一類加權Sobolev空間的嵌入研究

張書陶，韓亞洲

(中國計量大學 理學院，浙江 杭州 310018)

在偏微分方程的研究中，Sobolev不等式、Sobolev空間發(fā)揮了重要的作用，其帶來的估計、正則性、嵌入、緊性等性質(zhì)，均是偏微分方程研究的有力工具[1-4]。本文研究一類加權的Sobolev空間，討論相應的嵌入性質(zhì)。

設Ω?Rn為開域，x=(x1,x2,…,xn)∈Ω,函數(shù)空間Lp(Ω,|x|αp)為所有滿足

的函數(shù)構成，函數(shù)空間W1,p(Ω,|x|αp)由所有滿足

的函數(shù)構成，并定義W1，p(Ω,|x|αp)的范數(shù)為

我們給出如下的嵌入性質(zhì)。

1)存在常數(shù)C=C(n,p,α),使得

2)?r∈(1,p*)，W1,p(Ω,|x|αp)??Lr(Ω,|x|αr)。

取參數(shù)λ、α、β滿足0<λ

(1)

(2)

在Stein-weiss不等式[5]滿足的參數(shù)條件下(具體見第2節(jié))，證明如下定理。

定理2設Ω?Rn為光滑緊子集，r滿足

(3)

則S:Lp(Rn)→Lr(Ω)為緊映射。

(4)

其中|B1|表示Rn中單位球的體積,y=(y1,y2,…,yn)∈Rn。利用Stein-Weiss不等式[5-7](即加權的Hardy-Littlewood-Sobolev)，由(4)式可得如下的一類加權Sobolev不等式。

(5)

注2對加權Sobolev不等式(5)的討論，以及更一般的加權不等式(10)的討論，參見文獻[9]。

利用積分算子(2)的緊性(定理2)和加權Sobolev不等式(5)，結合延拓算子等技巧，可給出定理1的證明。

1 加權Hardy-Sobolev不等式

(6)

‖|x|-βTλf‖Lq′(Rn)≤C‖|x|αf‖LP(Rn)。

(7)

兩種等價形式分別為

‖Sf(x)‖Lq′(Rn)≤C‖f‖Lp(Rn),

?f∈Lp(Rn),

(8)

C‖f‖Lp(Rn)‖g‖Lq(Rn),

?f∈Lp(Rn),g∈Lq(Rn)。

(9)

下面利用Stein-Weiss不等式給出加權Sobolev不等式的一個新證明。

(10)

證明利用Laplace算子的基本解，可得

(11)

應用Stein-Weiss不等式(7)(此時取λ=n-1),有(10)式。

(12)

(13)

注4加權不等式(10)為Caffarelli-Kohn-

Nirenberg(CKN)不等式[10]的特殊情形，即對應CKN不等式中a=1的情形。

2 積分算子(2)的緊性:定理2的證明

定理2的證明任取Lp(Rn)中有界列{fm}，由自反空間理論知存在{fm}的子列(仍記為{fm})和函數(shù)f∈Lp(Rn)，使得{fm}在Lp(Rn)中弱收斂于f，下面只需要證明

(14)

即可，即證明函數(shù)數(shù)列{Sfm}在Lr(Ω)中強收斂于Sf。

若α=β=0，則Stein-weiss不等式(8)化為Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，且Sf(x)=Tλf(x)。而Tλ:Lp(Rn)→Lr(Ω)為緊映射的證明，可以仿照文獻[11]中命題2.3的證明過程，簡潔起見，省略該過程。

下面討論α、β不同時為零的情形：任取一點x∈Ω，記Rn=R1∪R2∪R3,其中

R2={y∈Rn:|y|>2|x|}，

則Sf(x)=S1f(x)+S2f(x)+S3f(x)，其中

Penfolds奔富目前在中國市場上，聽說過的和看到過的，包括葛蘭許和Bin 707在內(nèi)的奢華和旗艦系列，今年7月在澳洲首發(fā)的特瓶系列，還有這些年總是見諸報端的Ampoule等限量版，以及更加親民的寇蘭山、麥克斯和Bin系列等在內(nèi)，起碼有11個系列至少59款以上的產(chǎn)品（詳見下圖）。這其中，還不包括2014年3月富邑集團對外發(fā)布的，自2013年份起，市場上最熱銷的洛神山莊（Rawson's Retreat）系列從此摘除Penfolds品牌logo，成為旗下的一個獨立品牌，其基礎系列、珍藏及氣泡系列，和黑金17款酒形成3個系列矩陣，開始走大單品策略。

下面分別證明{Sifm}(i=1,2,3)在Lr(Ω)中強收斂于Sif(i=1,2,3)。

由于α+β≥0，故在R1中,

|x-y|α+β≤(3|x|)α+β≤3α+β2|α||x|β|y|α，

從而采用討論α=β=0的方法證明{S1fm}在Lr(Ω)中強收斂于S1f。

從而當m→+∞時，

S2f(x)。

另一方面，

|S2fm(x)|≤

由于r(n-n/p-λ-β-α)+n>0，所以W(x)∈Lr(Ω)。利用勒貝格控制收斂定理，可得{S2fm}在Lr(Ω)中強收斂于S2f。

C|x|n-(λ+β+α)p′,

注5利用(7)、(8)式的等價性可得：若函數(shù)列{|x|αfm}為Lp(Rn)的有界序列，則存在{fm}子序列(仍記為{fm})和函數(shù)f(滿足|x|αf∈Lp(Rn))，使得函數(shù)列{|x|-βTλfm}在Lr(Ω)中強收斂于|x|-βTλf，其中參數(shù)r滿足(3)式。

3 Rellich-Kondrachov型緊嵌入:

定理1的證明

‖|x|αu‖Lp*(Rn)≤

C‖|x|αTn-1(|u|)‖Lp*(Rn)≤

C‖|x|α|u|‖Lp(Rn),

(15)

結合稠密性,知(15)式?u∈W1,p(Rn,|x|αp)均成立。

若{um(x)}為W1,p(Rn,|x|αp)的有界列，則如注5的討論，存在{um(x)}的子列(仍記為{um(x)})，使得{|x|αTn-1(|um|)}為Lr(Ω)中的Cauchy列，從而{|x|αum(x)}為Lr(Ω)中的Cauchy列。

任取函數(shù)列{um}?W1,p(Ω,|x|αp)為有界列，則由第一部分的結論知，存在正常數(shù)C使得

下面只需證明：存在{um(x)}的子列(仍記為{um(x)})為Lr(Ω,|x|αp)中的Cauchy列。

利用延拓算子技巧(見文獻[2]第五章)，可將{um(x)}延拓為W1,p(Rn,|x|αp)中的有界函數(shù)列。利用命題3知，存在{um(x)}的子列(仍記為{um(x)})，使得{|x|αum(x)}為Lr(Ω)中的Cauchy列，即Rellich-Kondrachov型緊嵌入成立，證畢。