初中數(shù)學(xué)中空間觀念的培養(yǎng)與應(yīng)用

◎曾志勇

(福建省福州屏東中學(xué)，福建 福州 350003)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有較高的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性.空間觀念是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，是學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)、形成空間想象力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).學(xué)生通過(guò)概念的理解與解釋、規(guī)則的選擇與運(yùn)用、問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與解決等學(xué)習(xí)活動(dòng)，經(jīng)歷操作、觀察、想象、比較、綜合、抽象分析等過(guò)程，形成認(rèn)識(shí)空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的必備數(shù)學(xué)品格和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

一、初中數(shù)學(xué)中空間觀念的培養(yǎng)與應(yīng)用存在的問(wèn)題

(一)脫離實(shí)際生活，忽視抽象經(jīng)驗(yàn)的積累

數(shù)學(xué)學(xué)科具有高度的抽象性.空間觀念的發(fā)展需要借助相關(guān)的空間知識(shí)素材，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，再根據(jù)幾何圖形想象出實(shí)際物體，并表達(dá)物體的空間方位和與其他事物的位置關(guān)系，感知并描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化規(guī)律，進(jìn)而運(yùn)用空間觀念來(lái)解決問(wèn)題.空間觀念與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相伴而生，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)“一以貫之”的學(xué)習(xí)情境，引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)知過(guò)程中自覺(jué)地進(jìn)行總結(jié)與歸納，從感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，由形象思維發(fā)展為抽象思維.目前，在圖形與幾何的教學(xué)中，一些教師脫離生活實(shí)際，僅引用教材中的案例，不注重素材的選取與拓展，未通過(guò)創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟知的生活、工作及學(xué)習(xí)的三維空間情境來(lái)引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考，忽視了學(xué)生抽象經(jīng)驗(yàn)的積累，導(dǎo)致學(xué)生經(jīng)驗(yàn)不足，無(wú)法有效地理解現(xiàn)實(shí)生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu).如在立體圖形的教學(xué)中，一些教師僅用PPT或幾何畫(huà)板軟件呈現(xiàn)部分現(xiàn)實(shí)生活中的物體，未展示生活中的實(shí)際物體.

(二)跨越知識(shí)基礎(chǔ)，忽視邏輯認(rèn)知的起點(diǎn)

數(shù)學(xué)學(xué)科具有嚴(yán)密的邏輯性.空間觀念的發(fā)展需要借助幾何作圖，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)系及描述作出符合題意的圖形或根據(jù)題意通過(guò)推理作出圖形，再現(xiàn)文字或符號(hào)語(yǔ)言所描述的圖形運(yùn)動(dòng)與變化過(guò)程，有邏輯地思考.目前，在幾何作圖的教學(xué)過(guò)程中，一些教師不遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，將作圖的相關(guān)知識(shí)直接在七年級(jí)下學(xué)期灌輸給學(xué)生.如在未學(xué)習(xí)三角形全等知識(shí)時(shí)，一些教師將“五個(gè)基本作圖”一次性灌輸給學(xué)生，忽視了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的邏輯起點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生僅知其然、不知其所以然，無(wú)法有效感知圖形運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律，為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下隱患.在九年級(jí)學(xué)習(xí)“圓錐的側(cè)面積與全面積”時(shí)，學(xué)生需要在二維和三維之間來(lái)回切換思維，即根據(jù)立體圖形畫(huà)三視圖，或者根據(jù)三視圖還原平面圖形.部分學(xué)生無(wú)法深入理解平面圖形(扇形)與立體圖形(圓錐)之間的關(guān)系，空間觀念薄弱.

(三)缺乏問(wèn)題意識(shí)，忽視廣泛的應(yīng)用范圍

數(shù)學(xué)學(xué)科具有廣泛的應(yīng)用性.空間觀念的發(fā)展需要學(xué)生具有良好的問(wèn)題意識(shí)，并能基于問(wèn)題、結(jié)合條件進(jìn)行大膽聯(lián)想，尋找解決問(wèn)題的方法.數(shù)學(xué)空間觀念的運(yùn)用是訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要方式之一.目前，一些教師不注重結(jié)合學(xué)生熟悉的事物來(lái)啟發(fā)學(xué)生思考，不注重將教學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)生活廣泛聯(lián)系，缺乏問(wèn)題意識(shí)，不注重分析，忽視擴(kuò)大應(yīng)用范圍，不能有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.如在問(wèn)題解決過(guò)程中，學(xué)生面對(duì)需要用多個(gè)知識(shí)點(diǎn)或多個(gè)步驟來(lái)分析的題目時(shí)，往往不能找到正確的思路與方法，甚至不知所措，導(dǎo)致解題的正確率不高.此外，在教學(xué)過(guò)程中，部分教師只注重基本知識(shí)、基本技能的教學(xué)，不注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，沒(méi)有結(jié)合圖形進(jìn)行分析，因此學(xué)生無(wú)法理解蘊(yùn)含于圖形中的數(shù)學(xué)思想，導(dǎo)致學(xué)習(xí)不得要領(lǐng)，無(wú)法有效解決問(wèn)題.

二、初中數(shù)學(xué)中空間觀念的培養(yǎng)與應(yīng)用

(一)整體把握課程，培養(yǎng)空間觀念

圖形與幾何是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的重要載體.初中階段的圖形與幾何教學(xué)內(nèi)容包括圖形的性質(zhì)、圖形的變化和圖形坐標(biāo)三大類，學(xué)生在小學(xué)圖形與幾何的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)點(diǎn)、線、面、角、三角形、多邊形和圓等幾何圖形，從演繹證明、運(yùn)動(dòng)變化、量化分析三個(gè)方面研究圖形的基本性質(zhì)和相互關(guān)系，從知識(shí)結(jié)構(gòu)化的角度發(fā)展空間觀念.因此，教師必須對(duì)空間觀念進(jìn)行整體的把握與認(rèn)識(shí)，樹(shù)立空間觀念意識(shí)，多與學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)，通過(guò)課堂教學(xué)、布置作業(yè)和隨堂檢測(cè)等方式培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，對(duì)學(xué)生日常訓(xùn)練進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，改變傳統(tǒng)教學(xué)模式，通過(guò)調(diào)查了解學(xué)生在發(fā)展空間觀念的過(guò)程中遇到的問(wèn)題，及時(shí)提供幫助并多鼓勵(lì)與肯定學(xué)生.如在三角形教學(xué)中，教師可從不同角度把握課程，進(jìn)而開(kāi)展教學(xué)(如現(xiàn)實(shí)背景→三角形概念→三角形表示→三角形性質(zhì)→全等三角形→特殊三角形)，定性研究各要素之間的位置關(guān)系，定量研究各要素之間的數(shù)量關(guān)系等，引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)結(jié)構(gòu)發(fā)展到用結(jié)構(gòu)，進(jìn)而發(fā)展空間觀念.

(二)引入空間素材，培養(yǎng)空間觀念

空間觀念貫穿整個(gè)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從某種意義上說(shuō)，一個(gè)人空間觀念的形成離不開(kāi)自身經(jīng)驗(yàn)的積累，經(jīng)驗(yàn)的積累離不開(kāi)問(wèn)題的廣泛涉獵.因此，在教學(xué)中，教師要引入現(xiàn)實(shí)生活中豐富的空間素材，將現(xiàn)實(shí)素材融入課堂教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)教學(xué)情境，使教學(xué)更直觀，以便學(xué)生理解.如，在九年級(jí)學(xué)習(xí)投影時(shí)，學(xué)生觀察一天當(dāng)中電線桿影子的不同位置，結(jié)合方位知識(shí)，形成空間觀念，并用空間觀念分析、解決問(wèn)題.

此外，教師要注重借助現(xiàn)代信息技術(shù)優(yōu)化教學(xué)，為學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)創(chuàng)造良好條件.如對(duì)于物體三視圖的展示，若教師在黑板上畫(huà)出，則圖形會(huì)缺乏生動(dòng)性，因此教師可利用多媒體進(jìn)行動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，使學(xué)生從不同角度觀察.同時(shí)，教師可設(shè)計(jì)相關(guān)習(xí)題，促進(jìn)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)展空間觀念.

(三)強(qiáng)化概念理解，培養(yǎng)空間觀念

概念是對(duì)某一類事物特征及屬性進(jìn)行的概括與總結(jié)，教師應(yīng)掌握概念的內(nèi)涵、外延及與空間觀念的關(guān)系.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的空間觀念知識(shí)是豐富與復(fù)雜的，教師可以啟發(fā)學(xué)生通過(guò)想象將概念和實(shí)物聯(lián)系起來(lái)，幫助學(xué)生形成空間觀念,引導(dǎo)學(xué)生利用空間觀念解題.如教學(xué)三視圖時(shí)，當(dāng)學(xué)生理解了主視圖、左視圖及俯視圖的概念后，教師可以通過(guò)具體習(xí)題幫助學(xué)生鞏固與內(nèi)化空間觀念，并且對(duì)三視圖概念進(jìn)行深入挖掘，讓學(xué)生明確三者之間的本質(zhì)聯(lián)系.教師還可引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手繪制三視圖，對(duì)三視圖進(jìn)行深入理解,通過(guò)應(yīng)用三視圖發(fā)展空間觀念.

(四)強(qiáng)化作圖操作，培養(yǎng)空間觀念

作圖訓(xùn)練可以提高學(xué)生的操作能力及思考能力.實(shí)際上，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是教師向?qū)W生講授知識(shí)的過(guò)程，還是學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)知識(shí)與提升數(shù)學(xué)能力的過(guò)程.學(xué)生作圖的能力在一定程度上反映了其空間想象能力.如大多數(shù)學(xué)生通過(guò)想象可以把三視圖的形狀用語(yǔ)言描述出來(lái)，但在做題或考試時(shí)會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤.主要原因是一些學(xué)生在作圖時(shí)不用尺子，操作不規(guī)范，影響了空間觀念的形成.初中學(xué)生正處于由形象思維向抽象思維過(guò)渡的時(shí)期，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維離不開(kāi)教師的引導(dǎo)與幫助.教師要進(jìn)行精確的示范，培養(yǎng)學(xué)生良好的作圖習(xí)慣，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的空間觀念.學(xué)生規(guī)范作圖，才能準(zhǔn)確提高自己的空間觀念.因此，教師在教學(xué)過(guò)程中要規(guī)范學(xué)生的作圖步驟，提高學(xué)生解題的條理性.一些學(xué)生在解題時(shí)存在作圖不規(guī)范的問(wèn)題，常在一些細(xì)小的環(huán)節(jié)上出現(xiàn)錯(cuò)誤，解答問(wèn)題時(shí)思維混亂.教師要重視這些問(wèn)題，提高學(xué)生的思維能力，促進(jìn)學(xué)生形成空間觀念.

例如，如圖1，BD是矩形ABCD的對(duì)角線.

(1)求作⊙A，使得⊙A與BD相切(要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)；

(2)在(1)的條件下，如圖2，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF⊥BD，垂足為F.若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求tan∠ADB的值.

本題以直角三角形、特殊平行四邊形、圓為背景，設(shè)置問(wèn)題情境，考查尺規(guī)作圖.教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)邏輯推理將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化已知的知識(shí)，利用圓的相關(guān)性質(zhì)作圖.教師要注意發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力、空間觀念與幾何直觀、創(chuàng)新意識(shí)等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

圖1

圖2

(五)引導(dǎo)問(wèn)題解決，培養(yǎng)空間觀念

學(xué)生用什么方法解決問(wèn)題在一定程度上體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生結(jié)合生活中的事物進(jìn)行想象分析，建立數(shù)學(xué)概念，更好地運(yùn)用空間觀念解決問(wèn)題，這也是對(duì)學(xué)生的變通能力、創(chuàng)新能力的考驗(yàn).在具體的教學(xué)過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試一題多解、多題一解，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力，使學(xué)生逐步形成解題思路.學(xué)生對(duì)題意的理解程度是學(xué)生正確解題的關(guān)鍵.在分析題意的過(guò)程中，學(xué)生要了解題目的已知條件與隱含條件，思考如何用這些條件解題.教師要給予點(diǎn)撥與引導(dǎo)，幫助學(xué)生理清條件間的邏輯關(guān)系，滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，引導(dǎo)學(xué)生利用空間觀念解決問(wèn)題.

(1)當(dāng)點(diǎn)B，C，D三點(diǎn)不共線時(shí)，則BD+BC>DG；

(2)當(dāng)點(diǎn)B，C，D三點(diǎn)共線時(shí)，則BD+BC=DG.

圖3

總之，學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)應(yīng)該貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，教師要將其作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，充分利用空間素材促進(jìn)學(xué)生空間觀念的形成;注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，讓學(xué)生在概念學(xué)習(xí)過(guò)程中形成空間觀念;尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，以空間觀念的培養(yǎng)為切入點(diǎn)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.