關(guān)于雙極模糊圖的鄰域連通指數(shù)注記

高 煒

(云南師范大學(xué) 信息學(xué)院，云南 昆明 650500)

分子圖的拓?fù)渲笖?shù)計(jì)算是理論化學(xué)和圖論的重要研究課題.在日常觀察中，我們總會(huì)發(fā)現(xiàn)分子圖結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)中存在大量不確定性信息，進(jìn)而常用模糊圖來刻畫此類帶有不確定性信息的分子圖和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).進(jìn)而，拓?fù)渲笖?shù)的研究被拓展到模糊圖.

在信息科學(xué)中，圖的連通性決定了整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的效率，以及相應(yīng)的算法.例如：在蛋白質(zhì)分子網(wǎng)絡(luò)中，頂點(diǎn)的連通狀態(tài)決定了分子的活動(dòng)，進(jìn)而影響生物系統(tǒng)的工作機(jī)制.在聯(lián)邦學(xué)習(xí)中，每個(gè)設(shè)備的狀態(tài)都不像一直在工作的孤島.在一定時(shí)間內(nèi)，設(shè)備往往處于斷開狀態(tài)，這導(dǎo)致在聯(lián)邦學(xué)習(xí)的每次迭代中，需要選擇一組處于工作狀態(tài)的設(shè)備.由于實(shí)際需要的種種原因，圖的連接程度成為蛋白質(zhì)分子網(wǎng)絡(luò)和信息技術(shù)領(lǐng)域的熱門話題(參考Cheung和Bell[1]，Denison等[2]，Ma等[3]，以及Gao等[4,5]).

由于分子網(wǎng)絡(luò)本身的復(fù)雜性，在很多涉及頂點(diǎn)和邊的不確定性的應(yīng)用場景中，需要借用模糊數(shù)學(xué)的工具和方法.另一方面，模糊數(shù)學(xué)中的這種不確定性通?？梢苑譃檎嫘再|(zhì)和負(fù)面性質(zhì).眾所周知，正隸屬函數(shù)不能反映目標(biāo)的負(fù)不確定性.例如:隸屬度函數(shù)μ1代表“喜歡”，μ2代表“不喜歡”.然而μ1(x)=0.7不能推出μ2(x)=0.3.一個(gè)合理的做法是使用負(fù)隸屬函數(shù)來描述“不喜歡”.

在建模中，正不確定性對(duì)應(yīng)正隸屬函數(shù)值，負(fù)不確定性對(duì)應(yīng)負(fù)隸屬函數(shù)值.在這種設(shè)置下，分子網(wǎng)絡(luò)模型變成了雙極模糊圖，不同類型的不確定性可以使用不同的隸屬函數(shù)，最終確定雙極模糊圖的各種框架.常見的有雙極直覺模糊圖、雙極畢達(dá)哥拉斯模糊圖等.最近，一些工作從理論和應(yīng)用的角度對(duì)雙極模糊集和雙極模糊圖做出了貢獻(xiàn).Mahmood和Ur Rehman[6]引入了雙極復(fù)模糊集的新符號(hào)，它是雙極模糊集和復(fù)模糊集的融合.Ozcelik和Nalkiran[7]介紹了一種基于與配備梯形雙極模糊集的平均解的距離的評(píng)估.Cornejo等[8]獲得了具有標(biāo)準(zhǔn)否定的雙極最大積模糊方程的可解性特征.

本文的目的是將文獻(xiàn)[9]中關(guān)于模糊圖的鄰域連通指數(shù)推廣到雙極模糊圖框架，給出雙極模糊圖上鄰域指數(shù)的具體定義，并將相關(guān)理論結(jié)果也推廣到雙極模糊圖中.

1 預(yù)備知識(shí)

且

則雙極模糊圖G中任意x,y∈V(G)之間的連通強(qiáng)度表示為

雙極模糊圖G中邊(vi,vj)稱為α-強(qiáng)邊若

雙極模糊圖G中邊(vi,vj)稱為β-強(qiáng)邊若

設(shè)G是連通雙極模糊圖.G是α-飽和(對(duì)應(yīng)地，β-飽和)若每個(gè)頂點(diǎn)至少關(guān)聯(lián)一條α-強(qiáng)邊(β-強(qiáng)邊).G稱為飽和的，若它同時(shí)為α-飽和和β-飽和.即雙極模糊圖的每個(gè)頂點(diǎn)至少關(guān)聯(lián)一條α-強(qiáng)邊和一條β-強(qiáng)邊.

2 主要定義及理論結(jié)果

定義1設(shè)G是雙極模糊圖.G的鄰域連通指數(shù)定義為

其中NCIP(G)和NCIN(G)分別稱為G的鄰域連通指數(shù)正和負(fù)鄰域連通指數(shù).

由定義和相關(guān)概念出發(fā)，利用文獻(xiàn)[9]的證明方法，可得到如下幾個(gè)結(jié)論，這里省略證明過程.

性質(zhì)1設(shè)H是G的部分雙極模糊子圖，則NCIP(H)≤NCIP(G)， 且NCIN(H)≥NCIN(G).

性質(zhì)2設(shè)G是有n個(gè)頂點(diǎn)的雙極模糊圖，則NCIP(G)≤n(n-1)， 且NCIN(G)≥-n(n-1).

性質(zhì)7兩個(gè)同構(gòu)的雙極模糊圖有相同的鄰域連通度.

性質(zhì)8設(shè)G是雙極模糊圖，0≤t1≤t2≤1.則NCIP(Gt2)≤NCIP(Gt1)，NCIN(Gt2)≥NCIN(Gt1).

性質(zhì)9設(shè)G是n個(gè)頂點(diǎn)的飽和雙極模糊圈，每條α-強(qiáng)邊的強(qiáng)度均為(tP,tN)，且每條β-強(qiáng)邊的強(qiáng)度為常數(shù).則NCIP(G)=2ntP，NCIN(G)=2ntN.

性質(zhì)10給定正整數(shù)m，xP∈+，xN∈-滿足xP≤2m和xN≥-2m.則存在m條邊的雙極模糊圖，滿足NCIP(G)=xP，NCIN(G)=xN.

性質(zhì)11給定正整數(shù)n，xP∈+，xN∈-滿足xP≤n(n-1)和xN≥-n(n-1).則存在n個(gè)頂點(diǎn)的雙極模糊圖，滿足NCIP(G)=xP，NCIN(G)=xN.

NCIP(Gc)-NCIP(G)≥n2tP-5ntP,NCIN(Gc)-NCIN(G)≤n2tN-5ntN.

性質(zhì)13設(shè)G是雙極模糊圖，F(xiàn)是G的最大生成樹，則NCIP(F)NCIN(G).

性質(zhì)14設(shè)G是完全雙極模糊圖，CI(G)=(CIP(G),CIN(G))是G的連通指數(shù)，WI(G)=(WIp(G),WIN(G))是G的維納指數(shù).則

3 小結(jié)

本注記的主要貢獻(xiàn)是將文獻(xiàn)[9]中關(guān)于模糊圖的鄰域連通指數(shù)拓展到雙極模糊圖的鄰域連通指數(shù)，并且把模糊圖中的相關(guān)理論也擴(kuò)展到雙極模糊集.本文得到的結(jié)果對(duì)帶有不確定性的分子網(wǎng)絡(luò)和計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浞治?，具有積極的指導(dǎo)意義.