控制坐標(biāo)，其中x和y變量是起始坐標(biāo)向量尾，x1和y1是向量頭。另一個(gè)函數(shù)積木是用線段畫小電視，具體取值見圖4。

三、移動(dòng)

通過觀察發(fā)現(xiàn)，小電視左右移動(dòng)是平移X軸，y軸無變化。只需要對(duì)向量頭和尾的X軸的標(biāo)量加減運(yùn)算，也就是改變x軸坐標(biāo)值。上下移動(dòng)則只改變y軸坐標(biāo)值。通過新建變量“平移x”和“平移y”與函數(shù)積木線段對(duì)應(yīng)的參數(shù)運(yùn)算后就可以實(shí)現(xiàn)小電視的上下左右移動(dòng)（注：我們每改變一次x、y軸的量，函數(shù)線段和函數(shù)小電視就會(huì)重新執(zhí)行一遍，通過視覺感覺是在移動(dòng)，其實(shí)它是在新的坐標(biāo)上重畫）。本程序用方向鍵控制小電視移動(dòng)（圖5）。

四、縮放

小電視的縮放其實(shí)就是在向量尾和向量頭的坐標(biāo)上分別對(duì)其放大或者縮小，也就是做乘法。通過新建變量“伸縮倍數(shù)”，用a、s鍵控制此變量增減，其值與線段函數(shù)積木參數(shù)的4個(gè)變量做乘法運(yùn)算，以實(shí)現(xiàn)小電視的縮放功能（圖6）。

五、基向量與三角函數(shù)實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)功能

1.基向量

在平面圖形學(xué)中，有兩個(gè)特殊的向量叫作標(biāo)準(zhǔn)基向量（也就是單位向量）。

i長度為1，方向指向X正方向的向量；j長度為1，方向指向y正方向的向量。

坐標(biāo)表現(xiàn)如圖7：

結(jié)論：圖形的變化重點(diǎn)就是改變標(biāo)準(zhǔn)基向量（i，j）。

線性變化：通過改變基向量變化向量的操作。變化過程如圖8-圖11。

基向量i。

從i變化到3i-2j。

繪制黃色箭頭向量2i+3j，紅色向量回到i。

再把紅色向量移動(dòng)到3i-2j，黃色向量跟著變化到6i-j。

那么6i-j是怎么來的呢？

變化過程：變化的是i向量，j向量沒變。

變化后新的基向量3i-2j帶入到2i+3j中。

計(jì)算過程就是把i替換成3i-2j。得到的式子（2（3i-2j）+3j=6i-j）。

2.三角函數(shù)知識(shí)

A為圓，AC為半徑r=1。點(diǎn)C做垂線相交在角A臨邊上點(diǎn)B形成了一個(gè)RT（直角三角形）。

根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系（sinA=BC/AC=Y/1=y）；（cosA=AB/AC=X/1=x）。BC為sinA；AB為cosA。由上得出AB為X軸坐標(biāo)值，BC為Y軸坐標(biāo)值（圖12）。

3.旋轉(zhuǎn)

讓小電視轉(zhuǎn)起來，由“旋轉(zhuǎn)度數(shù)”變量來控制，線段的長度在函數(shù)積木里面固定了，由于基向量的長度是1，通過三角函數(shù)知識(shí)算出新的基向量。從i分量開始，分量就是cosθ，y分量就是sinθ，轉(zhuǎn)換后的i就是cosθ+sinθ；j分量就等于-cosθ+sinθ。我們就可以把帶入到程序里面去，如圖13。