幾何推理,坐標(biāo)運(yùn)算
——一道動(dòng)態(tài)立體幾何題的探究

周 波

(山東省濟(jì)南市章丘區(qū)第五中學(xué))

周 波

(山東省濟(jì)南市章丘區(qū)第五中學(xué))

多選題是新高考中體現(xiàn)“破定勢,考真功,分層次”的一種創(chuàng)新題型,可以很好地考查學(xué)生“四基”的落實(shí)情況,區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)能力,備受各方關(guān)注.而涉及立體幾何知識(shí)的多選題,更是其中常見的基礎(chǔ)題之一.多選題的創(chuàng)新設(shè)置,可以很好地考查立體幾何中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、長度或距離、夾角以及面積、體積等問題,以及動(dòng)點(diǎn)、折疊、旋轉(zhuǎn)等動(dòng)態(tài)問題.

1 問題呈現(xiàn)

題目(多選題)如圖1 所示,已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是邊長為4 的正方形,CG＝m,點(diǎn)M為CG的中點(diǎn),點(diǎn)P為底面EFGH上的動(dòng)點(diǎn),則( ).

圖1

A.當(dāng)m＝4時(shí),存在點(diǎn)P滿足PA＋PM＝8

B.當(dāng)m＝4時(shí),存在唯一的點(diǎn)P滿足∠APM＝

C.當(dāng)m＝4 時(shí),滿足BP⊥AM的點(diǎn)P的軌跡長度為

D.當(dāng)m＝時(shí),滿足∠APM＝的點(diǎn)P的軌跡長度為

分析此題是一道立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題,以長方體為背景進(jìn)行巧妙設(shè)置,常見的解題思路有兩種:

1)建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法進(jìn)行求解,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力;

2)利用幾何法,通過綜合分析處理與求解,考查推理論證能力.

解法1(坐標(biāo)法)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以射線DA,DC,DH所在直線為x軸,y軸,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖2所示,則D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),M(0,4,),設(shè)P(x,y,m).

圖2

對于選項(xiàng)A,當(dāng)m＝4時(shí),設(shè)點(diǎn)M(0,4,2)關(guān)于平面EFGH的對稱點(diǎn)為M1,則M1(0,4,6),故|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PM1|≥,故選項(xiàng)A 錯(cuò)誤.

綜上,選BCD.

點(diǎn)評(píng)坐標(biāo)法是大家比較熟悉的一種方法,借助長方體這個(gè)特殊立體幾何模型,合理構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,通過確定點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)合數(shù)量積的應(yīng)用來分析與轉(zhuǎn)化,實(shí)現(xiàn)問題的坐標(biāo)代數(shù)化處理.

解法2(幾何法)對于選項(xiàng)A,當(dāng)m＝4時(shí),設(shè)點(diǎn)M關(guān)于平面EFGH的對稱點(diǎn)為M1,則CM1＝6,所以PA＋PM＝PA＋PM1≥AM1＝,故選項(xiàng)A 錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng) B,當(dāng)m＝4 時(shí),可得AM＝＝6,由于線段AM的中點(diǎn)O到平面EFGH的距離為3,所以以點(diǎn)O為球心,3為半徑的球與平面EFGH相切于正方形EFGH的中心O′,即存在唯一的點(diǎn)P(此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O′重合)滿足∠APM＝,故選項(xiàng)B正確.

綜上,選BCD.

點(diǎn)評(píng)幾何法是解決立體幾何問題中的一種常用方法,通過點(diǎn)線面的位置關(guān)系以及對應(yīng)邊、角等的大小關(guān)系,利用立體幾何、平面幾何的相關(guān)知識(shí)加以分析與處理,合理巧妙解決對應(yīng)的立體幾何問題,對空間想象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面的能力要求較高.

2 變式拓展

變式1(多選題)如圖3所示,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,SA＝AB,O,P分別是AC,SC的中點(diǎn),M是棱SD上的動(dòng)點(diǎn),則( ).

圖3

A.OM⊥AP

B.存在點(diǎn)M,使得OM∥平面SBC

C.存在點(diǎn)M,使得直線OM與AB所成角為30°

D.點(diǎn)M到平面ABCD與平面SAB的距離之和為定值

答案ABD.

變式2(多選題)如圖4所示,已知正方體ABCDEFGH的棱長為2,M為棱CG的中點(diǎn),P為底面EFGH上的動(dòng)點(diǎn),則( ).

圖4

A.存在點(diǎn)P,使得AP＋PM＝4

B.存在唯一點(diǎn)P,使得AP⊥PM

C.當(dāng)AM⊥BP時(shí),點(diǎn)P的軌跡長度為

D.當(dāng)點(diǎn)P為底面EFGH的中心時(shí),三棱錐P-ABM的外接球體積為

答案BCD.

(完)