基于模態(tài)參與消減的直連拉索連接慣容系統(tǒng)的簡易算法

謝麗宇，班鑫磊，康建飛，薛松濤，4

（1.同濟大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092；2.上海電力設(shè)計院有限公司，上海 200025；3.日本東北大學(xué) 災(zāi)害科學(xué)國際研究所，宮城仙臺980－8572；4.日本東北工業(yè)大學(xué) 建筑系，宮城仙臺982－8577）

引言

建筑結(jié)構(gòu)在地震等自然災(zāi)害作用下的不利振動會使結(jié)構(gòu)性能退化顯著，帶來安全性和舒適性等問題。因此，需要采取一定的工程措施，如在建筑結(jié)構(gòu)中安裝減振系統(tǒng)［1］，以盡快恢復(fù)震后建筑的使用功能，提升建筑結(jié)構(gòu)的抗震防災(zāi)性能［2－3］。結(jié)構(gòu)振動控制［3］是近40年來發(fā)展起來的一門新興技術(shù)，它可以減小結(jié)構(gòu)在地震、風(fēng)等外部激勵下的動力響應(yīng)，顯著提高土木工程結(jié)構(gòu)抑制各類有害振動的能力，保障結(jié)構(gòu)在地震和強風(fēng)中的安全性及舒適度。慣容系統(tǒng)［4－6］是近年來眾多學(xué)者開始探索的一種新型動力吸振技術(shù)。

慣容元件［4］是一種具有質(zhì)量增效特性的兩端點元件，出力與元件兩端的相對加速度成正比，與傳統(tǒng)的單節(jié)點質(zhì)量元件的不同之處體現(xiàn)在：（1）慣容系數(shù)遠大于自身的物理質(zhì)量，可產(chǎn)生數(shù)千倍于實際物理質(zhì)量的表觀質(zhì)量［5－8］，因此可以在幾乎不增加結(jié)構(gòu)實際質(zhì)量的同時實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的振動控制；（2）慣容元件的兩端點特性提高了其安裝方式的靈活性［9］，使其不僅僅局限于如懸掛等單端點連接的方式，還可以采用與普通消能減震裝置相同的層間安裝方式［10］，這樣一來，慣容元件就可以利用樓層間的加速度差進行減震；（3）慣容所增加的慣性質(zhì)量并不會增加結(jié)構(gòu)所受的地震作用，具有地震輸入減少的特性［11］。

追溯到土木工程領(lǐng)域慣容裝置的雛形是Kawamata等［12－14］開發(fā)的液體泵，利用流體在管道中的運動可以實現(xiàn)對液體質(zhì)量慣性的封裝。之后，學(xué)者們針對慣容這一雙端質(zhì)量元件，在不增加額外自由度的條件下，開展了慣容減震系統(tǒng)的研究［15－20］。Saito等［21］分析了安裝慣容控制元件的單自由度結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，首次從降低結(jié)構(gòu)激勵幅值的角度分析了慣容控制元件的工作機制。Furuhashi等［11，22－23］也得出了安裝慣容控制元件可以有效控制結(jié)構(gòu)響應(yīng)的結(jié)論。Hessabi等［24－25］通過采用齒輪慣容裝置提高了薄弱層結(jié)構(gòu)的抗震性能，增加了底層結(jié)構(gòu)的抗側(cè)承載力，降低了地震能量的輸入。然而上述研究均未考慮支撐系統(tǒng)的改進，為此，文中結(jié)合拉索支撐的特性，從地震輸入減少及模態(tài)參與消減兩個角度分析直連拉索連接慣容系統(tǒng)的減震機理及其優(yōu)勢。

1 直連拉索連接慣容系統(tǒng)的減震機理

1.1 直連拉索連接慣容系統(tǒng)的組成

文中利用拉索支撐僅提供軸向約束的特點，簡化連接節(jié)點的構(gòu)造，避免多維地震作用下的應(yīng)力集中問題，采用端部扭矩可以自平衡的慣容裝置提出了直連拉索連接慣容系統(tǒng)，如圖1所示。

1.2 地震輸入減小特性

慣容作為具有兩節(jié)點的質(zhì)量元件，可以通過拉索支撐直接與結(jié)構(gòu)相連接，從而調(diào)整結(jié)構(gòu)的質(zhì)量特性。直連拉索連接慣容系統(tǒng)是拉索連接慣容系統(tǒng)不使用調(diào)諧彈簧并忽略拉索柔度時的特殊形式，其基本構(gòu)造如圖1所示。拉索的傾斜角為θ，慣容的表觀質(zhì)量為md，單自由度結(jié)構(gòu)在地震激勵下的運動方程可以表達為：

圖1 安裝直連拉索連接慣容系統(tǒng)的多自由度結(jié)構(gòu)Fig.1 Multi-degree-of-freedom structure equipped with direct connected cable inerter systems

式中：m，c，k分別是結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，阻尼和剛度；，us(t)分別是結(jié)構(gòu)的加速度，速度及位移響應(yīng)；ag（t）是外部激勵輸入。定義等效慣質(zhì)比μ為(md(cosθ)2)m，式（1）可以等效換為：

對比式（1）和式（2）可知，通過直連拉索連接慣容系統(tǒng)調(diào)整單自由度結(jié)構(gòu)的質(zhì)量信息，我們可以獲得等效的阻尼折減，剛度折減及地震輸入減小。該特性是由慣容雙端質(zhì)量特性引起的，慣容顯著的表觀質(zhì)量增加了式（1）左半部分的質(zhì)量信息的改變而相對較小的物理質(zhì)量對右半部分的地震輸入力的影響幾乎可以忽略。應(yīng)當注意的是，此處定義的地震輸入減小是指輸入到主體結(jié)構(gòu)的加速度減小，而非減少地震力本身。這是基于接地慣容的加速度補償機制實現(xiàn)的，部分地震加速度通過慣容直接傳遞。廣義而言，直連拉索連接慣容系統(tǒng)具備以下控制特點：

（2）通過等效折減結(jié)構(gòu)阻尼，將結(jié)構(gòu)的固有阻尼系數(shù)降低為原固有阻尼系數(shù)的

（3）安裝直連拉索連接慣容系統(tǒng)的單自由度結(jié)構(gòu)地震輸入等效折減為了原結(jié)構(gòu)的

應(yīng)當注意的是，此處定義的地震輸入減小是指輸入到主體結(jié)構(gòu)的加速度減小，而非減少地震力本身。這是基于接地慣容的加速度補償機制實現(xiàn)的，部分地震加速度通過慣容直接傳遞。

1.3 模態(tài)參與消減特性

模態(tài)參與消減特性，最初由Furuhashi等［11］針對直連慣容裝置提出。當考慮如圖1所示的多自由度結(jié)構(gòu)體系時，通過適當調(diào)整直連拉索連接慣容系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)中的分布，可以有效的控制結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性。安裝有直連拉索連接慣容系統(tǒng)的多自由度結(jié)構(gòu)受地震激勵的控制方程可以表達為：

式中：M0，Md質(zhì)量矩陣和直連拉索慣容系統(tǒng)的慣容表觀質(zhì)量矩陣，表達式見式（4）和式（5），其中βc是拉索的傳遞系數(shù)，表達式見式（6）和式（7）；C，K是結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣和剛度矩陣表達式見式（8）和式（9）和Xs(t)代表結(jié)構(gòu)的加速度、速度及位移的響應(yīng)向量；1為地震激勵系數(shù)，指代地震輸入對于多自由度各個樓層的一致激勵。

當充分利用結(jié)構(gòu)的寬度，并采用滑輪式拉索支撐時，拉索的傳遞效率可以依據(jù)式（6）進行計算：

式中：B是結(jié)構(gòu)的立面寬度；hi是結(jié)構(gòu)第i層的結(jié)構(gòu)高度。當定義等效地震激勵系數(shù)：

方程（3）可以等效變形為：

假定受控結(jié)構(gòu)的i階模態(tài)向量為i?，則受控結(jié)構(gòu)的i階模態(tài)響應(yīng)可以通過求解如下等效單自由度結(jié)構(gòu)的運動方程獲?。?/p>

式中：iω和ih分別為受控結(jié)構(gòu)的i階圓頻率和阻尼比。i階模態(tài)響應(yīng)的參與因子iГ為：

與無控結(jié)構(gòu)的模態(tài)參與因子不同的是，式（13）中受控結(jié)構(gòu)的模態(tài)參與因子可以通過慣容表觀質(zhì)量的合理設(shè)定，來改變地震激勵系數(shù)從而調(diào)整模態(tài)參與因子。最為極端的工況為，地震激勵系數(shù)與特定的模態(tài)向量關(guān)于質(zhì)量矩陣(M0+Md)正交，則此模態(tài)向量對應(yīng)的模態(tài)響應(yīng)在受控結(jié)構(gòu)總體響應(yīng)的貢獻為0。

從參數(shù)分析的層面，以圖2中4層結(jié)構(gòu)為例，結(jié)構(gòu)的各層質(zhì)量均為1 000 t，各個樓層的層間剛度均為8×105kN/m，在其底層接地安裝一個直連拉索連接慣容系統(tǒng)，以各層拉索的傳遞系數(shù)為0.5為例，當直連拉索連接慣容系統(tǒng)的表觀質(zhì)量由0 t開始連續(xù)變化時，依據(jù)模態(tài)參與因子的定義，可以計算其相對應(yīng)的各階模態(tài)參與因子。慣容的表觀質(zhì)量與各階模態(tài)參與因子平方值的關(guān)系如圖3所示。由圖3可知，在所選取的慣容表觀質(zhì)量范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)的1階模態(tài)參與因子隨著表觀質(zhì)量的增加而減小。對于2階、3階及4階模態(tài)而言，總是存在特定的表觀質(zhì)量使得相應(yīng)的模態(tài)參與因子降為0值。

圖2 4層主體結(jié)構(gòu)振型Fig.2 Mode shape of 4-story uncontrolled structure

圖3 md－Γ2關(guān)系Fig.3 Relationship between md andΓ2

進一步，當考慮同時消減多個模態(tài)時，以直連拉索連接慣容系統(tǒng)分別安裝于結(jié)構(gòu)的底層及2層為例，其表觀質(zhì)量的變化同樣將引起結(jié)構(gòu)各模態(tài)參與系數(shù)的改變。如圖4所示，至少存在一個表觀質(zhì)量的組合使得結(jié)構(gòu)的2階至4階模態(tài)中的2個同時為零。

圖4 表觀質(zhì)量－多個模態(tài)參與系數(shù)關(guān)系圖Fig.4 Apparent mass-multimodal participation factors

2 直連拉索連接慣容系統(tǒng)的簡易算法

從解析的層面，觀察i階模態(tài)響應(yīng)參與因子的表達式可知，模態(tài)參與消減的本質(zhì)為通過調(diào)整慣容表觀質(zhì)量改變受控結(jié)構(gòu)的模態(tài)向量i?使得如下方程成立：

假定模態(tài)向量i?={i?1i?2i?3i?4}T，則方程（14）可以改寫為：

又因為i?是模態(tài)向量，需要滿足特征值方程：

利用直連拉索連接慣容系統(tǒng)進行模態(tài)參與消減設(shè)計的本質(zhì)為求解由式（15）和式（16）組成的關(guān)于變量{i?1i?2i?3i?4}T、iω及慣容表觀質(zhì)量md,1,…md,n的聯(lián)立方程。

同樣以圖2中的4層結(jié)構(gòu)為例，用于消減特定模態(tài)i?={i?1i?2i?3i?4}T的直連拉索慣容系統(tǒng)安裝于底層，則控制方程見式（17）和式（18）：

將式（17）中的各行相加并減去式（18）可得：

將式（19）帶入式（17）并整理可得到：

上式是一個常規(guī)的特征值問題，因此可以采用MATLAB中的“eig（）”函數(shù)直接求解。將求解所得到的特征值帶入式（19）即可求得對應(yīng)的慣容表觀質(zhì)量。值得注意的是，由于方程（20）右側(cè)的剛度矩陣非滿秩，存在一個數(shù)值為0的1階特征值。因此，當系統(tǒng)嘗試控制1階模態(tài)時，則所需的慣容表觀質(zhì)量由式（19）計算為無窮。這與圖3中的參數(shù)分析結(jié)果一致。依據(jù)圖2中4層結(jié)構(gòu)的參數(shù)，可以計算得出用于控制2階、3階及4階的慣容表觀質(zhì)量分別為：3 414.21、1 000.00、585.79 t，這與圖4中的參數(shù)分析的結(jié)果一致。

當考慮多個模態(tài)參與消減時，為了簡化慣容參數(shù)的計算流程，防止控制效果的耦合導(dǎo)致設(shè)計困難，在此，指定安裝位置較高的直連拉索連接慣容系統(tǒng)用于消減較高階模態(tài)，并盡可能的將直連拉索連接慣容系統(tǒng)安裝于結(jié)構(gòu)下部。同樣以在底層和第2層安裝直連拉索連接慣容系統(tǒng)的4層結(jié)構(gòu)為例，其控制方程可以寫為：

式中：i，j為目標控制模態(tài)。

由上述單一模態(tài)參與消減的計算流程可知，安裝于上層的直連拉索連接慣容系統(tǒng)的控制效果不受下層系統(tǒng)影響。因此，從較高層的直連拉索連接慣容系統(tǒng)的表觀質(zhì)量開始計算。假定，第2層直連拉索連接慣容系統(tǒng)所控制的模態(tài)向量為：j?2={0j?2j?3j?4}T，則將方程（21）的第2行至第4行相加并減去方程（22）可得：

將式（23）帶入式（22）并整理可得：

方程（24）是一個傳統(tǒng)的特征值問題。考慮到方程（24）右側(cè)的剛度矩陣為秩為2的矩陣，因此在此假定下，安裝于結(jié)構(gòu)2層的直連拉索慣容系統(tǒng)僅能消減第3或第4階模態(tài)。將求解所得的特征值帶入式（23）即可求得對應(yīng)的慣容表觀質(zhì)量。進一步的，獲取安裝于2層的直連拉索連接慣容系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)后，則安裝于底層的直連拉索連接慣容系統(tǒng)的參數(shù)求解與消減單一模態(tài)的流程完全一致。依據(jù)圖2中的4層結(jié)構(gòu)的參數(shù)，可以計算得出用于同時控制2階和3階，2階和4階及3階和4階的慣容表觀質(zhì)量的組合分別為：（4 303，2 000），（3 618，667）和（1 382，667），這與圖4中的參數(shù)分析結(jié)果一致。同理，依據(jù)上述流程設(shè)計的用于消減結(jié)構(gòu)2階至4階模態(tài)的直連拉索連接慣容系統(tǒng)應(yīng)安裝于結(jié)構(gòu)的底層，2層及3層，相應(yīng)的慣容表觀質(zhì)量應(yīng)選取為：5 000，2 666.67，1 000。

如果將結(jié)構(gòu)除了1階模態(tài)以外的高階模態(tài)的參與系數(shù)通過逐層安裝慣容裝置消減為0時，此控制方法一般稱為全模態(tài)控制，由式（13）可知，i階模態(tài)響應(yīng)的參與因子消減為0的條件可以描述為結(jié)構(gòu)的第i階模態(tài)向量i?與等效地震激勵系數(shù)關(guān)于結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣正交。依據(jù)結(jié)構(gòu)各階模態(tài)關(guān)于其質(zhì)量矩陣正交可知，令等效地震激勵系數(shù)與受控結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)相同時，對1階以外的模態(tài)而言，其參與因子恒為0。

若結(jié)構(gòu)的1階模態(tài)向量與等效地震激勵系數(shù)相等，則下式成立：

將等效地震激勵系數(shù)代入式（25）可得：

對式（26）由下至上逐項累加可得：

考慮到控制n－1階模態(tài)僅需n－1個直連拉索連接慣容系統(tǒng)，且盡可能將直連拉索慣容系統(tǒng)安裝于下部，頂層未安裝慣容系統(tǒng)。由此可知md,n=0。根據(jù)等效地震激勵系數(shù)的定義可知：

將βn=1代入式（27）可以得到全模態(tài)控制的受控結(jié)構(gòu)的1階圓頻率：

因此，將式（29）代入式（27）可以得到等效地震激勵系數(shù)。將等效地震激勵系數(shù)代入式（28）可以求解出各層直連拉索連接慣容系統(tǒng)的慣容表觀質(zhì)量：

以圖2中的4層結(jié)構(gòu)為例，依據(jù)上述流程設(shè)計的全模態(tài)消減模態(tài)的直連拉索連接慣容系統(tǒng)應(yīng)安裝于結(jié)構(gòu)的底層，2層及3層，相應(yīng)的慣容表觀質(zhì)量應(yīng)選取為：5 000，2 666.67，1 000 t，得到的慣容減震結(jié)構(gòu)的參與模態(tài)向量如圖5所示，依據(jù)文中所提的簡易算法設(shè)計的直連拉索連接慣容系統(tǒng)有效地消減了結(jié)構(gòu)的2～3階模態(tài)。

圖5 4層結(jié)構(gòu)的參與模態(tài)向量Fig.5 Participation mode vectors of the 4-story structure

3 算例分析及減震性能驗證

為了驗證基于全模態(tài)參與消減設(shè)計的直連拉索連接慣容系統(tǒng)的減震性能，采用日本隔震結(jié)構(gòu)協(xié)會提出的2個基準結(jié)構(gòu)作為算例，設(shè)計對應(yīng)的直連拉索連接慣容系統(tǒng)并驗證其減震性能。2個基準結(jié)構(gòu)的立面圖如圖6所示，底層層高均為6 m，標準層層高為4 m?；鶞式Y(jié)構(gòu)的等效剪切模型的各層彈性剛度及樓層質(zhì)量以及基于文中所提全模態(tài)參與消減簡易算法設(shè)計的直連拉索連接慣容系統(tǒng)的表觀質(zhì)量匯總于表1和表2中。

表1 4層基準結(jié)構(gòu)的參數(shù)及慣容系統(tǒng)的設(shè)計參數(shù)Table 1 Basic parameters of the reference 4－story structure and the design parameters of the inerter systems

表2 20層基準結(jié)構(gòu)的參數(shù)及慣容系統(tǒng)的設(shè)計參數(shù)Table 2 Basic parameters of the reference 20-story structure and the design parameters of the inerter systems

圖6 基準結(jié)構(gòu)立面圖（單位：m）Fig.6 Elevations of the reference structures（Unit：m）

圖7和圖8顯示了無控結(jié)構(gòu)及有控結(jié)構(gòu)的底層、頂層和中間層的位移傳遞函數(shù)和在El Centro地震波作用下結(jié)構(gòu)各層的響應(yīng)。以4層基準結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)為例，無控結(jié)構(gòu)在1階、2階、3階以及4階模態(tài)對應(yīng)的頻率處存在局部峰值，通過全模態(tài)參與消減簡易算法進行設(shè)計的有控結(jié)構(gòu)針對位移頻響函數(shù)在高階模態(tài)的峰值均有較好的消除作用。這與全模態(tài)參與消減算法的目標是一致的，即消除高階模態(tài)的參與，使結(jié)構(gòu)以1階模態(tài)為主。通過位移傳遞函數(shù)的對比，可以驗證基于全模態(tài)參與消減機理設(shè)計的直連拉索連接慣容系統(tǒng)可以有效去除高階模態(tài)的影響。通過逐層安裝直連拉索連接慣容系統(tǒng)，可以實現(xiàn)慣容減振結(jié)構(gòu)的模態(tài)參與消減，在頻域范圍內(nèi)驗證了文中提出的全模態(tài)參與消減簡易算法的有效性以及該方法所推導(dǎo)的慣容系統(tǒng)表觀質(zhì)量解析公式的便捷性。

圖7 2個基準結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)Fig.7 Frequency response functions of two reference structures

圖8 2個基準結(jié)構(gòu)的控制效果Fig.8 Control effect of two reference structures

在時域分析的角度，對于2個4層和20層的結(jié)構(gòu)而言，在地震激勵作用下，20層結(jié)構(gòu)的位移和加速度的控制效果優(yōu)于4層結(jié)構(gòu)的位移和加速度的控制效果。尤其對于加速度的控制效果，越是高層結(jié)構(gòu)，加速度的控制效果越顯著，這正是因為，高層或超高層建筑的樓面加速度響應(yīng)往往同時受到多階模態(tài)的控制，高階模態(tài)的參與因子較大。通過使用全模態(tài)參與消減簡易算法設(shè)計的直連拉索連接慣容系統(tǒng)對于高層結(jié)構(gòu)的位移、加速度和層間位移角的控制效果是顯著的。

4 結(jié)論

文中從慣容元件入手，通過模態(tài)參與消減機制來探究高層結(jié)構(gòu)的模態(tài)參與因子對結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的影響，探究基于模態(tài)參與消減機制的拉索連接慣容系統(tǒng)的減震機理及其控制優(yōu)勢。主要結(jié)論如下：

（1）介紹了直連拉索連接慣容系統(tǒng)的地震輸入減小性能及模態(tài)參與消減特性，給出了直連拉索連接慣容系統(tǒng)的控制特點。

（2）推導(dǎo)了基于模態(tài)參與消減機制的直連拉索連接慣容系統(tǒng)的解析解，并和參數(shù)分析結(jié)果相吻合，從解析的層面揭示了慣容的表觀質(zhì)量與各階模態(tài)參與因子的關(guān)系。通過慣容表觀質(zhì)量的合理設(shè)定進行模態(tài)參與因子的調(diào)節(jié)，為慣容系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計提供了理論依據(jù)。

（3）結(jié)合結(jié)構(gòu)各階模態(tài)關(guān)于其質(zhì)量矩陣正交給出了全模態(tài)參與消減的簡易算法。該算法不存在求解耦合方程和指定的模態(tài)特征值，在數(shù)值穩(wěn)定及工程應(yīng)用方面具有一定的價值。

（4）通過位移傳遞函數(shù)的對比，可以驗證基于全模態(tài)參與消減機理設(shè)計的直連拉索連接慣容系統(tǒng)可以有效去除高階模態(tài)的影響。因此，通過使用全模態(tài)參與消減簡易算法設(shè)計的直連拉索連接慣容系統(tǒng)可以實現(xiàn)對高層結(jié)構(gòu)的位移、加速度和層間位移角的有效控制。