OFDM 系統(tǒng)中基于最優(yōu)閾值A(chǔ)CE 的PAPR 抑制

吳 群，周 曉，王成優(yōu)

山東大學(xué)機電與信息工程學(xué)院，威海 264209

正交頻分復(fù)用(Orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)技術(shù)作為5G 移動通信的關(guān)鍵技術(shù)之一，因其優(yōu)越的性能和較高的頻譜效率[1]在現(xiàn)代無線通信系統(tǒng)中得到了普遍應(yīng)用[2].但其也存在不足之處，例如具有較高的峰均功率比[3-4](Peakto-average power ratio,PAPR)，尤其是在子載波數(shù)較多的情況下[5].OFDM 調(diào)制是將子載波信號在時域進行疊加，若子載波的相位相同，則會產(chǎn)生較高的時域峰值，從而導(dǎo)致PAPR 過高，過高的PAPR 會使發(fā)射機的功率放大器工作在非線性區(qū)域，引起信號互調(diào)干擾[6].目前，OFDM 系統(tǒng)中降低PAPR 的方法有：選擇映射(Selected mapping,SLM)法[7-8]，部分傳輸序列(Partial transfer sequence,PTS)法[9-10]和子載波預(yù)留(Tone reservation,TR)法[11-12].如今5G 帶給人們生活便利的同時面臨著頻譜資源匱乏的問題[13]，而SLM 法需要將擾碼序列告知接收端才可恢復(fù)信號，PTS 法要向接收端發(fā)送分塊方式和相位因子信息，TR 法只能選擇一部分子載波傳輸數(shù)據(jù)信息，其他子載波插入預(yù)定的冗余數(shù)據(jù)，這都會額外增加系統(tǒng)的開銷，浪費頻帶資源.隨著深度學(xué)習(xí)的廣泛應(yīng)用[14]，也出現(xiàn)了一些基于深度學(xué)習(xí)的抑制PAPR 方法的研究[15-16]，但該類方法需要耗費大量時間訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)模型[17].動態(tài)星座圖擴展(Active constellation extension,ACE)法[18-22]不會額外占用帶寬，且操作方便，是一種直接有效降低PAPR 的方法.

ACE 是將星座空間中最外層的星座點動態(tài)地向外擴展，增大該星座點與其他星座點之間的距離，從而降低信號的PAPR.該方法的缺點是信號的平均功率會因星座點之間距離的增大而變大，但由于其實現(xiàn)簡單且在接收端不需要進行額外操作，因此被廣泛應(yīng)用于降低信號的PAPR.Jones等[18]提出一種求次優(yōu)解的凸集映射(Projection onto convex sets,POCS)方法，用來解決使用ACE方法降低信號PAPR 時二次優(yōu)化復(fù)雜度較高的問題，POCS 算法能夠絕對收斂，但收斂速度較慢.在POCS 算法的基礎(chǔ)上，Samayoa 等[19]提出了修正后的ACE 算法，在迭代時對擴展之后的頻域信號與初始信號之差引入一個修正因子進行優(yōu)化.針對POCS 算法收斂速度慢的問題，Krongold 等[20]提出了智能梯度投影(Smart gradient projection,SGP)方法，SGP 算法比POCS 算法收斂速度快且簡化了迭代，在一定程度上降低了計算復(fù)雜度.Li 等[21]提出了一種基于ACE 和聯(lián)合時空選擇性映射的低復(fù)雜度SLM 方法，用于降低空時分組碼多輸入多輸出OFDM 系統(tǒng)的PAPR.Liu 等[22]提出了一種凸集到凸集的ACE 方案用來優(yōu)化迭代過程，從而降低計算復(fù)雜度.

基于ACE 抑制PAPR 的算法主要有兩個部分：限幅和星座擴展.限幅閾值的大小決定了限幅后信號的優(yōu)劣，若取值過大，則無法有效抑制PAPR；若取值過小，又會使信號引入過多的限幅噪聲，從而導(dǎo)致信號失真嚴重.現(xiàn)有的ACE 算法大多是設(shè)置固定的閾值[18-20]，但迭代后信號的統(tǒng)計特性會發(fā)生改變，因此設(shè)置固定閾值在一定程度上限制了抑制PAPR 的性能.針對這一問題本文提出了最優(yōu)閾值A(chǔ)CE(Optimal threshold ACE,OTACE)方法，在每次迭代時動態(tài)改變信號限幅閾值，構(gòu)建一個優(yōu)化問題并求解得到可以取得的最小閾值，在提高ACE 算法降低信號PAPR 的能力的同時，盡可能少地提升信號的平均功率.以正交相移鍵控(Quadrature phase shift keying,QPSK)調(diào)制為例，采用互補累計分布函數(shù)(Complementary cumulative distribution function,CCDF)來描述系統(tǒng)PAPR 的分布概率，在單輸入單輸出OFDM(Single input single output-OFDM,SISO-OFDM)系統(tǒng)中針對使用OTACE算法前后對系統(tǒng)誤碼率(Bit error rate,BER)的影響進行仿真實驗，并采用最小二乘(Least square,LS)算法[23]和線性最小均方誤差(Linear minimum mean square error,LMMSE)算法[24]進行信道估計，實驗結(jié)果表明該算法能夠在有效抑制OFDM 系統(tǒng)PAPR的同時提高系統(tǒng)的BER 性能.

1 OFDM 系統(tǒng)模型

帶有抑制PAPR 模塊的OFDM 系統(tǒng)框圖如圖1所示.在發(fā)送端，先將輸入比特流調(diào)制為不同的復(fù)數(shù)符號，然后運用ACE 算法抑制調(diào)制信號的PAPR，再對信號進行串并轉(zhuǎn)換(Serial to parallel,S/P)，插入導(dǎo)頻子載波，經(jīng)快速傅里葉逆變換(Inverse fast Fourier transform,IFFT)后，在每一個OFDM 符號前添加循環(huán)前綴(Cyclic prefix,CP)以抑制符號間干擾，最后對信號進行并串變換(Parallel to serial,P/S)，發(fā)送到具有加性高斯白噪聲(Additive white Gaussian noise,AWGN)的多徑信道中.在接收端，接收到的信號經(jīng)S/P，去除CP，快速傅里葉變換(Fast Fourier transform,FFT)后，提取導(dǎo)頻用于信道估計，根據(jù)估計出的信道信息對接收符號進行均衡，最后解調(diào)得到輸出比特流.

圖1 具有PAPR 抑制的OFDM 系統(tǒng)模型Fig.1 OFDM system model with PAPR reduction

假設(shè)一個OFDM 系統(tǒng)有N個子載波，調(diào)制到第k個子載波上的復(fù)數(shù)符號為Xk，N個子載波上的信號相加得到OFDM 調(diào)制后的時域信號為：

其中，j 表示虛數(shù)單位，n表示時域的第n個采樣點.信號的PAPR 可表示成[4]：

其中，max{·}表示取最大值運算，E{·}表示取均值運算.

2 傳統(tǒng)ACE 算法

2.1 POCS 算法

POCS 算法可看成在兩個凸集C1和C2之間通過不斷迭代尋找最優(yōu)解的過程.第i次迭代的算法流程圖如圖2 所示.

圖2 POCS 算法流程圖Fig.2 Specific process of POCS algorithm

集合C1的作用可看成圖2 中的限幅和FFT 變換.限幅是將所有大于閾值A(chǔ)的信號幅值都縮小到A，同時相位保持不變，即[19]：

其中，x(i)(n)=|x(i)(n)|ejθ(n)，θ(n)表示輻角，x(i)(n)和分別表示第i次迭代時限幅前、后的第n個OFDM 符號.在對進行FFT 運算時，可令[19]：

集合C2的作用可看成圖2 中的星座擴展和IFFT 變換.星座擴展是將所有內(nèi)部星座點還原到原始位置，外部星座點移動到可擴展區(qū)域內(nèi).擴展后的信號經(jīng)IFFT 變換后再次映射到C1進行限幅，直至達到最大迭代次數(shù)或所有時域信號的幅值都小于閾值A(chǔ)時停止.

2.2 SGP 算法

POCS 算法收斂速度較慢，SGP 算法通過設(shè)置加權(quán)因子 μ對削掉的信號進行縮放，從而加快收斂速度，即[20]：

獲取 μ的具體步驟[20]為：

(1) 計算時域信號x的幅度最大值及其對應(yīng)位置，即：

其中，式(8)表示找到使|x(n)|取最大值的n.

(2) 計算c(n)在x(n)上的投影cp(n)，即：

其中，Re(·)表示取實部，(·)*表示取共軛.

(3) 根據(jù)cp(n)計算加權(quán)因子集合β(n)，即：

(4) 選擇最小的β(n)作為加權(quán)因子 μ，若μ小于零，則停止算法.

3 OTACE 算法

由于信號的統(tǒng)計特性在迭代后會發(fā)生改變，使用同一個限幅閾值會降低抑制PAPR 的能力，為此本文提出一種在迭代時尋找最優(yōu)閾值的OTACE方法，構(gòu)建一個關(guān)于閾值A(chǔ)的函數(shù)，通過求解該函數(shù)得到每次迭代時所需的最優(yōu)閾值.目標函數(shù)可表示成：

其中，Aopt表示A的最優(yōu)解；E{·}表示取均值運算；z(i)(n)表示一個復(fù)數(shù)，且有：

求解Aopt的具體過程如算法1 所示.

對信號進行限幅的目的是消除信號的尖峰，所以閾值A(chǔ)可能取到的最大值是信號的峰值，若閾值小于信號的均值，則信號會因削波過多而導(dǎo)致嚴重失真，因此A可能取到的最小值是信號的均值.OTACE 算法在每次迭代時選擇最小的A作為閾值，能夠盡可能較少地提升傳輸信號的平均功率.

4 仿真結(jié)果與分析

4.1 評價指標

本文采用CCDF 曲線描述系統(tǒng)抑制PAPR 的能力.令N表示系統(tǒng)的子載波數(shù)，T表示某一確定的門限PAPR 值，rPAPR表示信號的PAPR，P[rPAPR(sk)＞T]表示第k個符號sk的PAPR 大于T的概率，則CCDF 可定義為[22]：

采用BER 曲線描述系統(tǒng)的誤碼率性能，BER可表示為：

其中，NE為錯誤比特數(shù)，NT為發(fā)送比特數(shù).

4.2 CCDF 性能分析

圖3 給出了在N=256時OTACE 算法在不同迭代次數(shù)下的CCDF 曲線，從圖3 可知，迭代次數(shù)越多，抑制PAPR 的性能越好，但運算所需時間也會變長.通過MATLAB 擬合得到PAPR 增益gPAPR與迭代次數(shù)i之間的函數(shù)關(guān)系大致可表示為：

圖3 不同迭代次數(shù)下的CCDF 曲線Fig.3 CCDF curves under different iteration times

由式(16)可知，gPAPR是關(guān)于i的單調(diào)遞減函數(shù)，且當i＞7時，gPAPR＜0.2，PAPR 增益增長得尤為緩慢，權(quán)衡程序運行時間與PAPR 增益，本文選定迭代次數(shù)為7.

對使用OTACE、POCS 和SGP 抑制PAPR 的效果進行仿真實驗，采用QPSK 調(diào)制方式，仿真的OFDM 符號數(shù)為5000，子載波數(shù)N=256、512、1024和2048 時的CCDF 曲線仿真結(jié)果分別如圖4(a)～(d)所示.

當pCCDF=10-2時，對比POCS 和SGP 算法，在圖4(a)中，OTACE 的PAPR 增益分別為5.41 dB 和3.1 dB，圖4(b)中，OTACE 的PAPR 增益分別為5.54 dB和3.23 dB，圖4(c)中，OTACE 分別獲得5.66 dB 和3.29 dB 的PAPR 增益，圖4(d)中，OTACE 分別獲得5.74 dB 和3.4 dB 的PAPR 增益.

圖4 不同子載波數(shù)下的CCDF 曲線.(a) N=256;(b) N=512;(c) N=1024;(d)N=2048Fig.4 CCDF curves under different subcarriers: (a) N=256;(b) N=512;(c) N=1024;(d)N=2048

4.3 BER 性能分析

將OTACE 算法用于OFDM 系統(tǒng)，測試它對BER性能的影響，并與POCS 和SGP 算法進行對比.為了進行客觀、公正、全面的評價，以上三種算法中均采用LS 和LMMSE 算法進行信道估計.仿真實驗的具體參數(shù)設(shè)置見表1，在廣電1(China digital television test 1st,CDT 1)[25]、廣電6(China digital television test 6th,CDT 6)[26]和巴西A(Brazil A)[27]三種信道下的BER 性能曲線分別如圖5、圖6 和圖7所示，其中圖5、圖6 和圖7 中的LS-ORI 和LMMSEORI 曲線分別代表在發(fā)送端不進行PAPR 抑制的曲線.

表1 系統(tǒng)仿真設(shè)置Table 1 System simulation setting

從圖5、圖6 和圖7 可知，在信噪比(Signal-tonoise ratio,SNR)rSNR≤14 dB時，使用三種算法對BER 的影響不大，但當rSNR＞14 dB時，使用SGP 算法抑制PAPR 會降低系統(tǒng)的BER 性能，這是由于隨著rSNR的增大，信號的功率占比變大，系統(tǒng)中因限幅而引入的誤差增大，但SGP 算法不能改變限幅閾值，所以導(dǎo)致整個OFDM 系統(tǒng)的BER 性能下降.

圖6 動態(tài)CDT 6 信道下BER 性能曲線.(a) 20 Hz;(b) 60 HzFig.6 BER performance curves under the CDT 6 dynamic channel: (a) 20 Hz;(b) 60 Hz

采用LS 信道估計時，在圖5(a)的rBER=2.5×10-3處，采用OTACE 算法降低信號的PAPR 與采用POCS 降低信號的PAPR 和原信號相比，SNR 增益分別為1.27 dB 和0.90 dB；在圖5(b)的rBER=7×10-3處，采用OTACE 算法降低信號的PAPR 與采用POCS 降低信號的PAPR 和原信號相比，SNR 增益分別為1.23 dB 和0.92 dB.采用LMMSE 信道估計時，在圖5(a)的rBER=1.5×10-3處，采用OTACE算法降低信號的PAPR 與采用POCS 降低信號的PAPR 和原信號相比，SNR 增益分別為1.68 dB 和1.02 dB；在圖5(b)的rBER=5×10-3處，采用OTACE算法降低信號的PAPR 與采用POCS 降低信號的PAPR 和原信號相比，SNR 增益分別為1.32 dB 和0.90 dB.

圖5 動態(tài)CDT 1 信道下BER 性能曲線.(a) 20 Hz;(b) 60 HzFig.5 BER performance curves under the CDT 1 dynamic channel: (a) 20 Hz;(b) 60 Hz

由圖6 和圖7 可見，CDT 6 和Brazil A 信道的BER 性能與CDT 1 信道的結(jié)果類似，OTACE 算法比POCS 算法和不進行PAPR 抑制有微弱的SNR增益，這是因為OTACE 使用最優(yōu)的閾值對信號限幅，與其他算法相比，因限幅而引入的噪聲較少，且OTACE 在發(fā)送端增大了外部星座點與相鄰星座點之間的距離，一定程度上增強了信號的抗干擾能力.

圖7 動態(tài)Brazil A 信道下BER 性能曲線.(a) 20 Hz;(b) 60 HzFig.7 BER performance curves under the Brazil A dynamic channel: (a) 20 Hz;(b) 60 Hz

4.4 復(fù)雜度分析

分析一個N點OFDM 符號的計算復(fù)雜度，只考慮復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)加法操作.OTACE 算法主要包括：限幅、求加權(quán)因子μ、尋找最優(yōu)閾值、FFT 運算和IFFT 運算.限幅是比較信號星座點的幅值與閾值，復(fù)數(shù)加法復(fù)雜度為N；求μ，主要包括式(9)和式(10)，復(fù)數(shù)加法和復(fù)數(shù)乘法復(fù)雜度都為N；尋找最優(yōu)閾值的復(fù)數(shù)乘法復(fù)雜度為N；FFT 運算和IFFT 運算的復(fù)數(shù)加法復(fù)雜度都為Nlog2N，復(fù)數(shù)乘法復(fù)雜度都為(N/2)log2N.綜上，OTACE 的復(fù)數(shù)乘法復(fù)雜度為2N(1+log2N)，復(fù)數(shù)加法復(fù)雜度為N(2+log2N).為了進一步比較，表2 給出了OTACE 與文獻[18-22]的計算復(fù)雜度對比.由表2 可知，OTACE的復(fù)數(shù)乘法復(fù)雜度與改進的動態(tài)星座圖擴展(Modified active constellation extension,MACE)[19]和SGP[20]算法相等，略高于POCS[18]、動態(tài)星座擴展和聯(lián)合空時選擇性映射(Active constellation extension and joint space time-selective mapping,ASTSLM)[21]和凸集上的擴展投影(Extension projection onto the convex sets,EPOCS)[22]算法；OTACE 的復(fù)數(shù)加法復(fù)雜度高于POCS、MACE 和SGP 算法，低于AST-SLM 和EPOCS 算法.當子載波數(shù)N較大時，N相較于Nlog2N可忽略不計.因此整體而言，OTACE 的計算復(fù)雜度在可接受范圍內(nèi)，其主要優(yōu)點是在合理的計算復(fù)雜度下大幅度提高抑制PAPR 的能力，且能夠獲得更高的BER 性能.

表2 計算復(fù)雜度對比Table 2 Computational complexity comparison

5 總結(jié)

針對現(xiàn)有ACE 算法設(shè)置固定閾值而限制抑制OFDM 系統(tǒng)PAPR 的能力，本文提出了一種動態(tài)尋找限幅閾值的OTACE 算法，結(jié)合仿真和數(shù)據(jù)擬合得到迭代次數(shù).在此基礎(chǔ)上將OTACE 與POCS和SGP 算法在CCDF 方面進行了對比，仿真結(jié)果表明，OTACE 抑制PAPR 的效果最好，其次是SGP，POCS 的性能最差.在三種動態(tài)衰落信道中比較了PAPR 抑制算法對信道估計精度的影響，結(jié)果顯示，相較于POCS 和SGP 抑制PAPR 以及不抑制PAPR，采用OTACE 抑制PAPR 能夠為OFDM系統(tǒng)的BER 性能帶來1 dB 左右的SNR 增益.