近場動力學(xué)在斷裂力學(xué)領(lǐng)域的研究進展

張 恒 張 雄 ,* 喬丕忠

1 清華大學(xué)航天航空學(xué)院,北京 100084

2 上海交通大學(xué)海洋工程國家重點實驗室和船舶海洋與建筑工程學(xué)院,上海 200240

1 引 言

斷裂力學(xué)問題一直是力學(xué)領(lǐng)域的研究難點.傳統(tǒng)基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的理論和數(shù)值方法在求解此類非連續(xù)問題時遇到挑戰(zhàn).根源在于,連續(xù)介質(zhì)力學(xué)建立在連續(xù)性假設(shè)和局部接觸原理的基礎(chǔ)上,運動方程中存在著體現(xiàn)內(nèi)力的位移空間導(dǎo)數(shù)項.然而斷裂問題中裂紋尖端區(qū)域的位移場不連續(xù),空間導(dǎo)數(shù)不存在,意味著連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本運動方程構(gòu)建失效.經(jīng)典斷裂力學(xué)理論,定義能量釋放率和應(yīng)力強度因子等概念表征裂紋區(qū)的應(yīng)力集中和變形狀態(tài),為斷裂問題研究奠定了堅實的理論基礎(chǔ).但傳統(tǒng)斷裂力學(xué)依然建立在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)框架下,其理論分析僅可求解簡化的特定問題;而借助的有限單元法為代表的數(shù)值方法仍然面臨網(wǎng)格依賴性等困難.

近場動力學(xué) (peridynamics,PD) 是Silling 博士2000年提出的一種非局部理論,非常適用于求解斷裂損傷等非連續(xù)問題 (Silling 2000,Silling &Lehoucq 2010,黃丹等2010,喬丕忠等 2017,顧鑫等2019,Madenci et al.2022).近場動力學(xué)基于非局部內(nèi)力積分思想,將連續(xù)介質(zhì)力學(xué)微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程,避免了非連續(xù)區(qū)局部空間導(dǎo)數(shù)不存在等問題.利用統(tǒng)一數(shù)學(xué)框架描述空間連續(xù)與非連續(xù),近場動力學(xué)模型可自然模擬裂紋的萌生、擴展與分叉等斷裂行為.總的來說,近場動力學(xué)理論由兩大基礎(chǔ)組成: 近場動力學(xué)本構(gòu)力模型和近場動力學(xué)鍵失效模型.近場動力學(xué)本構(gòu)力模型反映了內(nèi)力與變形的響應(yīng)關(guān)系,具體體現(xiàn)在物質(zhì)點之間長程作用力的形式,反映了材料的物性信息.近場動力學(xué)鍵失效模型定義和判定了物質(zhì)點之間長程力的連接狀態(tài),是近場動力學(xué)量化斷裂分析的基礎(chǔ).另外,按照本構(gòu)力模型的求解形式,近場動力學(xué)模型可具體劃分為鍵基近場動力學(xué) (bond-based PD)、常規(guī)態(tài)近場動力學(xué) (ordinary state-based PD) 和非常規(guī)態(tài)近場動力學(xué) (non-ordinary state-based PD).對于鍵基近場動力學(xué)模型,節(jié)點之間的長程作用力僅與節(jié)點對本身的變形量有關(guān);而態(tài)基模型的節(jié)點內(nèi)力由該節(jié)點近場范圍δ內(nèi)所有節(jié)點的狀態(tài)決定.同時如果節(jié)點內(nèi)力矢量與節(jié)點對相對變形方向相同,稱為常規(guī)態(tài)模型;否則稱為非常規(guī)態(tài)模型.

本文首先以彈性材料為例,簡要介紹近場動力學(xué)本構(gòu)力模型,之后將系統(tǒng)總結(jié)近場動力學(xué)的鍵失效模型以及特定斷裂力學(xué)問題的研究進展,包括斷裂參數(shù)求解、混合型裂紋、彈塑性斷裂、黏聚力模型、動態(tài)斷裂、材料界面斷裂和疲勞裂紋擴展等,最后對斷裂問題的近場動力學(xué)研究做進一步展望.

2 近場動力學(xué)本構(gòu)力模型

在近場動力學(xué)理論中,連續(xù)的材料和結(jié)構(gòu)體被等效離散為帶有體積和質(zhì)量的物質(zhì)節(jié)點.每一個節(jié)點受到其近場范圍δ內(nèi)所有其他節(jié)點的共同作用,節(jié)點之間通過 “近場動力學(xué)鍵” 連接.對于基于狀態(tài)的近場動力學(xué)模型,節(jié)點之間的長程作用力不僅與節(jié)點對本身的狀態(tài)有關(guān),還與該節(jié)點近場范圍δ內(nèi)其它節(jié)點的狀態(tài)有關(guān).如圖1所示,在常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)理論中,對于線彈性物質(zhì)節(jié)點x,其運動方程、應(yīng)變能密度以及力矢量密度表達式可以表示為

圖1 常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)模型.

式中,ρ為節(jié)點x的密度,u為t時刻的位移,b(x,t) 為體力,x′為x鄰域Hx內(nèi)的任一節(jié)點;ξ=x′-x為鍵矢量,〈ξ〉為初始矢量,=y-y′為變形矢量,[x,t]和[x′,t] 分別為節(jié)點x和x′力矢量密度狀態(tài);[] 中表示該狀態(tài)所屬的空間和時間,〈〉表示該狀態(tài)作用或映射的對象,κ和α為近場動力學(xué)彈性參數(shù),為影響函數(shù),為鍵的伸長量,(·) 為近場動力學(xué)積分運算符號,為體積加權(quán)量,θ為體積膨脹量,t為力密度函數(shù).對于常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)模型,節(jié)點之間作用力矢量與節(jié)點對相對變形方向相同,同時變形場可以分解為體積膨脹和剪切變形.利用近場動力學(xué)和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)彈性應(yīng)變能密度對應(yīng)項等效的方法,可推導(dǎo)得到模型中彈性參數(shù).不同維度下常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)本構(gòu)力模型的力密度函數(shù)、體積膨脹量及其彈性參數(shù)如表1所示(Silling et al.2007,Zhang H &Qiao 2020a).

常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)模型中應(yīng)變能密度和力密度函數(shù)均可分解為體積變形和剪切變形對應(yīng)項,無需附加項.此外,Le 等 (2014) 推導(dǎo)了帶有附加項的二維常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)模型;Madenci 和Oterkus (2015,2016) 利用特定形式的影響函數(shù)建立了近場動力學(xué)彈性模型,它們均為表1中模型的等效形式.另外,選取固定泊松比值和特定影響函數(shù),常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)模型可以退化為鍵基近場動力學(xué)模型,即鍵基模型是態(tài)基模型的特殊形式,態(tài)基模型消除了鍵基理論對于材料屬性的限制 (Silling et al.2007).

表1 不同維度下常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)彈性本構(gòu)力模型

3 近場動力學(xué)的鍵失效模型

3.1 近場動力學(xué)斷鍵準則

斷鍵準則定義和判定了物質(zhì)節(jié)點之間作用鍵的連接狀態(tài),是近場動力學(xué)量化斷裂分析的基礎(chǔ).目前,應(yīng)用最廣的近場動力學(xué)斷鍵準則為臨界伸長率和臨界能量密度模型.其中,基于臨界伸長率的斷鍵準則可以表示為 (Silling &Askari 2005,Zhang H &Qiao 2018a):

式中,用來表征鍵的連接狀態(tài),s為鍵伸長率,s0為伸長率的臨界值,G0為材料的臨界能量釋放率,κ和α是表1中給出的常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)彈性參數(shù),χ′和χ是與近場范圍δ和影響函數(shù)相關(guān)的參數(shù) (Zhang H &Qiao 2018a,2020a).根據(jù)臨界伸長率準則,當鍵伸長率s超出其臨界伸長率s0時,節(jié)點對之間的相互作用將會永久消失,也就意味著“鍵”的失效.對于常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)模型,臨界伸長率s0由斷裂能等效得到,即裂紋擴展單位面積釋放的能量 (材料的臨界能量釋放率) 等于所有通過該單位面積鍵的伸長率達到其臨界值所消耗的總能量.如式 (5) 所示,常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)模型的臨界伸長率是材料彈性參數(shù)、斷裂參數(shù)以及近場范圍的函數(shù).此外,若考慮鍵基模型對材料泊松比的限制并選用特定的影響函數(shù),臨界伸長率表達式可退化為鍵基形式(Silling &Askari 2005,Ha &Bobaru 2010).

臨界能量密度斷鍵準則可以表示為 (Foster et al.2011)

式中,w為鍵能量密度,w0為鍵能量密度的臨界值,B為二維模型的厚度.與臨界伸長率不同,臨界能量密度僅與斷裂參數(shù)臨界能量釋放率G0以及近場范圍δ有關(guān),與材料的彈性參數(shù)無關(guān).因此,鍵基和態(tài)基近場動力學(xué)模型的臨界能量密度形式相同,且該形式適用于彈性和塑性等不同屬性材料.

另外,在非局部理論近場動力學(xué)模型中,宏觀上的裂紋體現(xiàn)為特性區(qū)域近場動力學(xué)鍵的失效.為了追蹤裂紋的擴展路徑,節(jié)點變量局部損傷d定義為

當d=0 時,節(jié)點沒有斷鍵;d=1 時,與該節(jié)點相連的鍵完全斷裂.這樣參數(shù)d就可用于宏觀上觀測每個節(jié)點的損傷程度,從而追蹤裂紋的擴展路徑.不需要顯式的裂紋面,宏觀上裂紋的萌生和擴展由節(jié)點失效鍵的堆積構(gòu)成.

3.2 材料強度相關(guān)的失效模型

材料強度體現(xiàn)了連續(xù)場變形中物質(zhì)點的承載能力,是材料結(jié)構(gòu)失效評判的重要參數(shù).對于涉及強度分析的非奇異結(jié)構(gòu)破壞問題,基于斷裂力學(xué)理論的斷鍵準則面臨著困難.這是因為,上述臨界伸長率和臨界能量密度均為離散化參數(shù)近場范圍δ的函數(shù),它們隨著網(wǎng)格的細化而不斷增大 (Silling &Askari 2005,Foster et al.2011).臨界伸長率甚至?xí)笥诓牧系淖畲罄鞈?yīng)變,這在材料強度分析中顯然是不合理的.等效于最大拉應(yīng)變的概念,基于材料拉伸強度的臨界伸長率可表示為:s0=σ0/E,它是與網(wǎng)格尺寸無關(guān)的材料固定參數(shù) (Gerstle et al.2005).基于類似的強度概念,Tsai-Hill 和Mohr-Coulomb 強度準則被引入非常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)模型中,分別應(yīng)用于復(fù)合材料和巖石材料的破壞行為分析 (Wang Y T et al.2016,Hattori et al.2018).然而基于強度理論的失效模型顯然不適用于材料的量化斷裂分析.

為統(tǒng)一基于強度和斷裂理論的臨界伸長率表達式,Gerstle 等 (2005) 將近場范圍δ定義為材料屬性相關(guān)的特定值,采用拉伸強度和臨界能量釋放率得到了數(shù)值相同的臨界伸長率,然而特定δ對不同尺寸結(jié)構(gòu)的離散化策略提出挑戰(zhàn).Stewart 和 Jeon (2019) 提出了一種雙層判定細化疊加技術(shù),將近場動力學(xué)鍵劃分于均勻應(yīng)力場區(qū)或者應(yīng)力集中區(qū),分別使用基于強度和能量的臨界伸長率,消除了網(wǎng)格尺寸對材料強度的影響,分析了無損線性桿與帶裂紋平板的臨界破壞載荷.此外,Zhang H 和 Qiao (2018b) 建立了一種同時考慮材料強度和能量釋放率的近場動力學(xué)混合破壞模型,引入了有限長度裂紋斷裂力學(xué)方法,分析了帶橢圓孔和中心裂紋平板的拉伸問題,預(yù)測了帶孔平板從結(jié)構(gòu)強度失效、裂紋萌生到裂紋擴展的破壞過程.Wang Y W 等 (2021) 建立了自適應(yīng)的近場動力學(xué)和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)耦合模型,利用材料強度準則進行連續(xù)介質(zhì)力學(xué)到近場動力學(xué)求解方式的轉(zhuǎn)換判定,模擬了狗骨式結(jié)構(gòu)和L 型平板強度失效、裂紋萌生和擴展的失效全過程.

嚴格來說,裂紋萌生區(qū)域材料的內(nèi)力與變形為非線性關(guān)系,為更精確地分析失效過程中材料的強度和斷裂行為,需建立近場動力學(xué)損傷或塑性模型,分析裂紋尖端材料的非線性變形.Macek和 Silling (2007) 研究了彈塑性材料的近場動力學(xué)微塑性模型,給出了與材料強度相關(guān)的近場動力學(xué)鍵屈服伸長率,考慮了鍵達到屈服伸長率之后的塑性變形.此外,黏聚力模型也是一種常用的非線性斷裂力學(xué)分析方法.彈塑性裂紋以及黏聚力模型的近場動力學(xué)研究將在下一章具體介紹.

4 斷裂問題的近場動力學(xué)研究

4.1 斷裂力學(xué)參數(shù)

能量釋放率、應(yīng)力強度因子和J 積分為表征裂紋尖端實時狀態(tài)的重要參數(shù),是經(jīng)典斷裂力學(xué)理論的基礎(chǔ).在近場動力學(xué)理論框架下求解能量釋放率、應(yīng)力強度因子和J 積分,為同時發(fā)揮近場動力學(xué)和傳統(tǒng)斷裂力學(xué)的優(yōu)勢提供了可能.

能量釋放率的斷裂力學(xué)求解方式主要包括: Griffiths 能量釋放率定義、虛擬裂紋閉合技術(shù)和J 積分,它們也是近場動力學(xué)理論下求解能量釋放率的主要方法.基于Griffiths 能量釋放率定義,Yu 和 Li (2020) 理論分析了近場動力學(xué)有限尺寸裂紋的能量釋放率,包括二維中心裂紋、單邊裂紋和彎折裂紋以及三維扁平型裂紋,并給出了不同裂紋形式的臨界伸長率修正表達式.Zhang H 和 Qiao (2020b) 提出了近場動力學(xué)的有限裂紋伸長技術(shù),計算單位長度裂紋擴展前后系統(tǒng)總應(yīng)變能的變化值,數(shù)值求解了固定力或位移載荷作用下裂紋尖端的能量釋放率.同一時期,Zhang H 和 Qiao (2020c) 構(gòu)建了近場動力學(xué)理論框架下的虛擬裂紋閉合技術(shù) (見圖2),利用虛擬鍵能量密度積分計算裂紋閉合能量,采用裂紋尖端位移場分解的方式分析混合型裂紋,求解了I 型、II 型以及混合型裂紋的能量釋放率.此外,彈性材料的能量釋放率可利用近場動力學(xué)J積分求解.

圖2 近場動力學(xué)虛擬裂紋閉合技術(shù) (Zhang H &Qiao 2020c).

Silling 和 Lehoucq (2010) 采用能量守恒定律首次推導(dǎo)了J 積分的近場動力學(xué)等效方程,并初步給出了該方程的求解形式.Hu W K 等 (2012a) 系統(tǒng)地提出了非局部J 積分的鍵基近場動力學(xué)理論模型和數(shù)值算法,研究了邊界條件、表面效應(yīng)以及積分路徑對J 積分結(jié)果的影響,并對比傳統(tǒng)有限元數(shù)值結(jié)果,驗證了模型的有效性.如圖3所示,不同與經(jīng)典斷裂力學(xué)的線積分形式,近場動力學(xué)內(nèi)力的非局部積分區(qū)間為包裹積分路徑的雙層積分域.此后,Stenstrom 和 Eriksson(2019,2021) 給出了近場動力學(xué)J 積分的位移求解形式,避免了原模型的內(nèi)力積分運算,提高了近場動力學(xué)J 積分的適用性和效率.

圖3 近場動力學(xué)J 積分 (Hu W K et al.2012a).

利用近場動力學(xué)J 積分可進一步求解裂紋尖端應(yīng)力強度因子.Jung 和 Seok (2017) 采用位移場分解方法分析混合型斷裂,通過近場動力學(xué)J 積分計算裂紋尖端應(yīng)力強度因子,并以此建立了混合型裂紋的近場動力學(xué)疲勞模型.Panchadhara 和 Gordon (2016) 利用近場動力學(xué)力矢量密度近似代替非局部應(yīng)力張量,簡化計算了傳統(tǒng)斷裂力學(xué)J 積分方程,分析了裂紋的I 型和II 型動態(tài)應(yīng)力強度因子.另外,交互能量積分為J 積分方程中混合型應(yīng)力強度因子的重要提取方法,Imachi 等 (2018) 采用最小二乘方法求解積分路徑的位移導(dǎo)數(shù),建立了常規(guī)狀態(tài)近場動力學(xué)的交互積分方程,并分析了載荷作用下混合型裂紋的應(yīng)力強度因子.此后,他們進一步求解了動態(tài)裂紋的應(yīng)力強度因子,分析了裂紋的萌生、擴展和止裂等斷裂行為 (Imachi et al.2019,2020).Dai等 (2021) 利用近場動力學(xué)微分算子實現(xiàn)了交互積分方程,求解了板殼結(jié)構(gòu)在面內(nèi)載荷作用下的應(yīng)力強度因子.此外,Hattori 等 (2018) 與Zhu 和 Oterkus (2020) 采用位移外推法的近場動力學(xué)數(shù)值模型,分析了裂紋在準靜態(tài)和動態(tài)載荷下的應(yīng)力強度因子.

近場動力學(xué)理論的優(yōu)勢在于其消除了裂紋尖端的奇異性,不再需要基于斷裂力學(xué)參數(shù)的斷裂準則,其可自然模擬宏觀上裂紋的萌生和擴展.因此能量釋放率、應(yīng)力強度因子和J 積分等斷裂力學(xué)參數(shù)在近場動力學(xué)框架下的求解必要性受到質(zhì)疑.尤其對于裂紋尖端的應(yīng)力強度因子,其在近場動力學(xué)模型中缺乏具體的物理定義,往往通過近場動力學(xué)J 積分進一步求解得到.然而,近場動力學(xué)理論在量化分析復(fù)雜斷裂問題,如混合型裂紋、界面裂紋等仍面臨挑戰(zhàn).能量釋放率等斷裂參數(shù)可以表征出復(fù)雜裂紋尖端的宏觀變形狀態(tài),也為同時發(fā)揮近場動力學(xué)和傳統(tǒng)斷裂力學(xué)的優(yōu)勢提供了可能.

4.2 混合型裂紋

斷裂力學(xué)中裂紋類型包括: 張開型裂紋 (I 型)、滑開型裂紋 (II 型)、撕開型裂紋 (III 型) 以及混合型裂紋.經(jīng)典的近場動力學(xué)臨界伸長率和臨界能量密度斷鍵準則主要適用于I 型裂紋,在處理II 型、III 型以及混合型裂紋斷裂問題時面臨著挑戰(zhàn).一方面,對于均質(zhì)各向同性材料,混合型載荷作用下裂紋傾向于彎折擴展,以保證混合型裂紋模式轉(zhuǎn)換為能量消耗最低的I 型.經(jīng)典臨界伸長率或臨界能量密度斷鍵準則能夠分析此類裂紋擴展問題,可以預(yù)測裂紋的擴展路徑(Caimmi et al.2016,Madenci et al.2016,Dipasquale et al.2017),但在精確預(yù)測起裂臨界載荷時遇到困難 (Zhang H et al.2021).另一方面,對于沿界面擴展的混合型裂紋,裂紋通常保持為混合型模式.然而經(jīng)典斷鍵準則沒有充分考慮II 型和III 型斷裂參數(shù),在分析此類問題時會遇到裂紋面不完全斷裂、裂紋臨界載荷不準確等問題 (Ren et al.2016,Zhang Y &Qiao 2019a).

為更準確分析混合型斷裂問題,Oterkus 和 Madenci (2012,2015) 建立了層間板界面混合型裂紋的近場動力學(xué)模型,提出了層合界面連接鍵的臨界伸長率和臨界剪切角斷鍵準則,研究了復(fù)合材料界面脫層破壞以及反平面剪切和扭轉(zhuǎn)變形引起的III 型斷裂問題.對于同樣的層間破壞問題,Hu Y L 等(2015) 將層間鍵能量密度分解為I 型、II 型和III 型斷裂模式對應(yīng)部分,并利用斷裂力學(xué)混合型斷裂準則,預(yù)測界面裂紋的萌生和擴展行為.Zhang Y 和 Qiao (2019a) 提出了II型斷裂問題的臨界偏轉(zhuǎn)角斷鍵準則,定義剪切變形下近場動力學(xué)鍵偏轉(zhuǎn)角的求解方式,并推導(dǎo)得到臨界偏轉(zhuǎn)角與材料II 型臨界能量釋放率的等效關(guān)系,分析了剪切載荷作用下II 型裂紋斷裂問題.Wang Y T 等(2018)、Yu H T 等(2020) 以及Madenci 等(2021) 分別利用鍵旋轉(zhuǎn)角概念建立了廣義鍵基近場動力學(xué)模型,避免了鍵基模型在材料參數(shù)泊松比上的限制,同時對應(yīng)與鍵的伸長和旋轉(zhuǎn)變形分別建立了臨界失效準則,分析了二維和三維結(jié)構(gòu)在拉伸、剪切、彎曲和扭轉(zhuǎn)等復(fù)雜載荷共同作用下的裂紋擴展問題.近期,Zhang H 等 (2021) 提出了各向同性材料以及界面中混合型裂紋的近場動力學(xué)斷鍵準則,推導(dǎo)了角度相關(guān)的臨界伸長率和臨界能量密度表達形式.如圖4所示,分類定義混合型裂紋尖端近場動力學(xué)鍵,位移分解得到裂紋尖端I 型和II 型斷裂模式對應(yīng)的鍵變形狀態(tài),并引入Benzeggagh-Kenane (B-K) 或冪函數(shù)混合型斷裂準則,建立了近場動力學(xué)混合型斷鍵準則,分析了混合型裂紋的萌生、擴展和路徑選擇等斷裂行為.此外,類比與經(jīng)典斷裂力學(xué)理論,研究者們利用近場動力學(xué)J 積分等方法求解了混合型裂紋的I 型和II 型應(yīng)力強度因子,并分析了裂紋尖端的變形以及模態(tài)混合狀態(tài) (Jung &Seok 2017,Imachi et al.2018,Dai et al.2021).

圖4 混合型裂紋的近場動力學(xué)模型 (Zhang H et al.2021).(a) 各向同性材料,(b) 材料界面,(c) 應(yīng)用展示.

近場動力學(xué)模型在分析混合型裂紋斷裂問題時遇到挑戰(zhàn).一方面是因為不同裂紋類型對應(yīng)鍵變形之間的混合,難以分解.不同方向上近場動力學(xué)鍵與裂紋面相對角度不同,其鍵變形中與I 型和II 型裂紋相關(guān)的權(quán)重也不相同.另一方面,經(jīng)典近場動力學(xué)模型不能顯式表征出鍵變形的剪切量,在分析II 型裂紋問題時遇到瓶頸 (Zhang Y &Qiao 2019a).廣義鍵基近場動力學(xué)模型(Madenci 等 2021) 雖然同時定義了鍵的伸長和旋轉(zhuǎn)變形,但該伸長和旋轉(zhuǎn)變形并不能分別對應(yīng)于I 型和II 型裂紋模式,其鍵變形混合作用依然存在.利用位移場分解的方法可得到裂紋尖端I型和II 型對應(yīng)的鍵變形狀態(tài),但角度相關(guān)的近場動力學(xué)鍵失效準則需預(yù)知混合型裂紋的擴展方向 (Zhang H 等 2021).

4.3 彈塑性斷裂

對于常用工程材料,裂紋尖端附近通常存在塑性區(qū).針對材料的塑性變形響應(yīng),研究者們相繼提出了彈塑性材料的近場動力學(xué)模型,分析了載荷作用下彈塑性結(jié)構(gòu)的變形狀態(tài) (Mitchell 2011,Rahaman et al.2017,Javili et al.2021,Mousavi et al.2021).對于彈塑性材料的斷裂問題,Madenci 和 Oterkus (2016) 系統(tǒng)性地建立了彈塑性材料的常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)模型.模型引入von-Mises 屈服準則和各向同性強化模型,利用近場動力學(xué)等效應(yīng)力和等效塑性伸長率構(gòu)建了非局部塑性屈服面,分析了裂紋尖端的等效塑性伸長率和等效應(yīng)力;同時考慮涉及彈塑性變形的臨界能量密度斷鍵準則,并利用臨界斷裂參數(shù)與非局部J 積分,研究了彈塑性材料的裂紋萌生和擴展以及塑性區(qū)演變 (見圖5).為進一步分析裂紋尖端塑性區(qū),Zhou 等 (2018) 研究了單軸拉伸載荷下不同傾斜角度裂紋尖端的塑性區(qū)大小和形狀,采用SSY 小范圍屈服條件和Mohr-Coulomb 屈服準則建立了近場動力學(xué)彈塑性模型,得到了與理論解相近的塑性區(qū)形狀.Asgari 和 Kouchakzadeh (2019) 定義了彈塑性材料的近場動力學(xué)von-Mises 等效塑性應(yīng)力和等效塑性應(yīng)變,分析了中心裂紋尖端的塑性區(qū)變形狀態(tài),并與有限元結(jié)果比較,驗證了塑性應(yīng)力和應(yīng)變定義的準確性.此外,Liu Z M 等 (2020) 與 Zhou 等 (2021) 分別利用非線性強化條件以及Drucker-Prager 屈服準則拓展了常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)塑性模型,并分析了相應(yīng)塑性材料的裂紋尖端變形情況.

圖5 位移載荷下彈塑性材料斷裂中的等效應(yīng)力分布 (Madenci &Oterkus 2016).(a) u=0.002 5 m,(b) u=0.003 m;(c) u=0.003 5 m,(d) u=0.004 m.

總的來說,現(xiàn)有關(guān)于彈塑性材料的近場動力學(xué)研究主要集中于非局部本構(gòu)模型的構(gòu)建,關(guān)于近場動力學(xué)彈塑性鍵失效準則,以及斷裂量化分析的研究仍然較少.其中由于鍵伸長與鍵內(nèi)力的非線性和歷史相關(guān)性,經(jīng)典基于臨界伸長率的斷鍵準則已不再適用于彈塑性材料,臨界能量密度斷鍵準則被研究者們廣泛采用 (Madenci &Oterkus 2016).同時關(guān)于彈塑性斷裂的研究主要為定性的裂紋擴展云圖分析,對于如臨界載荷、力-位移曲線、能量變化、裂紋速度等量化參數(shù)的分析仍然缺乏.

4.4 黏聚力模型

黏聚力模型可以處理裂紋尖端由塑性或微裂紋引起的內(nèi)力變形非線性關(guān)系,是界面脫粘、準脆性斷裂以及裂紋萌生等問題的重要分析手段.

Yang 等 (2018) 建立了鍵基近場動力學(xué)的離散黏聚力模型,如圖6所示,采用非線性拉伸軟化曲線表征鍵內(nèi)力與鍵伸長的關(guān)系,同時考慮了單軸拉伸強度、彈性模型和斷裂韌度材料參數(shù),量化研究了混凝土I 型裂紋的準脆性斷裂問題.之后,在此基礎(chǔ)上理論推導(dǎo)了非局部黏聚力模型的伸長率極限等參數(shù),引入近場動力學(xué)與有限元的耦合模型,并與傳統(tǒng)黏聚力模型結(jié)果比較,驗證了模型的有效性 (Yang et al.2020).為分析準脆性材料的剪切主導(dǎo)型斷裂問題,Yang 等(2021) 提出了混合型斷裂問題的非局部黏聚力模型,分解鍵能量密度為體積和剪切變形的部分,給出了關(guān)于鍵伸長率和體積膨脹能量的混合型失效準則,并利用隱式算法分析了拉伸軟化突跳等物理非線性現(xiàn)象.另外,Rossi 等 (2019) 在鍵基近場動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上,提出了雙線性的本構(gòu)力函數(shù),研究了準脆性材料的損傷演化過程.Tong 等 (2020a,2020b) 提出近場動力學(xué)鍵損傷概念,利用衰減函數(shù)表征峰值力之后的鍵殘余作用力,并引入自適應(yīng)有限元耦合模型,建立了粘性材料的近場動力學(xué)漸進損傷模型,并分析了混凝土結(jié)構(gòu)的漸進破壞過程.Gui 等 (2021)建立了復(fù)合材料層壓板的近場動力學(xué)黏聚力模型,采用雙線性粘性定律和Benzeggagh-Kenane (B-K)斷裂準則,分析了混合型載荷作用下的界面脫粘問題.

圖6 傳統(tǒng)斷裂力學(xué)和近場動力學(xué)粘聚力模型.(a) 傳統(tǒng)斷裂力學(xué)粘聚力模型,(b) 近場動力學(xué)粘聚力模型 (Yang et al.2018).

4.5 動態(tài)斷裂問題

近場動力學(xué)理論提出以來,被廣泛地應(yīng)用于動態(tài)斷裂問題.Diehl 等 (2019) 與 Isiet 等(2021) 分別綜述性介紹了基準動態(tài)試驗以及沖擊載荷下材料動態(tài)破壞的近場動力學(xué)研究.代表性的,Silling (2003) 首次利用近場動力學(xué)模型分析了Kalthoff-Winkler 動態(tài)斷裂試驗;Ha 和Bobaru (2010,2011) 研究了裂紋的動態(tài)擴展和分叉 (如圖7);Agwai 和 Guven (2011) 利用鍵基近場動力學(xué)模擬了動態(tài)裂紋擴展問題,并對比了擴展有限元以及黏聚力模型結(jié)果.之后,近場動力學(xué)模型被應(yīng)用到不同材料和結(jié)構(gòu)的動態(tài)斷裂分析,包括各向異性材料 (Hu W K et al.2012b,Ghajari et al.2014),功能梯度材料 (Cheng et al.2015,Ozdemir et al.2020),混凝土 (Wu P et al.2021,Wu &Huang 2022) 和巖石 (Zhou &Wang 2016,Zhou et al.2016) 等.依據(jù)求解方式,近場動力學(xué)的動態(tài)斷裂分析研究主要可分為兩類.其中主要的一類,利用臨界伸長率或臨界能量密度近場動力學(xué)斷鍵準則,模擬動態(tài)載荷作用下裂紋萌生、擴展以及分叉等現(xiàn)象,分析裂紋速度、臨界載荷以及能量分布等斷裂參數(shù).另一類,參照經(jīng)典斷裂力學(xué)理論,研究者們利用近場動力學(xué)J積分等方法求解了裂紋尖端的斷裂力學(xué)參數(shù),并研究動載荷下靜止裂紋和擴展裂紋的動態(tài)應(yīng)力強度因子 (Panchadhara &Gordon 2016,Hattori et al.2018,Imachi et al.2018).

圖7 應(yīng)力載荷σ=23 MPa 下不同時刻裂紋動態(tài)擴展和分叉以及應(yīng)變能密度分布 (Ha &Bobaru 2011).

嚴格來說,動態(tài)斷裂是一個涉及慣性效應(yīng)和材料非線性的問題,材料的動態(tài)斷裂韌度等參數(shù)往往與加載速率、裂紋的擴展速度等因素有關(guān).考慮動態(tài)斷裂問題的慣性效應(yīng),研究者們建立了變形速率敏感的近場動力學(xué)模型.Silling 和 Askari (2005) 首次提出了隨時間變化的實時臨界伸長率概念.Kilic (2008) 定義了近場動力學(xué)鍵伸長變化率的形式,并建立了伸長變化率敏感的微彈性本構(gòu)力模型.在伸長變化率定義的基礎(chǔ)上,Sun 和 Huang (2016) 分析了層合復(fù)合材料的沖擊破壞問題;Chu 等 (2020) 與 Liu Y X 等 (2022) 采用Johnson-Holmquist (JH-2) 本構(gòu)建立了考慮材料損傷、變形率和變形歷史的鍵基近場動力學(xué)模型,并分析了陶瓷材料的動態(tài)斷裂行為.此外,研究者們分別利用Holmquist-Johnson-Cook (HJC) 混凝土模型、ZWT 粘彈性模型以及Johnson-Cook (JC) 彈塑性模型,建立了適用于混凝土、PMMA 和復(fù)合材料的變形速率敏感的近場動力學(xué)模型,并利用它們分析了材料的動態(tài)斷裂行為 (Wu L W et al.2020,2021;Zhan et al.2021).

此外,為提高動態(tài)斷裂問題的近場動力學(xué)計算效率,研究者們提出了不同類型的離散化和耦合模型,包括: 自適應(yīng)網(wǎng)格 (Dipasquale et al.2014,Shojaei et al.2018)、有限元近場動力學(xué)耦合模型 (Macek &Silling 2007,Han et al.2016,Ni et al.2018) 以及物質(zhì)點近場動力學(xué)耦合模型(Zeng et al.2022) 等.

4.6 材料界面斷裂

材料界面斷裂是一個涉及裂紋模態(tài)混合、擴展路徑選擇和裂紋面接觸的復(fù)雜問題.為表征材料界面,Seleson 等 (2013) 與 Alali 和 Gunzburger (2015) 分別建立了近場動力學(xué)非局部界面模型,理論分析了材料界面的收斂性和非局部擴散問題.針對材料界面的斷裂問題,Wang F 等(2014) 與 Zhang H 和 Qiao (2018c) 利用臨界伸長率的近場動力學(xué)斷鍵準則,分析了載荷作用下的材料界面脫粘問題.Zhang Y 和 Qiao (2019b) 提出了近場動力學(xué)界面接觸力模型,并采用臨界能量密度斷鍵準則分析了纖維拔出問題,模擬了界面裂紋起裂、沿界面擴展以及摩擦接觸的破壞過程.近期,Behera 等 (2021) 建立了粘彈性材料的非常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)模型,考慮了有厚度的膠接界面層,并利用臨界伸長率模型分析了單搭接和雙搭接膠接節(jié)點的界面失效和破壞形式.此后,該模型被拓展至常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)模型 (Anh et al.2022).對于界面裂紋路徑選擇問題,Qin 等 (2021) 利用鍵基近場動力學(xué)模型研究了各向異性巖石界面層的水利壓裂問題,模擬了巖石裂紋的橫跨界面、彎折、分叉和止裂等斷裂行為.Zhang H 等 (2022) 利用近場動力學(xué)模型分析了雙彈性材料界面的斷裂問題.如圖8所示,推導(dǎo)了常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)材料界面的力傳遞形式,采用近場動力學(xué)虛擬裂紋閉合技術(shù)求解了界面裂紋的能量釋放率和模態(tài)混合度;分類定義跨界面鍵與母材內(nèi)部鍵,提出模態(tài)混合度相關(guān)的界面鍵失效準則,并建立了界面裂紋路徑選擇的鍵失效競爭模型,分析了界面裂紋沿界面或折出界面的路徑競爭問題.然而該模型僅可用于分析彈性材料界面,對于具體的工程結(jié)構(gòu)問題,如鋼筋混凝土界面、金屬陶瓷界面和熱障涂層界面等,涉及材料彈塑性變形響應(yīng)和熱耦合效應(yīng),仍需進一步的研究.

圖8 雙彈性材料界面的近場動力學(xué)模型 (Zhang H et al.2022).(a) 材料界面非局部力傳遞,(b) 近場動力學(xué)跨界面鍵與母材內(nèi)部鍵.

4.7 疲勞裂紋擴展

疲勞裂紋擴展規(guī)律是斷裂力學(xué)研究的重要領(lǐng)域,對工程結(jié)構(gòu)設(shè)計具有重要指導(dǎo)作用.Oterkus 等 (2010) 首次給出了循環(huán)載荷下鍵基近場動力學(xué)模型的疲勞定義,分析了材料裂紋擴展階段的疲勞壽命.此后,Silling 和 Askari (2014) 系統(tǒng)性地建立了近場動力學(xué)的疲勞模型,為疲勞裂紋的分析奠定了基礎(chǔ).如圖9所示,在該模型中,定義了循環(huán)載荷下近場動力學(xué)鍵的循環(huán)應(yīng)變范圍,并建立了不同疲勞斷裂階段的鍵壽命模型.在疲勞裂紋萌生階段,開展不同循環(huán)應(yīng)變的疲勞數(shù)值試驗,對比S-N 疲勞實驗曲線,提取萌生階段近場動力學(xué)疲勞參數(shù);在裂紋擴展階段,類比疲勞裂紋擴展率Pairs 準則,建立近場動力學(xué)疲勞裂紋擴展模型.利用該近場動力學(xué)疲勞模型,Jung 和 Seok (2016) 與 Zhu 等 (2021) 分別研究了循環(huán)載荷下層合非均質(zhì)材料與多晶材料的疲勞斷裂問題;Hong 等 (2021) 與 Ma 等 (2022) 分析了角焊縫接頭和鐵軌中的疲勞裂紋萌生和擴展.在Silling 的疲勞模型基礎(chǔ)上,Zhang G F 等 (2016) 利用臨界損傷因子追蹤裂紋路徑,提高了計算效率和穩(wěn)定性,預(yù)測了均質(zhì)材料以及兩相復(fù)合材料的疲勞裂紋演化過程.Jung 和 Seok(2017) 引入了修正的Paris 準則以及近場動力學(xué)J 積分,求解了I-II 混合型裂紋的疲勞斷裂.Liu B C 等 (2020) 建立了近場動力學(xué)疲勞損傷累積模型,研究了相界面對TC18 鈦合金疲勞裂紋偏轉(zhuǎn)的影響.此外,Hu 和 Madenci (2017) 利用S-N 疲勞曲線修正材料的臨界能量釋放率,分析了帶圓孔復(fù)合材料層合板的疲勞破壞.Nguyen 等 (2021) 提出了一種基于鍵能量密度的近場動力學(xué)疲勞模型,分析了疲勞載荷下混合型裂紋的萌生和擴展.Bang 等 (2021) 分別利用數(shù)值和解析方法以及疲勞試驗數(shù)據(jù)求解了近場動力學(xué)疲勞模型參數(shù).對于低周疲勞問題,Li 等 (2022) 提出了彈塑性材料的非常規(guī)態(tài)近場動力學(xué)疲勞模型,采用了關(guān)聯(lián)流動法則與混合硬化模型,研究了低循環(huán)載荷下的滯后回線以及疲勞斷裂.

圖9 近場動力學(xué)疲勞模型 (Silling &Askari 2014).(a) 裂紋尖端近場動力學(xué)鍵,(b) 近場動力學(xué)疲勞模型參數(shù)校正.

總的來說,近場動力學(xué)在斷裂力學(xué)多個領(lǐng)域都取得了不錯的進展,也面臨了一些挑戰(zhàn).同時,涉及多尺度和多物理場耦合作用的斷裂問題為力學(xué)界的前沿課題,近場動力學(xué)在多尺度和多物理場耦合問題上也取得了一些研究成果.喬丕忠等 (2017) 和顧鑫等 (2019) 綜述性介紹了近場動力學(xué)在多尺度和多物理場耦合問題的研究進展.

5 結(jié) 論

近場動力學(xué)采用非局部積分計算節(jié)點內(nèi)力,避免了非連續(xù)區(qū)局部空間導(dǎo)數(shù);利用了統(tǒng)一數(shù)學(xué)框架描述空間連續(xù)與非連續(xù),避免了非連續(xù)條件處理,因此可自然模擬固體結(jié)構(gòu)的斷裂損傷問題.本文系統(tǒng)總結(jié)了近場動力學(xué)的彈性本構(gòu)力模型和鍵失效模型,詳細介紹了近場動力學(xué)在斷裂參數(shù)求解、混合型裂紋、彈塑性斷裂、黏聚力模型、動態(tài)斷裂、材料界面斷裂和疲勞裂紋擴展方面的研究進展.

發(fā)展至今,近場動力學(xué)在斷裂力學(xué)問題上充分展現(xiàn)了其優(yōu)勢.隨著研究的深入,近場動力學(xué)研究從最初的線彈性、各向同性材料、I 型裂紋的定性分析逐漸拓展到塑性、各向異性材料、混合型裂紋的定量分析,此外如界面斷裂、疲勞裂紋擴展等經(jīng)典斷裂問題的近場動力學(xué)研究近年來受到更多關(guān)注.同時,仍有諸多斷裂問題需要進一步研究,如: 混合型裂紋的量化分析、彈塑性材料的失效模型、三維裂紋的表征和模擬、夾雜結(jié)構(gòu)的斷裂分析以及裂紋尖端多尺度微觀表征等.

致 謝國家自然科學(xué)基金 (12172192,11972224,12102226)、中國博士后科學(xué)基金 (2021M691798)資助項目.