關(guān)系映射反演原則在中學(xué)數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用

李艷琴 陳 潔

(西藏自治區(qū)拉薩市西藏大學(xué)理學(xué)院 850000)

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)教育也進(jìn)行了深入改革.人們逐漸開始意識(shí)到，在數(shù)學(xué)教育教學(xué)過程中，教師的任務(wù)不僅是教給學(xué)生數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更重要的是教授數(shù)學(xué)思維方法.時(shí)間一長學(xué)生會(huì)忘記在學(xué)校學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，但大腦中留存的一些數(shù)學(xué)思維方法可能會(huì)伴隨他們一生，他們?nèi)匀豢梢允褂眠@些數(shù)學(xué)方法來解決實(shí)際問題，這就是所謂的“授人以魚，不如授人以漁”，真正達(dá)到學(xué)以致用的目的.在這個(gè)過程中，還可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，提高學(xué)生分析和解決問題的能力.由我國著名數(shù)學(xué)教育家徐利治先生提出的關(guān)系(Relationship)映射(Mapping)反演(Inversion)原則(簡稱RMI原則),作為一種分析和解決問題的思維方法，被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域.許多數(shù)學(xué)教育研究者使用這種方法來攻克難以直接解決的數(shù)學(xué)問題，一些數(shù)學(xué)老師將這種方法滲透到課堂中，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)、概念等.

迄今為止，關(guān)于RMI原則應(yīng)用的研究主要集中在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，更多體現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)中，而在幾何領(lǐng)域的具體應(yīng)用研究相對(duì)較少.其實(shí)，在中學(xué)幾何領(lǐng)域許多數(shù)學(xué)問題解決中也蘊(yùn)含了此方法.基于此，本文主要討論RMI原則在中學(xué)數(shù)學(xué)幾何部分的具體應(yīng)用.

1 RMI原則概述

1.1 RMI原則的基本內(nèi)容

關(guān)系(Relationship)映射(Mapping)反演(Inversion)原則(簡稱RMI原則)是數(shù)學(xué)教育中應(yīng)用極其普遍的一種方法.它是將一個(gè)不易解決的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)新問題，這個(gè)新問題的解可以很容易地通過某些數(shù)學(xué)方法或程序得到，當(dāng)新問題的解被求出后，將新問題的解反演到原問題中，以此得到原問題的解的研究方法.簡而言之，RMI原則是一種把問題簡單化，讓困難問題變得更容易的思維方法.這種方法不僅應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在其他科學(xué)領(lǐng)域，也可以看到使用RMI原則來解決問題的現(xiàn)象，因此可以說RMI原則是一種普遍應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的科學(xué)方法論原則.

關(guān)系映射反演原則的基本含義，可以用如下框圖表示:

圖1

對(duì)框圖簡單地解釋說明：在原像關(guān)系結(jié)構(gòu)Q中含有原像未知目標(biāo)x，x是我們不能或不太容易直接求出的量，那么通過可逆映射φ，將需要求的量x映射到映像關(guān)系結(jié)構(gòu)Q′中，在Q′中有與原像未知目標(biāo)x對(duì)應(yīng)的映像x′，如果將x′確定下來，再通過反演也就是逆映射φ-1就能把原像未知目標(biāo)x確定下來，這樣一個(gè)求解問題的方法與過程就叫做關(guān)系映射反演原則.這里需要注意的是在映射φ中原像目標(biāo)與映像目標(biāo)需一一對(duì)應(yīng)，且我們找的映像x′應(yīng)該是相對(duì)較易求得的量.

1.2 RMI原則的具體應(yīng)用

光看RMI原則，很多人可能不知道是什么意思，只感覺難懂，以為只有研究人員才會(huì)用.其實(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中，我們已經(jīng)有很多使用RMI原則解決實(shí)際問題的例子.例如我們使用的溫度計(jì)，人們無法直接知道人體的體溫，于是想到了將體溫的測(cè)量轉(zhuǎn)換為水銀柱膨脹和收縮的測(cè)量，通過水銀柱膨脹和收縮測(cè)得的數(shù)值可以反映體溫，這種轉(zhuǎn)換使我們可以輕松測(cè)量體溫，這是RMI原則實(shí)際應(yīng)用的一個(gè)簡單例子.RMI原則就是將問題映射到另一個(gè)不同的論域系統(tǒng)中，在那里獲得解決之后再返回來求得本系統(tǒng)問題解決的思維方法.綜上所述，RMI原則的基本思想也是一種轉(zhuǎn)化思想.

2 RMI原則在中學(xué)數(shù)學(xué)“空間與圖形”領(lǐng)域中的應(yīng)用

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要學(xué)習(xí)理論知識(shí)，還要學(xué)習(xí)相應(yīng)的精神、思想和方法，掌握一些基本的數(shù)學(xué)思維方法，可以讓學(xué)生輕松解決數(shù)學(xué)問題，也可以讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美.在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，滲透一些數(shù)學(xué)思維方法，不僅可以幫助學(xué)生更好的理解和掌握晦澀難懂的數(shù)學(xué)概念，還可以讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的形成過程，培養(yǎng)理性精神，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).這些思維方法的最基本原則是將困難的問題轉(zhuǎn)化為已知或比較容易解決的問題，RMI原則便是這樣一種能將問題化難為易的重要思維方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)有意識(shí)地將這種數(shù)學(xué)思維方法滲透到各種知識(shí)、概念和解決問題中，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有更深層次的理解，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和數(shù)學(xué)思維.

2.1 RMI原則在幾何圖形初步認(rèn)識(shí)中的應(yīng)用

中學(xué)生對(duì)幾何圖形的初步學(xué)習(xí)，大多是從認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的形狀開始的.將幾何圖形映射到現(xiàn)實(shí)世界中的物體上，從生活中的各種物體中識(shí)別幾何圖形，了解圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，然后反演到數(shù)學(xué)中，達(dá)到認(rèn)識(shí)圖形、理解圖形的目的，這個(gè)過程則體現(xiàn)出了RMI原則的基本思想.

例如，認(rèn)識(shí)球可以映射到現(xiàn)實(shí)生活中的特定球體形狀，具體映射過程如下：

圖2

2.2 RMI原則在解立體圖形問題中的應(yīng)用.

在中學(xué)階段，學(xué)習(xí)幾何圖形將通過現(xiàn)實(shí)世界的物體識(shí)別立體或平面圖形，在求解幾何圖形問題時(shí)，一般是對(duì)平面圖形的討論，但偶爾也會(huì)遇到超出我們知識(shí)范疇的數(shù)學(xué)問題，比如一些立體圖形問題的求解.而對(duì)于一些難以解決的立體圖形問題，我們往往會(huì)想到將其轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行研究和處理.

例如，人教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材中《直線、射線、線段》一章的拓展探究題：

如圖3所示，一只螞蟻想在最短的時(shí)間內(nèi)從正方體的頂點(diǎn)A沿表面爬到頂點(diǎn)B，它應(yīng)該如何爬行？如果要爬行到頂點(diǎn)C呢？說出你的理由.

圖3

解題思路：在本章中，我們學(xué)習(xí)了“兩點(diǎn)之間的最短線段”的概念，對(duì)于第一個(gè)問題，因?yàn)锳點(diǎn)和B點(diǎn)在同一平面上，所以學(xué)生知道直接連接A點(diǎn)和B點(diǎn)是螞蟻爬行的最短路徑，是到達(dá)B點(diǎn)的最短距離.與上一問相比，第二問對(duì)于很多學(xué)生來說比較困難，因?yàn)閷W(xué)生知道A點(diǎn)和C點(diǎn)不在同一個(gè)平面上，計(jì)算這兩點(diǎn)之間的距離是立體幾何問題，但是初中階段學(xué)生還沒學(xué)習(xí)解決立體幾何兩點(diǎn)之間的距離問題，而由于學(xué)生學(xué)習(xí)了立體幾何展開圖的知識(shí)點(diǎn)，有的同學(xué)自然會(huì)想到用展開圖來解題，這樣就可以把解立體幾何問題轉(zhuǎn)化為求平面圖形上的兩點(diǎn)之間的距離問題(利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”的知識(shí)，將展開后的圖形A和C兩點(diǎn)連線就是螞蟻爬行最短路線，也就是到達(dá)C點(diǎn)用時(shí)最短的距離)，因此這個(gè)問題也可以輕松解決了.

分析可以看出，上述解題思路中有兩處體現(xiàn)了RMI原則的思想(1)將時(shí)間問題轉(zhuǎn)化為距離問題，找出螞蟻爬行的最短距離，反演回去得到螞蟻花費(fèi)的最短時(shí)間；這里簡單解釋，不深入探討.(2)解決第二問的關(guān)鍵是建立立體幾何問題和平面幾何問題之間的映射關(guān)系，在平面幾何系統(tǒng)中得到解決后，再反演回立體幾何問題中,這一解決問題的過程體現(xiàn)了RMI原則.

整個(gè)思維過程可用如圖4表示：

圖4

2.3 RMI原則在解決實(shí)際問題模型中的應(yīng)用

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí),不僅要了解數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，而且要能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來，用數(shù)學(xué)的思維方式去思考，合理地運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，這是新的課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生提出的新要求，這一新要求在數(shù)學(xué)教材后的例題和習(xí)題中得到深刻體現(xiàn).將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(這個(gè)過程就是將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型)，用特定的數(shù)學(xué)程序求解數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究得出結(jié)論，再反演回實(shí)際問題中進(jìn)行檢驗(yàn)，使原問題最終得以解決.這個(gè)過程體現(xiàn)了RMI原則的基本思想.

3 小結(jié)

本文僅舉例說明RMI原則在“空間與圖形”領(lǐng)域數(shù)學(xué)問題解決中的一些應(yīng)用，筆者認(rèn)為，上述例子蘊(yùn)含了RMI原則的基本思想.RMI原則實(shí)際上可以理解為是一種科學(xué)的方法論原則，廣泛適用于各種場景，但RMI原則的應(yīng)用也需要一定的條件.例如，RMI方法能否成功實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵在于其映射和反演是否可行，新問題是否容易解決.

筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師若能在數(shù)學(xué)知識(shí)之間以及數(shù)學(xué)問題解決的過程中提煉出RMI原則，從更高的層次進(jìn)行教學(xué)，將這一基本思維方法滲透給學(xué)生，并鼓勵(lì)學(xué)生舉一反三應(yīng)用此原則來解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和理解數(shù)學(xué)問題有很大的幫助，也可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.