遞推數(shù)列的單調(diào)性探究

浙江省衢州第二中學(xué) (324000)

萬 祺

數(shù)列的單調(diào)性與有界性是數(shù)列的兩個基本性質(zhì)，在解決具體問題時，兩者又相互關(guān)聯(lián).本文主要探究一類已知遞推關(guān)系的數(shù)列單調(diào)性問題的解法，試圖總結(jié)并梳理一般處理此類問題的方法.

1.知識鋪墊

設(shè)數(shù)列{an}，若對任意n∈N*，有an+1>an(an+1

為能更好地解決數(shù)列的單調(diào)性相關(guān)問題，我們引進一個定理：

2.典例探究

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明0

1°、n=1時，0

綜合1°、2°可知，對任意n∈N*，有00對任意n∈N*成立，故數(shù)列{an}單調(diào)遞增.

說明：用做差方法判斷an+1-an的符號，一般地需要先證數(shù)列{an}的有界性，這也是判斷數(shù)列單調(diào)性最為常見的解法之一.另外，此題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明0

1°、n=1時，0

分析：本題指的單調(diào)遞減包含了不嚴格單調(diào)減的情形，先直接作差尋找單調(diào)遞減的充要條件，再結(jié)合同號原則證明an所需要滿足的不等關(guān)系.

圖1

說明：方法一思路簡潔，目標明確，利用數(shù)列的單調(diào)有界定理，取n趨于無窮的情況進行必要性探路，這也為后續(xù)證明提供了理論基礎(chǔ)；方法二則是數(shù)形結(jié)合，利用蛛網(wǎng)圖及函數(shù)圖象的性質(zhì)，在x軸上逐一標出xn，判斷單調(diào)性.

3.觸類旁通

例5 (2017年浙江高考壓軸題節(jié)選)設(shè)x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)，求證：0

提示：先用歸納法證明有界性xn>0，再由ln(1+xn+1)>0可知0

4.方法提煉

綜合上述分析，已知遞推關(guān)系an+1=f(an)的數(shù)列單調(diào)性問題的解決方案有：

(1)直接作差判斷an+1-an=f(an)-an=g(an)的符號，即先求數(shù)列{an}的上下界，再結(jié)合函數(shù)y=g(x)的性質(zhì)判斷符號；

(3)數(shù)學(xué)歸納法證明an+1>an或an+1

(4)數(shù)形結(jié)合——畫出函數(shù)y=f(x)的圖象及函數(shù)y=x圖象，在x軸上逐一標出an(n=1,2,3,…)，比較an與an+1大小，結(jié)合圖象判斷單調(diào)性.

另外，如果能通過遞推關(guān)系直接求出數(shù)列的通項公式an=f(n)，也可直接判斷函數(shù)f(n)的單調(diào)性，進而說明數(shù)列{an}的單調(diào)性.