用函數(shù)的眼光看方程和不等式

文／段俠

教材中的例題、習(xí)題都是經(jīng)過(guò)編者精心設(shè)計(jì)的，是我們學(xué)習(xí)知識(shí)的橋梁、解題方法的示范。因此，對(duì)例題、習(xí)題進(jìn)行深挖和進(jìn)一步探究就顯得尤為重要。下面，我們先來(lái)看看蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)下冊(cè)第24頁(yè)的“觀察與思考”。

圖1

圖2

圖3

【解析】求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，相當(dāng)于求使二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)值為0時(shí)x的值，即函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。本題可將判斷方程的根的情況轉(zhuǎn)化為判斷二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而完成求解。由圖1可知，函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；由圖2可知，函數(shù)y=x2-6x+9與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，則方程x2-6x+9=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；由圖3可知，函數(shù)y=x2-2x+3與x軸無(wú)交點(diǎn)，則方程x2-2x+3=0無(wú)實(shí)數(shù)根。

延伸探究1根據(jù)圖1，回答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是___；

（2）當(dāng)y＜0時(shí)，x的取值范圍是___；

（3）當(dāng)y＜-6時(shí)，x的取值范圍是___；

（4）當(dāng)-6＜x＜0時(shí)，y的取值范圍是___。

【解析】本題可將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題求解。

（1）y＞0相當(dāng)于函數(shù)值為正數(shù)，從圖1中易得，當(dāng)-6＜x＜-2時(shí)，y＞0；

（2）當(dāng)x＜-6或x＞-2時(shí)，y＜0；

（3）如圖4，作直線y=-6，它與函數(shù)y=有兩個(gè)交點(diǎn)（交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是0和-8），由此可知，當(dāng)x＜-8或x＞0時(shí)，y＜-6；

圖4

（4）如圖5，分別作直線x=0、x=-6，它們分別與函數(shù)交于點(diǎn)（0，-6）、（-6，0），易求得函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，2），由此可知當(dāng)-6＜x＜0時(shí)，-6＜y≤2。

圖5

延伸探究2根據(jù)圖1，討論方程4x-6=a的解的情況。

【解析】方程的解的情況可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)與直線y=a的交點(diǎn)問(wèn)題。

（1）當(dāng)a＞2時(shí)，兩函數(shù)無(wú)交點(diǎn)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)a=2時(shí)，兩函數(shù)有一個(gè)公共點(diǎn)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

（3）當(dāng)a＜2時(shí)，兩函數(shù)有兩個(gè)公共點(diǎn)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

延伸探究3如圖6，一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖像相交于P、Q兩點(diǎn)，則函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c的圖像可能為（ ）。

圖6

【解析】由圖6可知，一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c圖像在第一象限相交于P、Q兩點(diǎn)，則一元二次方程ax2+bx+c=x有兩個(gè)不相等的正根，即關(guān)于x的一元二次方程ax2+（b-1）x+c=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c的圖像與x正半軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故A符合題意。

【點(diǎn)評(píng)】“轉(zhuǎn)化”和“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)中常用的兩種思想方法。我們通過(guò)對(duì)“思考與觀察”的延伸探究，讓大家感受二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系，鞏固和拓寬思維，培養(yǎng)“看圖說(shuō)話”和解決問(wèn)題的能力。

拓展變式1已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：

x y……-1-6 0-1 1 2 2 3 3 2……

則當(dāng)y＞-1時(shí)，x的取值范圍是___。

【解析】由表格可知，當(dāng)x=1和3時(shí)，y的值都為2，則二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=2；而當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性知，當(dāng)x=4時(shí)，y=-1。又因?yàn)楫?dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而增大，所以二次函數(shù)的開(kāi)口向下，所以當(dāng)0＜x＜4時(shí)，y＞-1。

拓展變式2已知二次函數(shù)y=x2-4mx+3m2（m≠0）。

（1）求證：該二次函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；

（2）設(shè)該二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，若m＞0，且A、B兩點(diǎn)間的距離為2，求m的值并直接寫(xiě)出y＞3時(shí)，x的取值范圍。

【解析】（1）證明：令y=0，則x2-4mx+3m2=0（m≠0）。

∵b2-4ac=（-4m）2-4×1×3m2=4m2＞0，

∴方程x2-4mx+3m2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

∴該二次函數(shù)圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)。

（2）解：∵y=x2-4mx+3m2=（x-m）（x-3m），

∴A（m，0），B（3m，0）。

∵兩交點(diǎn)間距離為2，且m＞0，

∴3m-m=2。

∴m=1，即m的值為1。

當(dāng)m=1時(shí)，y=x2-4x+3。

把y=3代入y=x2-4x+3，

得3=x2-4x+3，解得x=0或x=4。

∵拋物線開(kāi)口向上，

∴當(dāng)y＞3時(shí)，x的取值范圍是x＜0或x＞4。

【點(diǎn)評(píng)】這兩道“拓展變式”雖然和前面三道“延伸探究”在形式上不同，但本質(zhì)上依舊考查函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系。我們?cè)诮獯疬@類題時(shí)，既要學(xué)會(huì)識(shí)圖，還要清楚函數(shù)圖像背后的本質(zhì)，以不變應(yīng)萬(wàn)變，會(huì)一題通一類，方可做到對(duì)知識(shí)的懂、透、化。