點(diǎn)動(dòng)成線,點(diǎn)動(dòng)帶面,點(diǎn)動(dòng)構(gòu)體
——空間中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題

王 飛

(北京師范大學(xué)遵義附屬學(xué)校)

空間立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題是創(chuàng)新情境背景下的一類特殊問(wèn)題,主要是通過(guò)空間動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化,結(jié)合一些特殊條件的限制,由此形成點(diǎn)動(dòng)成線,點(diǎn)動(dòng)帶面,點(diǎn)動(dòng)構(gòu)體,從而形成與軌跡、長(zhǎng)度、角度、面積、體積等要素相關(guān)的問(wèn)題.破解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是合理審題,抓住運(yùn)動(dòng)過(guò)程中一些“動(dòng)”的要素與“不動(dòng)”的要素,認(rèn)真分析其變化特點(diǎn),尋找不變的靜態(tài)因素與改變的動(dòng)態(tài)因素之間的關(guān)系,從靜態(tài)因素中,尋找解決問(wèn)題的突破口.

1 點(diǎn)動(dòng)成線

點(diǎn)動(dòng)成線問(wèn)題,往往是由動(dòng)點(diǎn)在空間幾何體的表面運(yùn)動(dòng)時(shí)所形成的軌跡長(zhǎng)度或截面的周長(zhǎng)等問(wèn)題,結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,準(zhǔn)確地確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡或截面的幾何圖形是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

例1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M為棱C1D1的中點(diǎn),點(diǎn)N在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)(N不與B1重合),且B1N⊥AM,則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡長(zhǎng)度為( ).

解析如圖1所示,連接BC1,A1M,則AM在平面A1B1C1D1和平面BCC1B1上的投影分別為A1M,BC1.

圖1

分別取A1D1,DD1的中點(diǎn)E,F,連接B1E,EF,FC,CB1,因?yàn)镋是A1D1的中點(diǎn),F是DD1的中點(diǎn),所以EF∥B1C,又EB1＝FC,所以四邊形B1EFC是等腰梯形.

因?yàn)镋是A1D1的中點(diǎn),M為C1D1的中點(diǎn),底面A1B1C1D1是正方形,所以B1E⊥A1M,B1E⊥AA1,AA1∩A1M＝A1,所以B1E⊥平面AA1M,而AM?平面AA1M,所以AM⊥B1E.

因?yàn)锽C1⊥B1C,所以AM⊥B1C,又因?yàn)锽1E∩B1C＝B1,所以AM⊥平面B1EFC,而點(diǎn)N在正方體的表面上運(yùn)動(dòng),且B1N⊥AM,故動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為等腰梯形B1EFC的邊界.

點(diǎn)評(píng)解決此類點(diǎn)動(dòng)成線問(wèn)題,關(guān)鍵就是確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡或截面的幾何圖形,利用空間圖形的特征以及限制條件,將“三維”空間降維轉(zhuǎn)化到“二維”平面上,在“二維”平面上尋覓動(dòng)點(diǎn)的軌跡或截面的幾何圖形等,為破解問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

2 點(diǎn)動(dòng)帶面

點(diǎn)動(dòng)帶面問(wèn)題,往往是由動(dòng)點(diǎn)在空間幾何體的線段或平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)所確定的滿足條件的截面問(wèn)題,往往同直線與平面垂直、平行有關(guān),準(zhǔn)確地確定與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)聯(lián)的截面是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

例2在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是線段BC1上的點(diǎn)(包括端點(diǎn)),過(guò)點(diǎn)A1的平面α與直線PD垂直.當(dāng)點(diǎn)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),平面α截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面面積的最小值是( ).

解析如圖2 所示,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B處時(shí),連接A1C1,AC,易知BD⊥平面ACC1A1,平 面ACC1A1即為平面α,則平面α截正方體ABCDA1B1C1D1所得的截面面積為,此時(shí)截面的面積最大.

圖2

如圖3所示,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C1重合時(shí),連接A1B,D1C,DC1⊥平面A1D1CB,平面A1D1CB即為平面α,則平面α截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面面積為,此時(shí)截面的面積最大.

圖3

當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B向點(diǎn)C1運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)平面α與C1D1的交點(diǎn)為F,與AB的交點(diǎn)為E,連接A1F,FC,CE,EA1,EF,A1C,平面α截正方體ABCDA1B1C1D1所得的截面為四邊形A1ECF.

圖4

綜上,平面α截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面面積的最小值是,故選C.

點(diǎn)評(píng)解決此類“點(diǎn)動(dòng)帶面”問(wèn)題,關(guān)鍵是確定與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)聯(lián)的截面的位置關(guān)系、形狀等相關(guān)問(wèn)題,利用直線與平面垂直、平行等相關(guān)的定理、性質(zhì)加以分析與推理,由此確定滿足條件的截面,為問(wèn)題的求解提供條件.

3 點(diǎn)動(dòng)構(gòu)體

點(diǎn)動(dòng)構(gòu)體問(wèn)題,往往是由動(dòng)點(diǎn)在空間幾何體的線段或表面上運(yùn)動(dòng)時(shí)所確定的直線、截面與其他固定要素所組成的問(wèn)題,延伸出空間幾何體的表面積、體積以及角度等相關(guān)問(wèn)題,準(zhǔn)確地確定滿足條件的空間幾何體是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

例3已知正三棱柱ABC-A1B1C1的體積為,D是B1C1的中點(diǎn),點(diǎn)P是線段A1D上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)BC且與AP垂直的平面α與AP交于點(diǎn)E,則三棱錐P-BCE的體積的最小值為( ).

圖5

點(diǎn)評(píng)解決此類點(diǎn)動(dòng)構(gòu)體問(wèn)題,關(guān)鍵是確定與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的空間幾何體的形狀與特征,利用空間幾何體的定義、性質(zhì)、公式等進(jìn)行推理,確定與之對(duì)應(yīng)的空間幾何體,為問(wèn)題的進(jìn)一步求解指明方向.

空間立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題常常隱藏動(dòng)點(diǎn)所處的幾何模型,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,挖掘出幾何模型.同時(shí)在解決問(wèn)題過(guò)程中,要善于發(fā)揮空間想象能力以及邏輯推理能力,做到“胸有圖形”,“動(dòng)”中尋“寶”,借助邏輯推理進(jìn)行定性分析,或引入變化參數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算,實(shí)現(xiàn)“動(dòng)”與“靜”的和諧統(tǒng)一與完善轉(zhuǎn)化.

(完)