一類具有脈沖接種疾病模型的性態(tài)分析

張 珍

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009）

自然界中的連續(xù)漸變過程或系統(tǒng)中具有這樣共同的特征，即系統(tǒng)經(jīng)歷一個(gè)不受本身控制的瞬間作用或系統(tǒng)的狀態(tài)在很短的時(shí)間范圍內(nèi)發(fā)生快速變化，然而這個(gè)短暫的擾動(dòng)時(shí)間與整個(gè)發(fā)展過程中所持續(xù)的時(shí)間相比，可以忽略不計(jì)，這種現(xiàn)象就稱為脈沖現(xiàn)象。在疾病模型的研究中廣泛存在，建立的模型就是對(duì)易感人群在固定時(shí)間點(diǎn)給與預(yù)防接種疫苗，即具有脈沖接種的傳染病模型。有關(guān)脈沖接種的疾病病模型已有很多研究，見參考文獻(xiàn)[1-7]。建立了如下的模型：

其中S(t),E(t),I(t),R(t)分別代表在t時(shí)刻易感者,潛伏者,染病者和恢復(fù)者的數(shù)量，N(t)代表t時(shí)刻總?cè)丝诘臄?shù)量值,且總?cè)丝跀?shù)量滿足方程N(yùn)′=A-dN-αI。這里的A是常數(shù)移民人數(shù)，d是自然死亡率系數(shù),α是因病死亡率系數(shù)，β1和β2分別表示S類與E類、I類的有效接觸率系數(shù)，表示潛伏期，k是恢復(fù)率系數(shù)。

1 無病周期解的存在性

無病周期解如果存在，則其必須滿足條件E(t)=0和I(t)=0，在這個(gè)條件下，很顯然易感人群S(t)是與脈沖周期相同的一個(gè)周期函數(shù)。在t0=nτ＜t≤(n+1)τ范圍內(nèi)，S(t)需要滿足下面的脈沖方程：

當(dāng)E(t)=0，I(t)=0，不動(dòng)點(diǎn)S*會(huì)局部表現(xiàn)為穩(wěn)定，所以數(shù)列Sn必定收斂于S*。所以，易感人數(shù)S(t)也同時(shí)收斂于一個(gè)周期解。在t0=nτ＜t≤(n+1)τ的無病周期解為

2 無病周期解的穩(wěn)定性

2.1 局部穩(wěn)定性

2.1.1 利用Floquet定理研究局部穩(wěn)定性

無病周期解局部的穩(wěn)定性可以將系統(tǒng)進(jìn)行線性化來證明。

2.1.2 基本再生數(shù)的計(jì)算

當(dāng)t=(n+1)τ+,可以推導(dǎo)出

完成了無病周期解局部穩(wěn)定性的證明并且很成功地算出了基本再生數(shù)。根據(jù)多次的數(shù)值模擬，得到這個(gè)疾病模型的基本再生數(shù)是完全合理的，即得到了

2.2 全局漸近穩(wěn)定性

2.2.1 利用脈沖微分不等式引入

2.2.2 無病周期解全局穩(wěn)定的結(jié)論

綜合上面的證明和一系列推導(dǎo)，(S(t),E(t),I(t)) →((t),0,0)。

得到定理1。

定理1當(dāng)基本再生數(shù)小于1 的時(shí)候，這個(gè)系統(tǒng)的無病周期解是全局漸近穩(wěn)定的。

3 結(jié)論

在一個(gè)傳染病模型中，有常數(shù)移民并且給與脈沖接種的SEIR 模型是有無病周期解并且可以算出當(dāng)此SEIR模型的基本再生數(shù)

時(shí)候，無病周期解是全局漸近穩(wěn)定的。所以預(yù)防接種疫苗是保護(hù)人群避免染病的有效途徑，通過接種疫苗可以大幅度提高種群個(gè)體的免疫力，從而可以有效快速地控制疾病的發(fā)生以及流行。通過頻閃映射、Floquet定理和脈沖微分不等式的理論知識(shí)證明了這一類傳染病模型無病周期解的存在性、局部穩(wěn)定性以及全局漸近穩(wěn)定性。同時(shí)也說明了預(yù)防接種的重要性，它可以很有效控制疾病的惡化發(fā)展和蔓延。