基于理解，逆向設(shè)計覓蹊徑
——以高一“函數(shù)的單調(diào)性”復(fù)習(xí)課為例

劉淑文

（上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)，上海）

隨著基礎(chǔ)教育課程和教學(xué)改革的深入推進(jìn)，在新課程標(biāo)準(zhǔn)、新教材的“雙新”大背景下，教師必須不斷地學(xué)習(xí)和豐富自己的理論知識，適時改變教學(xué)模式和方法，將理論應(yīng)用于實(shí)踐?；诶斫獾哪嫦蚪虒W(xué)設(shè)計以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)為目標(biāo)，“以終為始”設(shè)計教學(xué)活動，為教師的教學(xué)實(shí)踐提供了方法和依據(jù)。教師只有在學(xué)生真正理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，以教學(xué)目標(biāo)為導(dǎo)引，確定完成目標(biāo)的合適的評估證據(jù)，設(shè)計有效的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和教學(xué)，才能讓學(xué)生把所學(xué)的知識遷移到新的環(huán)境和挑戰(zhàn)中，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。教學(xué)設(shè)計應(yīng)該關(guān)注知識之間的整體性，要參照教材和課程標(biāo)準(zhǔn)，研究每一節(jié)在每個單元中的作用、在整個高中學(xué)習(xí)中的作用，將每一節(jié)作為一個單元設(shè)計的有機(jī)組成部分，從單元設(shè)計的角度進(jìn)行整體教學(xué)設(shè)計，用更有效的學(xué)習(xí)任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識體系，鞏固知識的同時，層進(jìn)式提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

以下是筆者對高一“函數(shù)單調(diào)性”復(fù)習(xí)課的一次逆向設(shè)計探究。

【教學(xué)設(shè)計背景】

單調(diào)性的教學(xué)是高一第一學(xué)期的內(nèi)容，從具體的一次函數(shù)、二次函數(shù)等初等函數(shù)的學(xué)習(xí)上升到用符號語言研究函數(shù)的性質(zhì)，將思維從具體引向抽象，從感性上升到理性，這對學(xué)生是一個挑戰(zhàn)。單調(diào)性學(xué)習(xí)中滲透著數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、從具體到抽象、從文字語言向符號語言轉(zhuǎn)化等重要思想方法，在函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)中有承上啟下的作用，為具體研究冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)性質(zhì)以及數(shù)列最值問題提供了一般方法和借鑒。從對學(xué)生的問卷調(diào)查和訪談中了解到，學(xué)生在單調(diào)性學(xué)習(xí)中存在概念不清、忽視定義、用特值代替“任意”，利用單調(diào)性解決不等式問題時忽略定義域，解決函數(shù)性質(zhì)綜合性問題能力弱等情況。因此，教師需要在教學(xué)設(shè)計中對學(xué)生的易錯問題、重難點(diǎn)問題加以強(qiáng)化，使學(xué)生通過參與課堂實(shí)踐鞏固知識，強(qiáng)化解題方法，在反思和總結(jié)中將知識內(nèi)化，在問題解決中獲得成就感，達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)。

【教學(xué)設(shè)計目標(biāo)】

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《上海市高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)基本要求》對單調(diào)性的學(xué)習(xí)要求是：了解單調(diào)性的概念，掌握單調(diào)性的基本性質(zhì)，能利用單調(diào)性描繪函數(shù)的圖象，借助圖象，會用符號語言表達(dá)單調(diào)性，理解單調(diào)性的作用和實(shí)際意義，會對單調(diào)性等基本性質(zhì)進(jìn)行研究，掌握研究單調(diào)性的一般方法?；谝陨弦蠹皩W(xué)生在單調(diào)性問題處理中易犯的錯誤和存在的困惑，教學(xué)設(shè)計應(yīng)該強(qiáng)化對單調(diào)性概念的理解，注重單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)注單調(diào)性與函數(shù)其他性質(zhì)的關(guān)聯(lián)，把握函數(shù)的整體性質(zhì)。同時要滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊到一般、具體到抽象、感性到理性等思想方法，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

【教學(xué)設(shè)計過程】

在高三的函數(shù)單調(diào)性復(fù)習(xí)中，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對單調(diào)性概念及內(nèi)涵的挖掘不夠深刻，習(xí)慣于用特殊值代替任意性，往往停留在對教師解法的簡單模仿上，方法僵化。反思這種現(xiàn)象，筆者認(rèn)為單調(diào)性的教學(xué)需要在高一打好基礎(chǔ)、做好鋪墊，使學(xué)生對單調(diào)性的本質(zhì)有深刻的理解。在本節(jié)單調(diào)性的復(fù)習(xí)課上，筆者嘗試引入“微資源”，力圖幫學(xué)生搭建單調(diào)性學(xué)習(xí)的知識網(wǎng)絡(luò)，深化單調(diào)性概念，為函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究打下基礎(chǔ)。

為突破學(xué)生在解決單調(diào)性問題中出現(xiàn)的思維障礙，本節(jié)復(fù)習(xí)課筆者重點(diǎn)設(shè)計了四個板塊：（1）熱身小練習(xí)；（2）單調(diào)性概念辨析；（3）判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性；（4）單調(diào)性的應(yīng)用。

【板塊一】熱身小練習(xí)

2.若函數(shù)y=x2+ax+1在（-∞，2］上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-4.

3.若f（x）為奇函數(shù)，且在（-∞，0）上是減函數(shù)，又f（-2）=0，則x·f（x）＜0的解集為（-∞，-2）∪（2，+∞）.

注：熱身小練習(xí)是課前設(shè)置的實(shí)踐演練，通過知識點(diǎn)回顧，既可以檢測學(xué)生的復(fù)習(xí)效果，也能讓學(xué)生了解知識的薄弱之處，從而更有針對性地進(jìn)行課堂學(xué)習(xí)。

【板塊二】單調(diào)性概念辨析

函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)的變化趨勢，是函數(shù)的局部性質(zhì)，為了讓學(xué)生更好地理解函數(shù)概念和本質(zhì)，筆者設(shè)計了如下的“微資源”。

資源1：（1）函數(shù)單調(diào)性定義：如果函數(shù)y=f（x）對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，①都有_______，則稱f（x）在這個區(qū)間上是增函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的一個_______；②都有_______，則稱f（x）在這個區(qū)間上是減函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的一個_______.

（2）函數(shù)單調(diào)性的圖象特征：增函數(shù)的圖象，從左往右看，圖象是________；減函數(shù)的圖象，從左往右看，圖象是_________.

注：單調(diào)性定義是證明和判斷單調(diào)性的最基本方法。對定義的回顧，強(qiáng)化了概念意識，為概念的挖掘做好準(zhǔn)備；單調(diào)性的圖象特征，能夠幫助學(xué)生直觀地理解單調(diào)性，滲透數(shù)形結(jié)合的重要思想方法。

資源2：你如何理解函數(shù)的單調(diào)性？定義中有哪些需要注意的關(guān)鍵字？

注：單調(diào)性概念對學(xué)生而言較為抽象，了解學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，可幫助學(xué)生從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。教師提醒學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)概念的生成過程的同時，還要注意數(shù)學(xué)概念中語言的嚴(yán)謹(jǐn)性、準(zhǔn)確性，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)。

資源3：已知下列命題：

①定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2）＞f（1），則函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)；

②定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2）＞f（1），則函數(shù)f（x）在R上不是減函數(shù)；

③定義在R上的函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0］上是增函數(shù)，在區(qū)間［0，+∞）上也是增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；

④定義在R上的函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0］上是增函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上也是增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù).

其中正確命題的序號有_______.

注：學(xué)生經(jīng)常會忽略單調(diào)性定義中兩個自變量選擇的任意性，容易犯用特殊值代替一般性的錯誤。對四個問題的辨析，能夠促進(jìn)學(xué)生對單調(diào)性本質(zhì)的理解。

【板塊三】如何判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性

單調(diào)性的判斷、證明方法并不唯一，而定義法是最重要和最基本的方法。這一板塊筆者從正向和逆向兩個方面入手，強(qiáng)調(diào)定義法在證明和判斷單調(diào)性中的重要作用，通過“微資源”為學(xué)生搭建知識網(wǎng)絡(luò)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)基本功訓(xùn)練。

注：本題的設(shè)計意圖有兩個。

1.復(fù)習(xí)鞏固運(yùn)用定義法判斷或證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟。

（1）設(shè)元：在給定區(qū)間上任取x1，x2，且x1＜x2；

（2）作差：f（x2）-f（x1）；

（3）變形：對上述差值進(jìn)行變形（因式分解、配方、或利用不等式的知識）；

（4）判號：判斷f（x2）-f（x1）的符號，得出f（x2），f（x1）的大?。?/p>

（5）定論：根據(jù)定義判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性。

2.所選函數(shù)是學(xué)生熟悉的反比例函數(shù)，便于學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想方法分析問題。

注：資源1是正向問題，已知函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，資源2是逆向問題，已知函數(shù)的單調(diào)性，確定待定字母的范圍。通過正反兩個問題的設(shè)置，強(qiáng)化解決單調(diào)性判斷和證明問題的一般方法。正向問題向逆向問題的遞進(jìn)，讓學(xué)生在體會函數(shù)單調(diào)性概念本質(zhì)的同時，也復(fù)習(xí)了恒成立問題的一般解決方法，將所學(xué)知識有機(jī)結(jié)合，培養(yǎng)數(shù)學(xué)高階思維。

【板塊四】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

單調(diào)性的應(yīng)用是單調(diào)性學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，能否將學(xué)習(xí)的知識靈活運(yùn)用，是檢驗(yàn)教學(xué)效果、評價學(xué)生課堂學(xué)習(xí)行為的重要依據(jù)。這一板塊的設(shè)計，聚焦教學(xué)目標(biāo)，是對課堂教學(xué)達(dá)成度的檢驗(yàn)證據(jù)。

資源1:函數(shù)y=x2-2ax在（-∞，1）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.

資源2：請你構(gòu)造一個二次函數(shù)，使它在區(qū)間［-1，1］上是單調(diào)遞減__________.

資源3：函數(shù)f（x）=ax2+4（a+1）x-3在［2，+∞）上遞減，則a的取值范圍是__________.

資源4：若函數(shù)f（x）為R上的減函數(shù)，且f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，3）和B（3，-1），則不等式的解集為__________.

A.（-∞，-1）∪（2，+∞） B.（-1，2）

C.（-2，1） D.（-∞，-2）∪（1，+∞）

注：五個“微資源”之間層層遞進(jìn)，由易到難、由具體到抽象,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使學(xué)生有“跳一跳就能摘到果子”的感覺，提升學(xué)生學(xué)習(xí)知識的成就感。

【分層作業(yè)設(shè)計】

（一）基礎(chǔ)練習(xí)

（Ⅰ）填空題

1.若函數(shù)y=f（x）的定義域是R，則“對于任意x∈R，恒有f（x）＜f（x+1）”是“y=f（x）在R上是增函數(shù)”的必要非充分條件.

【說明】本題考查學(xué)生對單調(diào)性概念的掌握，讓學(xué)生感悟定義中“任意”兩字的準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

2.若函數(shù)f（x）=kx2-4x+8在區(qū)間［5，20］上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

【說明】本題屬于易錯題，考查學(xué)生的分類討論思想，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

【說明】本題是單調(diào)性的逆向問題。解決方法通常有兩種，一種是變量分離，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為反比例型函數(shù)；另一種是逆用單調(diào)性定義，將其轉(zhuǎn)化為恒成立問題。

【說明】本題著重考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想方法。

5.若函數(shù)f（x），g（x）均為R上增函數(shù)，則下列命題中正確的是（2）.

（1）f（x）+g（x）及f（x）g（x）均為增函數(shù)；

（2）f（x）+g（x）為增函數(shù)，f（x）g（x）單調(diào)性無法確定；

（3）f（x）+g（x）單調(diào)性無法確定，f（x）g（x）為增函數(shù)；

（4）f（x）+g（x）及f（x）g（x）的單調(diào)性均無法確定.

【說明】本題需要學(xué)生既要會用定義證明正確的命題，也要會舉反例證明錯誤的命題，這類問題常常因?yàn)榭紤]問題不全面而判斷錯誤。

（Ⅱ）選擇題

【說明】分段函數(shù)的單調(diào)性問題是易錯和難點(diǎn)問題。學(xué)生可借助函數(shù)的圖象進(jìn)行數(shù)形結(jié)合考慮，注意對自變量分界位置函數(shù)值大小的比較。

（Ⅲ）解答題

7.已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且f（x）在定義域（-1，1）上遞減，若f（1-a）+f（1-a2）＜0，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【說明】本題將奇偶性與單調(diào)性結(jié)合，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力，學(xué)生的易錯點(diǎn)是忽略函數(shù)的定義域。

（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；

（2）若函數(shù)f（x）在x∈［2，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍.

【說明】本題綜合考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性。第（1）題強(qiáng)化解決奇偶性的基本方法，滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想。第（2）題是單調(diào)性問題的逆向考查，強(qiáng)化逆用函數(shù)單調(diào)性定義，將字母變量分離轉(zhuǎn)化為恒成立問題的思想。在課堂教學(xué)和作業(yè)設(shè)計中要注意對函數(shù)綜合問題的考查，體現(xiàn)單元設(shè)計理念。

（二）拓展練習(xí)

9.已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，解不等式：f（x）-f（x-2）＞3.

【說明】本題是利用單調(diào)性解不等式問題，題目中函數(shù)性質(zhì)以關(guān)系式f（xy）=f（x）+f（y）呈現(xiàn)，這種抽象函數(shù)問題是難點(diǎn)問題，學(xué)生需整合已知條件，分析其內(nèi)在聯(lián)系，通過已知不等式建立函數(shù)值之間的關(guān)系，進(jìn)而應(yīng)用單調(diào)性解決問題。此類問題注重對學(xué)生獨(dú)立分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)，有利于學(xué)生將知識內(nèi)化成能力。

（三）個性化練習(xí)

請你結(jié)合自己在函數(shù)單調(diào)性問題中遇到的困難，自己尋找資源，為同學(xué)設(shè)計一道有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的問題。

【說明】個性化作業(yè)要求學(xué)生為同伴設(shè)計作業(yè)，一方面可以通過資源搜集強(qiáng)化學(xué)生對薄弱知識的掌握，另一方面可以增進(jìn)同伴之間的合作互助學(xué)習(xí)，促進(jìn)共同進(jìn)步。

【教學(xué)設(shè)計反思】

通過本課的教學(xué)設(shè)計實(shí)踐，筆者更深刻體會到各個年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個有機(jī)整體，知識學(xué)習(xí)的過程是一個循序漸進(jìn)的過程。只有在高一、高二打好基礎(chǔ)，才能在高三的復(fù)習(xí)中“厚積薄發(fā)”。教育的主體是有生命力、有思考力、有創(chuàng)造力的學(xué)生，教師在教育教學(xué)中要始終把學(xué)生作為主體，在實(shí)踐中始終關(guān)注學(xué)生的所思所想，基于理解進(jìn)行逆向教學(xué)設(shè)計，從單元教學(xué)的角度設(shè)計教學(xué)，幫助學(xué)生打造泛舟數(shù)學(xué)海洋的雙槳，促進(jìn)學(xué)生的終身發(fā)展。