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    一種鏡像電流源荷控憶阻器及其Lorenz 混沌電路研究

    2023-01-11 04:52:48代云中莊圣賢李美容
    電子制作 2022年22期
    關(guān)鍵詞:阻器平衡點(diǎn)瞬態(tài)

    代云中,莊圣賢,李美容

    (1.宜賓職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能制造學(xué)院,四川宜賓,644003;2.西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院,四川成都,611756)

    0 引言

    20世紀(jì)80年代Chua[1~3]通過物理的對(duì)稱性給出一種憶阻器,由于憶阻器具有非線性與記憶等特性,使得憶阻器在混沌系統(tǒng)[6~10]、阻變存儲(chǔ)器[5~6]、現(xiàn)場可編程邏輯門陣列[14,11]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[12]、保密通信[11]、電力電子[13,14]、圖像處理[11,12]和音頻信號(hào)[16]等方面有廣泛使用。近年來,國內(nèi)外學(xué)者研究了多種具有不同結(jié)構(gòu)的含有憶阻器的混沌電路[3~6,15-17]。LOChua等給出一種分段磁控憶阻器(Magnet-Controlled Memristor,MCM)替換chua系統(tǒng)中的二極管,得出了含有非線性MCM的chua混沌系統(tǒng)[3,6]。文獻(xiàn)[7]采用分段MCM并聯(lián)在Lorenz電容兩端[7],給出一種含MCM的Lorenz混沌系統(tǒng),然而分段函數(shù)是階躍變化的,難以在實(shí)際工程中實(shí)現(xiàn)。但是文獻(xiàn)[7]的研究表明,與傳統(tǒng)Loren相比,含MCM的Lorenz系統(tǒng)表現(xiàn)出了完全不同的非線性行為[7,16]。

    由于現(xiàn)有工業(yè)產(chǎn)品中還無法造出憶阻器,為了研究含憶阻器的Lorenz系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。上述研究憶阻器使用比例積分(Proportional Integral,PI)電路、乘法器等搭建憶阻器的電路[5~9]。但是因?yàn)镻I電路中積分漂移的作用,使憶阻器的輸出信號(hào)與真實(shí)的憶阻器有較大不同,進(jìn)而難以對(duì)含有憶阻器的混沌系統(tǒng)的真實(shí)動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究[8~9,15~17]。

    本文首先提出采用鏡像電流源的荷控憶阻器;接著將給出含荷控憶阻器的Lorenz混沌系統(tǒng)(Lorenz with Charge-Controlled Memristor, Lorenz -CCM);最 后,對(duì) Lorenz-CCM系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

    1 荷控憶阻器

    惠普(HP)憶阻器是一種荷控憶阻器,由文獻(xiàn)[1]可知其憶阻值為:

    式(1)中:

    μv電子遷移率,則憶阻器的輸入電流i(t)和輸入電壓u(t)關(guān)系為[1]:

    式(2)中φ(t)為磁通,q(t)為電荷。

    當(dāng)取aq=1,bq=450,u(t)=sin(2πft),f=50Hz時(shí),可得:

    將u(t)代入(3)式,進(jìn)行數(shù)值仿真可得憶阻器的u-i曲線,如圖1所示。從圖1中可知,呈現(xiàn)出一個(gè)斜“8”字形的緊磁滯回線,與Chua的荷控憶阻器具有一樣的u-i特性[6]。

    圖1 u-i曲線

    由(3)式的憶阻器數(shù)學(xué)模型,本文設(shè)計(jì)了一種基于鏡像電流源的荷控憶阻器,如圖2所示。

    i(t)通過由N型(MN0~MN4)與P型金氧半場效晶體管(Metal-Oxide-Semiconductor Field-Effect Transistor, MOSFET) (MP0~MP4)構(gòu)建的鏡相電路后,分別流入到電容CT與電阻RT中,獲得CT的電壓VC=qc(t)/CT和RT的電壓i(t)×RT,qc(t)為CT的電荷。圖2中VDD和VSS分別為+5V和-5V。VC與i(t)×RT再經(jīng)過乘法器(AD633)后可得Vx為:

    圖2 荷控憶阻器

    Vx通 過(U2,U3,U4,r1,r2,r3,r4,r5,r6)組 成 的反相比例電路可得Vx1:

    接著,通過圖2可知:

    所以,在i(t)輸入下可知鏡像電流源荷控憶阻器v(t)和i(t)的關(guān)系為:

    然后,當(dāng)aq=1,bq=450時(shí),對(duì)照(3)式和(7)式,可計(jì)算出鏡像電流源荷控憶阻器的電路參數(shù)如表1所示。

    表1 鏡像電流源荷控憶阻器仿真參數(shù)

    根據(jù)圖2的電路結(jié)構(gòu)和表1的計(jì)算出的鏡像電流源荷控憶阻器電路參數(shù),采用Pspice搭建電路對(duì)圖2中設(shè)計(jì)的荷控憶阻器進(jìn)行電路仿真。當(dāng)u(t)=sin(2πft),f=50Hz時(shí)的電路仿真結(jié)果如圖3所示。圖3(a)、(b)、(c)分別為u(t),i(t)和u-i特性曲線。從圖3中可知i(t)的相位滯后于u(t)。u-i曲線是一個(gè)斜“8”字形的類緊磁滯回線的特性,且關(guān)于中心原點(diǎn)對(duì)稱,不存在積分漂移特征。所以,仿真結(jié)果驗(yàn)證了鏡像電流源荷控憶阻器電路設(shè)計(jì)的正確性。

    圖3 鏡像電流源荷控憶阻器的電路仿真

    2 含憶阻器的Lorenz電路

    2.1 Lorenz電路

    文獻(xiàn)[9]中的傳統(tǒng)Lorenz電路如圖4所示。

    圖4 傳統(tǒng)Lorenz電路

    其數(shù)學(xué)模型為[9]:

    (8)式 中V1,V2,V3,分別為電容C1,C2,C3的電容電壓。

    2.2 Lorenz-CCM電路

    Lorenz-CCM如圖5所示,先將鏡像電流源荷控憶阻器與L串聯(lián),再與C3并聯(lián)。Lorenz-CCM混沌電路與通常的Lorenz電路相比,增加了2個(gè)動(dòng)態(tài)元件:iL和q,iL是電感L的電流,q是指鏡像電流源荷控憶阻器的內(nèi)部電荷。

    圖5 Lorenz-CCM

    由KVL定律和式(7)可知Lorenz-CCM的狀態(tài)方程為:

    設(shè)x=V1,y=V2,z=V3,w=iL,k=q,

    并定義非線性函數(shù)M(k)為:

    則(9)式可重寫為:

    所以,Lorenz-CCM是一個(gè)五維的一階微分方程,由式(11)可對(duì)Lorenz-CCM進(jìn)行相應(yīng)的演繹推導(dǎo)與MATLAB數(shù)值仿真。

    2.3 混沌吸引子

    選擇電路參數(shù)α=13;β=15;aq=1和bq=450,x0,y0,z0,w0,k0分別為狀態(tài)變量x,y,z,w,k的初始值。當(dāng)(x0,y0,z0,w0,k0)=(0.01,0,0,0,0.013)時(shí),Lorenz-CCM在x-y,y-z和x-z平面的投影圖分別如圖6(a)~(c)所示,由圖可知Lorenz-CCM呈現(xiàn)出一個(gè)雙渦卷形狀的吸引子。

    圖6 Lorenz-CCM混沌吸引子

    通過Jacobi法計(jì)算出Lorenz-CCM系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為:L1=1.0223,L2=-0.0205,L3=-0.0376,L4=-17.6417,L5=-42.1998,Lyapunov維數(shù)DL=3.0546,因此,Lorenz-CCM為分?jǐn)?shù)維。在y=0平面上四維龐加萊(poincare)映射z-w的相圖如圖7(a)所示,交點(diǎn)表現(xiàn)為有規(guī)律的密集點(diǎn),且無法構(gòu)成閉合曲線,所以Lorenz-CCM為混沌態(tài)。

    x,y,z,w,k隨時(shí)間t變化的波形如圖7(b)所示,由圖7可知x,y,z,w,k隨t變化的過程是非周期性的。因此,由相軌圖、poincare映射、時(shí)域圖和Lyapunov指數(shù)以及其維數(shù),可知Lorenz-CCM是混沌的。

    圖7 poincare映射曲線和時(shí)域圖

    2.4 平衡點(diǎn)集與穩(wěn)定性

    令式(11)的右邊等于零,即:

    可得(12)式的平衡點(diǎn)集為:

    從上述分析可知k軸上的點(diǎn)集都是平衡點(diǎn),在此c為實(shí)常數(shù)。當(dāng)α=13;β=15;aq=1;bq=450和k=c,(11)式在平衡點(diǎn)處的Jacobi矩陣JE為:

    平衡點(diǎn)集E的特征根方程:

    當(dāng)令(15)式中括號(hào)的系數(shù)為:

    令式(15)的根的實(shí)部小于零時(shí),可得:

    解得c<0.00222。所以,當(dāng)式(15)中c>0.00222時(shí),平衡點(diǎn)集是不穩(wěn)定的。

    2.5 對(duì)初始值的敏感性

    當(dāng)α=13,β=15,aq=1與bq= 450時(shí)。且x,y,z,w,k的初始值(x0,y0,z0,w0,k0)=(0.01,0,0,0,0.013)時(shí),x隨時(shí)間t變化的波形如圖8所示。當(dāng)x0僅相差0.000001,y0,z0,w0,k0保 持 不 變,x在t=11.8s后 截 然 不 同。當(dāng)x0=0.0130001時(shí)Lorenz-CCM的Lyapunov如圖9所示,由圖9可知Lorenz-CCM有一個(gè)大于零的Lyapunov指數(shù)。因此,Lorenz-CCM是混沌的。

    圖8 不同x0時(shí)x的時(shí)域波形

    圖9 x0=0.0130001系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜

    3 動(dòng)力學(xué)分析

    3.1 初始條件為(0.01,0,0,0,0.013)時(shí),參數(shù)α變化

    當(dāng)β=15;aq=1和bq=450,且x,y,z,w,k的初始值(x0,y0,z0,w0,k0)=(0.01,0,0,0,0.013)時(shí),α為可變狀態(tài)變量。利用Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖和相軌跡圖對(duì)Lorenz-CCM進(jìn)行非線性行為分析。當(dāng)α增加時(shí),最大Lyapunov指數(shù)譜和以y=0為龐加萊截面z的分岔圖分別如圖10(a)~(b)所示,對(duì)比圖10(a)和圖10(b)可知,最大Lyapunov指數(shù)與分岔圖是一致的,在α較大的變化范圍內(nèi),Lorenz-CCM是呈混沌態(tài)的。

    從圖10(b)可看到Lorenz-CCM通向混沌的道路,在Lorenz-CCM混沌帶中有多個(gè)周期軌道和擬周期軌道的窗口。表2列出了α變化范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)的非線性行為。

    圖10 α變化時(shí)動(dòng)力學(xué)行為

    表2 參數(shù)α區(qū)間及其對(duì)應(yīng)的非線性行為

    圖11 呈現(xiàn)了Lorenz-CCM的周期、擬周期和混沌軌道。圖11(a)為α=2.00時(shí),x-y呈現(xiàn)出的穩(wěn)定原點(diǎn);圖11(b)為α=4.00時(shí),x-y呈現(xiàn)出的穩(wěn)定極限環(huán)。圖11(c)呈現(xiàn)出了一個(gè)擬周期狀態(tài);圖11(d)呈現(xiàn)出混沌態(tài)。

    圖11 不同α?xí)r的x-y相平面

    3.2 瞬態(tài)混沌現(xiàn)象

    當(dāng)α=6.71時(shí),Lorenz-CCM出現(xiàn)的瞬態(tài)混沌現(xiàn)象[3]如圖12所示,其瞬態(tài)混沌吸引子和穩(wěn)態(tài)周期極限環(huán)在x-y平面的相圖分別如圖12(a)和12(b)所示。x隨時(shí)間t變化的波形如圖12(c)所示,與通常的Lorenz不同的是,當(dāng)時(shí)間在0<t<34s時(shí),Lorenz-CCM是混沌狀態(tài)。當(dāng)t>34s時(shí),Lorenz-CCM為穩(wěn)定的周期態(tài)。圖12(d)為Lorenz-CCM的最大Lyapunov指數(shù),其在一定的范圍內(nèi)大于零,但是隨著t的增大而逐漸變?yōu)?。

    圖12 瞬態(tài)混沌現(xiàn)象

    4 Lorenz-CCM系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)

    由 圖7可 知,(x,y,z,w,k)的 數(shù) 值 完 全 大 于LM741、AD633的電源電壓。所以,可以將其減小一定的比例才能作為芯片的輸入,當(dāng)將x,y,z,w,k同時(shí)縮小10倍時(shí),可得:

    則Lorenz-CCM可重寫為:

    根據(jù)式(18),設(shè)計(jì)出的Lorenz-CCM電路如圖5所示,其狀態(tài)方程為:

    將式(18)與式 (19)比較,可得:

    由(20)式 可 得L=1H,C3= 1F。同時(shí)當(dāng)取表3的實(shí)驗(yàn)參數(shù)時(shí),再根據(jù)圖5設(shè)計(jì)的電路進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

    表3 實(shí)驗(yàn)參數(shù)

    V1-V2、V2-V3和V1-V3的 實(shí) 驗(yàn)波形分別如圖13(a)~(c)所示,將圖13(a)~(c)與圖6(a)~(c)分別對(duì)應(yīng)比較后可知, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果是一致的。因此,實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了Lorenz-CCM理論演繹與電路設(shè)計(jì)的正確性。

    圖13 Lorenz-CCM的實(shí)驗(yàn)波形

    5 結(jié)束語

    通過本文對(duì)含荷控憶阻器混沌電路的研究可得以下結(jié)論:

    (1) 基于鏡像電流源的荷控憶阻器消除了現(xiàn)有運(yùn)放憶阻器存在的積分漂移現(xiàn)象。

    (2) Lorenz-CCM系統(tǒng)和其他混沌電路類似的特點(diǎn):對(duì)狀態(tài)變量初始值變化的敏感性、確定性、有界性、難以預(yù)測、大于零的最大Lyapunov指數(shù)等特點(diǎn)。

    (3) 與通常的Lorenz電路相比,Lorenz-CCM存在瞬態(tài)混沌現(xiàn)象且易于硬件電路實(shí)現(xiàn),可在應(yīng)用于各種保密工程中。

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