考慮局部滲流的Biot孔隙彈性模型改進(jìn)

時(shí)鵬,丁海琨,王國(guó)平,李思亦,崔新豪,李文博

(1.中國(guó)石油集團(tuán)測(cè)井有限公司測(cè)井技術(shù)研究院,陜西西安710077;2.中國(guó)石油天然氣集團(tuán)有限公司測(cè)井技術(shù)試驗(yàn)基地,陜西西安710077;3.中國(guó)石油集團(tuán)測(cè)井有限公司國(guó)際合作處,陜西西安710077)

0 引 言

聲波在孔隙介質(zhì)中傳播時(shí),其速度、頻散和衰減受孔隙介質(zhì)骨架和孔隙流體性質(zhì)影響[1-7]。在工程應(yīng)用中可通過(guò)測(cè)量孔隙介質(zhì)中傳播的聲波的速度、頻散和衰減數(shù)據(jù)獲得孔隙介質(zhì)的力學(xué)參數(shù)、孔隙度、滲透率以及辨識(shí)孔隙流體種類[8-10]?？紫督橘|(zhì)的這一波動(dòng)性質(zhì)在應(yīng)用地球物理領(lǐng)域有著重要意義,受到力學(xué)、地球物理學(xué)研究者的廣泛關(guān)注。在油氣勘探領(lǐng)域,聲波測(cè)井方法理論上可獲得比其他測(cè)井方法更全的儲(chǔ)層信息。從1956年開(kāi)始,Biot[11-13]在Frenkel關(guān)于孔隙彈性研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行了系列研究,建立起流體飽和孔隙介質(zhì)波動(dòng)理論。該理論預(yù)測(cè)孔隙介質(zhì)中存在兩種縱波,并被Plona[14]實(shí)驗(yàn)證實(shí)。隨后,Biot理論被廣泛認(rèn)可并被應(yīng)用于聲波測(cè)井方法研究[15-20]。

然而實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明經(jīng)典Biot模型(簡(jiǎn)稱Biot模型)明顯低估了孔隙介質(zhì)中傳播的聲波的衰減,并未正確反映流體黏性對(duì)彈性波速度、頻散和衰減的影響[21-22]。因此,基于經(jīng)典Biot理論(簡(jiǎn)稱Biot理論)的聲波測(cè)井方法未被廣泛應(yīng)用于儲(chǔ)層滲透率評(píng)價(jià)。為解決這一問(wèn)題,研究者嘗試引入噴射流效應(yīng)對(duì)Biot模型進(jìn)行修改。然而現(xiàn)有的修正模型都存在未解決的問(wèn)題,因而限定了這些模型的使用范圍[22-23]。為合理解釋含液飽和孔隙介質(zhì)中的聲波性質(zhì),需要建立更合理的孔隙介質(zhì)彈性模型。本文對(duì)Biot理論中的基本方程進(jìn)行分析,指出各個(gè)方程的物理意義。在此基礎(chǔ)上,對(duì)Biot模型進(jìn)行修正,并通過(guò)對(duì)比修正模型計(jì)算的聲波衰減與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的聲波衰減驗(yàn)證修正模型的有效性。最后,基于修正模型進(jìn)行井孔聲場(chǎng)模擬,并分析地層局部滲流和滲透率變化對(duì)井孔聲場(chǎng)的影響。

1 Biot模型與模型修正

Biot理論是在如下假設(shè)下建立的:①含液飽和孔隙彈性介質(zhì)滿足小變形假設(shè),本構(gòu)方程、耗散方程和能量方程為線性方程;②連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論適用于可測(cè)量宏觀量,Biot理論中的宏觀量可通過(guò)其微觀量的體積平均表示;③孔隙介質(zhì)中傳播的機(jī)械波滿足長(zhǎng)波假設(shè);④孔隙介質(zhì)滿足恒溫條件;⑤流體受到的力為靜水壓力;⑥流體相是連續(xù)的,封閉孔道不貢獻(xiàn)孔隙度;⑦孔隙介質(zhì)的骨架滿足各向同性[24]。Biot理論由4個(gè)基本方程構(gòu)成,在諧波下可表示為[22,24]

τ=(H-2G)(·u)I+C(·w)I+

G(u+uT)

(1)

-p=C·u+M·w

(2)

(3)

-iωw=(-p+ω2ρfu)k(ω)/ηf

(4)

式中,H、C、M和G為孔隙介質(zhì)彈性系數(shù),Pa;p為壓強(qiáng),Pa,描述孔隙流體受到的壓力;τ為應(yīng)力張量,Pa,描述流體填充各向同性孔隙介質(zhì)的總應(yīng)力;w和u為滲流位移和骨架位移,m;ω為角頻率,rad*·m1;k(ω)為動(dòng)態(tài)滲透率,D(1)非法定計(jì)量單位,1 rad=(180/π)(°);1 D=0.987 μm2,下同;ρf為流體密度,kg·m-3;ηf為黏度系數(shù),Pa·s;ρ為孔隙介質(zhì)密度,kg·m-3;I為二階單位張量;i為虛數(shù)單位。

Biot理論的4個(gè)基本方程中,式(1)和式(2)為流體飽和孔隙彈性體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,式(3)和式(4)為流體飽和孔隙彈性體的運(yùn)動(dòng)方程。式(3)描述構(gòu)成孔隙介質(zhì)的微元在總應(yīng)力作用下的整體運(yùn)動(dòng),式(4)為廣義達(dá)西定律,描述孔隙流體與固體間的相互作用。Biot理論認(rèn)為含液飽和孔隙介質(zhì)的聲波衰減與頻散來(lái)自于流體相對(duì)固相骨架流動(dòng)時(shí)的黏性耗散。即式(4)決定Biot理論中聲波的耗散與衰減,這說(shuō)明可通過(guò)修正式(4)來(lái)解決Biot理論低估孔隙介質(zhì)聲波衰減的問(wèn)題。

本文通過(guò)引入局部滲流效應(yīng)來(lái)解決Biot模型低估孔隙介質(zhì)聲波衰減的問(wèn)題。假設(shè)孔隙介質(zhì)的孔道二維剖面結(jié)構(gòu)如圖1所示,當(dāng)縱波自上而下傳播時(shí),孔隙介質(zhì)在應(yīng)力作用下發(fā)生體積變化,進(jìn)而引起孔隙體積變化。孔隙介質(zhì)體積變化使得孔隙流體從體積壓縮的部分向體積膨脹的部分流動(dòng),形成孔隙流體的宏觀滲流。將孔隙介質(zhì)孔道看作兩個(gè)相互垂直且交叉的孔道[見(jiàn)圖1(a)],不難發(fā)現(xiàn)在垂向應(yīng)力作用下孔隙介質(zhì)的體積發(fā)生收縮時(shí),水平方向孔道的體積變化大于垂向孔道的體積變化。因此,在垂向壓力下孔隙流體的滲流雖然宏觀上沿垂向運(yùn)動(dòng),但這一宏觀滲流在微觀上主要由橫向孔道中流體滲流引起。Biot模型只考慮了垂向應(yīng)力產(chǎn)生的垂向壓力梯度引起的宏觀滲流,未考慮微觀滲流對(duì)宏觀滲流的貢獻(xiàn)。Dvorkin等[21]在類似解釋下提出了Biot-Squirt(BISQ)模型,并引入了未知參數(shù)噴射流長(zhǎng)度反映耗散大小。該模型認(rèn)為在垂向壓力作用下孔隙流體水平流向與本文模型中描述的水平向滲流方向相反。

圖1 孔隙介質(zhì)二維剖面示意圖

如上所述,在垂向應(yīng)力作用下孔隙流體的垂向宏觀滲流主要由橫向孔道中的流體滲流引起。這說(shuō)明在孔隙介質(zhì)體積發(fā)生變化的過(guò)程中,孔隙介質(zhì)微元內(nèi)部水平方向的壓力梯度會(huì)明顯高于垂向壓力梯度。因而宏觀上垂向壓力梯度一定時(shí),單位時(shí)間內(nèi)考慮局部滲流的孔隙介質(zhì)宏觀滲流量應(yīng)明顯大于不考慮局部滲流的孔隙介質(zhì)宏觀滲流量。對(duì)于真實(shí)孔隙介質(zhì),兩者的具體差異應(yīng)由孔隙介質(zhì)孔道結(jié)構(gòu)決定。為此,本文在式(4)中引入一個(gè)修正參數(shù)β反映局部流動(dòng)對(duì)宏觀滲流的貢獻(xiàn),修正后的孔隙流體與固體間相互作用可用式(5)描述。

-iωw=(-p+ω2ρfu)βk(ω)/ηf

(5)

即在相同壓力梯度下,考慮局部流動(dòng)時(shí)流過(guò)孔隙介質(zhì)微元的滲流量是不考慮局部流動(dòng)時(shí)滲流量的β倍。對(duì)于不同種類的巖石,其構(gòu)成顆粒的彈性模量不同。同時(shí)巖石形成過(guò)程中環(huán)境不同,固相顆粒堆積形成的孔隙介質(zhì)空間結(jié)構(gòu)也不同。因此,β的值應(yīng)由巖石種類和所處環(huán)境決定。對(duì)于巖石的結(jié)構(gòu)和構(gòu)成巖石骨架固體顆粒的性質(zhì),這兩者都已知的孔隙介質(zhì),其本構(gòu)關(guān)系和β的值可利用細(xì)觀力學(xué)通過(guò)解析推導(dǎo)或有限元計(jì)算獲得。

2 修正模型有效性驗(yàn)證

通過(guò)比較修正模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果驗(yàn)證修正模型的有效性。圖2顯示了模型計(jì)算的衰減系數(shù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比。在利用修正模型計(jì)算衰減系數(shù)時(shí),采用表1中巖樣I的巖石物理參數(shù)。圖2中實(shí)線和虛線分別表示聲源頻率為1 MHz、β分別為1.0(Biot模型)和18.0(修正模型)時(shí)計(jì)算的縱波衰減系數(shù)。圖2中黑色圓點(diǎn)為聲源頻率為1 MHz時(shí),實(shí)測(cè)的巖樣縱波衰減系數(shù)。比較Biot模型與修正模型計(jì)算的衰減系數(shù)可知:通過(guò)改變修正參數(shù)β,修正模型可以有效解決Biot模型低估巖石衰減的問(wèn)題。比較模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)可知,修正模型計(jì)算的衰減系數(shù)隨滲透率的變化趨勢(shì)與實(shí)測(cè)結(jié)果相同,合理地選擇修正參數(shù)β可使理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果在同一量級(jí)。

圖2 模型計(jì)算衰減系數(shù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[1]對(duì)比

表1 巖樣的巖石物理參數(shù)

進(jìn)一步分析實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)與模型計(jì)算結(jié)果可得:當(dāng)巖石滲透率較小(小于0.06 D)時(shí),模型取β=18.0的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量吻合較好;當(dāng)巖石滲透率較大(大于0.06 D)時(shí),模型取β=18.0計(jì)算的巖石的聲波衰減高于測(cè)量值。在滲透率較大時(shí),為使理論計(jì)算結(jié)果接近測(cè)量結(jié)果需要降低β取值。對(duì)于同一類巖石,巖石的滲透率一般隨孔隙度增加而增加[25],而孔隙度在一定程度上反映巖石骨架的性質(zhì)。上述結(jié)果或從側(cè)面說(shuō)明β取值不僅受巖石的種類(或構(gòu)成固相骨架的固體顆粒性質(zhì))影響,還受巖石固相骨架結(jié)構(gòu)影響。

圖3和圖4給出了模型計(jì)算結(jié)果與另一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)結(jié)果的對(duì)比。在利用修正模型計(jì)算孔隙彈性波速度和品質(zhì)因子時(shí),采用表1中巖樣II的巖石物理參數(shù),用1000/Q(Q為品質(zhì)因子)隨頻率的變化來(lái)反映頻率對(duì)聲波衰減的影響。圖3中實(shí)線和虛線分別表示Biot模型和β=25.5時(shí)修正模型計(jì)算的縱波衰減隨頻率的變化;圖3中矩形框表示不同頻率下縱波的1000/Q實(shí)測(cè)范圍[2]。圖4中的黑色虛線和紅色虛線分別表示β=25.5時(shí)修正模型計(jì)算的縱波和橫波波速隨頻率的變化,圖4中的黑色實(shí)線和紅色實(shí)線分別表示Biot模型計(jì)算的縱波和橫波波速隨頻率的變化,圖4中的黑色和紅色矩形框分別表示不同頻率下縱波和橫波波速實(shí)測(cè)范圍[2]。

圖3 模型計(jì)算的1000/Q與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[2]對(duì)比(Q為品質(zhì)因子)

圖4 模型計(jì)算縱橫波速度頻散與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[2]對(duì)比

比較圖3和圖4中考慮局部滲透率的修正模型與Biot模型計(jì)算的衰減和頻散可知,隨著局部滲流增加,孔隙彈性波的衰減增加,縱橫波的高頻極限值和低頻極限值的差異也增加。比較修正模型計(jì)算結(jié)果和實(shí)測(cè)結(jié)果可得:理論計(jì)算的品質(zhì)因子隨頻率變化趨勢(shì)也與實(shí)測(cè)結(jié)果一致,且兩者在同一數(shù)量級(jí);修正模型計(jì)算的縱橫波波速的頻率響應(yīng)也可有效解釋不同頻率下實(shí)驗(yàn)測(cè)量的含液飽和孔隙介質(zhì)縱橫波波速,且理論計(jì)算結(jié)果在實(shí)測(cè)結(jié)果范圍內(nèi)。與Biot模型計(jì)算結(jié)果相比,引入修正參數(shù)后的理論計(jì)算結(jié)果更接近實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果。上述結(jié)果表明,修正后的Biot模型能夠合理解釋孔隙介質(zhì)的波動(dòng)現(xiàn)象,可通過(guò)本修正模型定量預(yù)測(cè)巖石的波動(dòng)性質(zhì)。

3 井孔聲場(chǎng)模擬

通過(guò)修正模型分析巖石局部滲流(β值)和滲透率變化對(duì)井孔聲場(chǎng)的影響。這里模擬二維軸對(duì)稱井眼中的聲波壓強(qiáng)(簡(jiǎn)稱聲壓)場(chǎng),聲源為位于井軸上的單極子源,接收器距離聲源2.5 m。聲源為主頻率6 kHz的余弦包絡(luò)脈沖,脈沖距聲源0.01 m處的聲壓峰值為100 Pa。關(guān)于二維軸對(duì)稱井孔聲場(chǎng)的邊界條件和聲場(chǎng)解析推導(dǎo)過(guò)程可參考相關(guān)文獻(xiàn)[15,18,26]。

圖5給出了修正參數(shù)β對(duì)井孔聲場(chǎng)的影響。圖5中黑實(shí)線、紅實(shí)線和藍(lán)實(shí)線分別為β取1.0、3.0和5.0時(shí)的井孔聲壓計(jì)算結(jié)果。假定地層的孔隙度為0.2、滲透率為1.0 D。由圖5可知,井孔中各個(gè)波群的幅值隨β值增加而減小,但各個(gè)波群的減小幅度不同。隨著β增加,斯通利波衰減幅度最明顯,其次為橫波,最后為縱波。

圖5 修正參數(shù)β對(duì)井孔聲場(chǎng)的影響

需要指出地層中的聲波衰減與頻率有關(guān),衰減峰值對(duì)應(yīng)的頻率與地層滲透率有關(guān)[22-25]。圖6(a)計(jì)算了β=5.0時(shí),不同滲透率下的地層衰減的頻率響應(yīng)。如圖6(a)所示,縱波1000/Q的峰值對(duì)應(yīng)的頻率隨滲透率增加而減小。當(dāng)滲透率為0.1、1.0、10.0 D時(shí),對(duì)應(yīng)的1000/Q峰值頻率分別為50.0、5.0、0.5 kHz。即當(dāng)?shù)貙訚B透率為1.0 D時(shí),脈沖主頻在5.0 kHz附近的測(cè)井聲波信號(hào)的衰減會(huì)明顯高于其他頻段。因此,在采用聲波測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)評(píng)價(jià)儲(chǔ)層滲透率時(shí),需考慮脈沖主頻的選擇。圖6(b)給出了滲透率為0.1、1.0、10.0 D時(shí)修正模型計(jì)算的井孔聲壓。比較圖6(b)不同滲透率的井孔聲壓可知,隨著滲透率增加,接收到的井孔聲壓減小,但由于聲源主頻(6 kHz)接近滲透率為1.0 D時(shí)地層的聲波衰減峰值頻率(5.0 kHz),滲透率為1.0 D時(shí)地層的井孔聲壓略大于滲透率為10.0 D時(shí)地層的井孔聲壓。巖石的滲透率測(cè)量實(shí)驗(yàn)研究表明,中高滲儲(chǔ)層的滲透率一般不高于0.3 D[27]。即對(duì)于大多數(shù)儲(chǔ)層,聲波的衰減峰值頻率高于5.0 kHz。這說(shuō)明在利用聲波測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)評(píng)價(jià)儲(chǔ)層滲透率時(shí),聲源脈沖主頻應(yīng)小于5.0 kHz,且主頻率越低,儲(chǔ)層的滲透率評(píng)價(jià)結(jié)果越準(zhǔn)確。

圖6 滲透率對(duì)聲場(chǎng)的影響

4 結(jié) 論

文本通過(guò)在經(jīng)典Biot孔隙彈性模型中引入局部滲流效應(yīng)對(duì)經(jīng)典模型進(jìn)行了修正,解決了經(jīng)典Biot模型低估巖石孔隙彈性波衰減的問(wèn)題。比較了修正模型和經(jīng)典Biot模型計(jì)算的孔隙彈性波衰減和頻散,并將兩者的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。理論計(jì)算與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比表明:修正模型計(jì)算的衰減和頻散與實(shí)測(cè)結(jié)果在同一數(shù)量級(jí)且變化趨勢(shì)相同,修正模型比經(jīng)典Biot模型能更合理地解釋地層中的孔隙彈性波。最后該修正模型被用于井孔聲場(chǎng)模擬,分析局部滲流和滲透率變化對(duì)井孔聲場(chǎng)的影響。由井孔波場(chǎng)模擬可得:局部滲流和滲透率對(duì)井孔聲場(chǎng)幅值的影響明顯,在利用聲波測(cè)井評(píng)價(jià)滲透率時(shí)需要考慮局部滲流對(duì)井孔聲場(chǎng)的影響;采用單極子源聲波測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行滲透率反演需要采用較低的聲源頻率以避開(kāi)地層中聲波的衰減峰值。