數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

羅麗紅

(福建省龍巖市連城縣冠豸中學(xué) 366200)

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，相對抽象而復(fù)雜，學(xué)生很難從數(shù)量的關(guān)系上深入理解函數(shù)本質(zhì)規(guī)律，因為大部分初中生的邏輯推理力、抽象思維力相對較差，這就使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)較弱.因此，初中數(shù)學(xué)的函數(shù)教學(xué)中，就會出現(xiàn)教師教得困難，學(xué)生學(xué)得困難的狀況.然而，在各項測試和中考試題中，初中數(shù)學(xué)函數(shù)壓軸題始終占據(jù)著重要的位置.要使學(xué)生自身的數(shù)學(xué)水平得到有效提升，數(shù)學(xué)教師可通過數(shù)形結(jié)合的思想運用，促使抽象的函數(shù)知識轉(zhuǎn)變成圖形語言，把數(shù)學(xué)語言和數(shù)量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)變成易于理解的圖形，以便于學(xué)生更好地理解與掌握相關(guān)函數(shù)知識.

1 數(shù)形結(jié)合內(nèi)涵與作用

1.1 數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵

數(shù)與形既是數(shù)學(xué)知識表達的方法，也是數(shù)學(xué)規(guī)律的體現(xiàn)形式，幾乎全部的數(shù)學(xué)問題究其根本都離不開數(shù)與形的演變、提煉、發(fā)展.每個幾何圖形都蘊含著相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系則是以圖形直觀性進行的形象描述.因此，在對數(shù)學(xué)解答時，需依據(jù)數(shù)學(xué)問題的相關(guān)條件與結(jié)論存在的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，將數(shù)學(xué)問題通過圖形進行觀察，明確其幾何意義.形的相關(guān)問題也通常需要以數(shù)的方式進行思考，進行代數(shù)含義分析，將空間形式與數(shù)量關(guān)系有機結(jié)合，找出問題解題思路，以促進數(shù)學(xué)問題的解決.總而言之，就是將數(shù)學(xué)問題當(dāng)中的空間形式與數(shù)量關(guān)系有效結(jié)合，對數(shù)學(xué)問題的處理方法進行考察，就是數(shù)形結(jié)合的思想方法.這是數(shù)學(xué)教師必須在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透并要讓讓學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一.

1.2 透視“數(shù)”與“形”有機統(tǒng)一作用

1.2.1 直觀體現(xiàn)一次函數(shù)或二次函數(shù)

第一，數(shù)學(xué)教師需引導(dǎo)學(xué)生充分了解函數(shù)圖形，對圖像進行直觀觀察，對函數(shù)圖形與其解析式的聯(lián)系進行探究.就一次函數(shù)來說，需明確畫圖時要關(guān)注到斜率、截距等因素.二次函數(shù)則需了解頂點、對稱軸，及各點的變化，以直觀的了解函數(shù)圖形的內(nèi)在關(guān)系.

第二，數(shù)學(xué)教師在開展一次函數(shù)和二次函數(shù)的具體教學(xué)中，需遵循由簡到難、從特殊到一般的教學(xué)原則，特別是二次函數(shù)的相關(guān)知識講解，要從函數(shù)口方向、對稱軸、對稱性等心進行思考，與實際圖形相結(jié)合，加強二者規(guī)律的剖析，深入理解這一基本數(shù)學(xué)思想.

第三，在對一次函數(shù)和二次函數(shù)的相關(guān)知識學(xué)習(xí)中，有許多的應(yīng)用題，數(shù)學(xué)教師需注重基礎(chǔ)教學(xué)的開展，了解學(xué)生對于基礎(chǔ)知識點的掌握，促進解題思路和解題方式的優(yōu)化，從而使學(xué)生充分掌握函數(shù)草圖和函數(shù)問題的關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)有效教學(xué).

1.2.2 注重數(shù)形有機統(tǒng)一，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化抽象與直觀的融合

第一，巧設(shè)引入.數(shù)學(xué)課堂的引入階段，數(shù)學(xué)教師可提出相應(yīng)的問題：一次函數(shù)一般式為y=kx+b(其中k,b都屬于常數(shù),k≠0)，其圖像是什么？而正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像是怎樣的？以此引導(dǎo)學(xué)生充分掌握函數(shù)圖像的正確畫法，結(jié)合圖像掌握k、b的正負性，并增強學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識點的學(xué)習(xí)與記憶，展現(xiàn)圖像與代數(shù)所代表的意義，并能夠自由轉(zhuǎn)化.

第二，數(shù)形導(dǎo)入.初中階段的數(shù)學(xué)知識探究中，數(shù)學(xué)教師需給予學(xué)生正確引導(dǎo)，與學(xué)生的實際學(xué)情相結(jié)合，指導(dǎo)學(xué)生通過描點方法，繪制出函數(shù)圖像.如y=6x，y=-6x圖像，教師可列出相應(yīng)的取值表格，把表格當(dāng)中的對應(yīng)值當(dāng)做坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系當(dāng)中畫出相對應(yīng)的點，并對各點連接.等學(xué)生完成了函數(shù)圖像繪制后，教師可讓學(xué)生回答兩個圖像之間的特征與關(guān)聯(lián)性.將兩個圖像放在相同的坐標(biāo)系中，觀察其圖像的對稱性.學(xué)生通過系列的動手操作與思考，表達出自己的真實想法.數(shù)學(xué)教師依據(jù)學(xué)生親自動手體驗的形式，指導(dǎo)學(xué)生實施歸納總結(jié)，以獲得正確結(jié)論，即：(1)都是兩條曲線所構(gòu)成的；(2)隨著x不斷的變小或變大，曲線通常會與坐標(biāo)軸越來越接近；(3)k的絕對值越大，圖像越靠外.經(jīng)過實踐進行畫圖，不僅能了解與掌握反比例函數(shù)的圖像，而且還能了解與掌握函數(shù)的增減性，從而使數(shù)學(xué)函數(shù)的教學(xué)效果得到有效提高.

2 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用途徑

2.1 數(shù)形結(jié)合思想的思維內(nèi)涵

數(shù)學(xué)教師在函數(shù)教學(xué)時，需做好課前準備，通過數(shù)學(xué)問題地合理運用，激發(fā)出學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維，強化學(xué)生自我學(xué)習(xí)、創(chuàng)新以及批判的能力.目前，數(shù)學(xué)函數(shù)的解題教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的運用通常會對學(xué)生的自學(xué)能力造成重要影響，并成為對學(xué)生的思維能力、學(xué)習(xí)能力衡量的重要指標(biāo).例如，二次函數(shù)的圖形與x軸的交點個數(shù)相關(guān)問題，其做法主要是依據(jù)拋物線和一元二次方程根之間的關(guān)系對交點個數(shù)進行判斷，教師可依據(jù)數(shù)形結(jié)合的對應(yīng)關(guān)系開展教學(xué).首先，令拋物線解析式為0，求解方程式.其次，通過判別式與y=0的關(guān)系式求解出圖形和x軸交點，將數(shù)學(xué)的等式關(guān)系變成圖形間的關(guān)系.讓學(xué)生充分理解與掌握拋物線交點問題，并對數(shù)形結(jié)合的思想形成質(zhì)的認識.通過數(shù)形結(jié)合的思想深度挖掘，不僅能夠使學(xué)生形成看到圖形就聯(lián)想到與函數(shù)的關(guān)系的思考方式，而且在看到函數(shù)表達式時，也就能運用數(shù)形結(jié)合的思想掌握函數(shù)性質(zhì).同時，學(xué)生經(jīng)過自身的實踐后，還能在無形之中促進自身的創(chuàng)新思維以及創(chuàng)新能力的提高.

2.2 一次函數(shù)數(shù)形結(jié)合探析

函數(shù)是中考的熱點，富有變化性，數(shù)學(xué)教師需準確地點出一次函數(shù)的解題特殊點及其表示出的實際意義，以此將復(fù)雜的函數(shù)解題過程簡單化，以促使學(xué)生實現(xiàn)有效解題.

例如，如圖1所示，一次函數(shù)方程式y(tǒng)=k1x+b的圖像和反比例函數(shù)方程式y(tǒng)=k2/x的圖像二者相交于點A(2,3)，B(6,1)兩個點，若k1x+b

圖1

A.x<2 B.2

C.x>6 D.06

解析畫出圖像，取值的范圍即直線與反比例函數(shù)圖像相交下方對應(yīng)的自變量值.依據(jù)圖2所示可得，若k1x+b6.在初次遇到該類習(xí)題的時候，大多數(shù)學(xué)生都會以代數(shù)法進行求解，運用A(2,3)，B(6,1)兩個點，分別求取出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的方程式為y=-1/2x+4，y=6/x，并列出相應(yīng)的不等式，即6/x>-1/2x+4，此時，學(xué)生通常會遇到兩個問題：

圖2

(1)分式化為整式需在兩邊同乘x，但是，x的值是不確定的，需進行分類討論；

(2)化為整式之后，呈現(xiàn)出的不等式為一元二次的不等式，大部分學(xué)生都不會解，而通過代數(shù)法進行本題解答通常是困難重重的，此時，可通過對圖形進行觀察可知：若x=2，x=6時，k1x+b=k2/x，若直線x=2，x=6，y軸三條直線將圖象分為四個部分，就會出現(xiàn)06的情況，反比例函數(shù)圖像位置明顯比較高，也就是k1x+b

2.3 反比例函數(shù)數(shù)形結(jié)合探析

將數(shù)形結(jié)合運用于反比例函數(shù)的教學(xué)中，教師將知識轉(zhuǎn)變成實際問題，可充分激發(fā)學(xué)生自身的學(xué)習(xí)熱情，并通過問題的研究，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識點的鞏固，引導(dǎo)學(xué)生對已掌握的知識點進行及時反思.構(gòu)建相應(yīng)的問題情境，給予學(xué)生足夠的思考空間，并實現(xiàn)解題思路的有效轉(zhuǎn)換，從而使數(shù)學(xué)知識具體化.數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)中，許多問題與情境都是創(chuàng)設(shè)出來的，如學(xué)生開展物品買賣時，需創(chuàng)設(shè)物品買賣的情境加以研究，雖然在數(shù)學(xué)課堂上沒有真實的物品交易賣，但是在實際生活當(dāng)中，學(xué)生們都經(jīng)歷過購物，只是沒有仔細觀察過.因此，激發(fā)學(xué)生自身的抽象思維力是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要任務(wù).反比例函數(shù)的相關(guān)知識學(xué)習(xí)更是為了在實際生活中進行有效應(yīng)用.數(shù)學(xué)教師可通過反比例函數(shù)的特點、內(nèi)容的綜合運用，將實際案例滲透到學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)當(dāng)中，以相互交流、小組合作探究、獨立思考等各種方式，降低學(xué)生的解題難度.當(dāng)學(xué)生處于相應(yīng)問題情境當(dāng)中，就能促使學(xué)生及時地找出問題的解決方法，教師在過程中要給予學(xué)生適當(dāng)?shù)刂笇?dǎo)，幫助其掌握有效技巧.同時，在數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)中，開展循序漸進的教學(xué)，積極運用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，提供給學(xué)生足夠的學(xué)習(xí)機會，培養(yǎng)學(xué)生解決困難問題的意志，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.因此，數(shù)學(xué)教師可將數(shù)學(xué)中的概念與關(guān)系運用于實際情境當(dāng)中，真實、有價值的情境創(chuàng)設(shè)，并通過環(huán)境熏陶，促使學(xué)生積極融入到課堂學(xué)習(xí)，并找出數(shù)學(xué)問題的有效解決方法，從而使學(xué)生實現(xiàn)有效解題，達到提高解題能力的目標(biāo).

綜上所述，函數(shù)具有較強的綜合性，想要使學(xué)生充分掌握相關(guān)函數(shù)知識，并成為數(shù)學(xué)課堂的主體，數(shù)學(xué)教師就需通過數(shù)形結(jié)合來促進教學(xué)模式的創(chuàng)新，引導(dǎo)學(xué)生通過具象思維與抽象思維相結(jié)合，提升學(xué)生的空間想象力與思維能力，使學(xué)生的解題效率得到切實提高.