“隨機(jī)數(shù)表法”的學(xué)生錯(cuò)誤認(rèn)知與思維矯正*

郝結(jié)紅

(南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué) 210048)

趙雨林

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 225000)

蘇教版高中數(shù)學(xué)教科書必修二“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”中要求學(xué)生掌握兩種簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法．學(xué)生此前未曾接觸過“隨機(jī)數(shù)表”的概念，并且在后續(xù)的章節(jié)學(xué)習(xí)中也很少涉及，因此學(xué)生對(duì)此知識(shí)的認(rèn)知有一定的困難．為此，筆者在教學(xué)過程中，提前準(zhǔn)備了一個(gè)盒子和10個(gè)小球，設(shè)計(jì)通過抽簽法與全班學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)制作“隨機(jī)數(shù)表”．目的是讓學(xué)生體驗(yàn)隨機(jī)數(shù)表的生成過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深對(duì)隨機(jī)數(shù)表的理解．

1 意料之外——概念混淆現(xiàn)象

課堂上每次邀請(qǐng)兩位學(xué)生上臺(tái)演示，一位負(fù)責(zé)摸球，另一位負(fù)責(zé)記錄數(shù)字，如此重復(fù)，很快一張“隨機(jī)數(shù)表”就制作好了．學(xué)生踴躍參與，課堂氣氛活躍，但出乎意料的是學(xué)生產(chǎn)生了三種錯(cuò)誤認(rèn)知．

錯(cuò)誤1“小球放回”與“小球不放回”相混淆

由于隨機(jī)數(shù)表中每個(gè)位置上的數(shù)字都是在 0～9十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)產(chǎn)生的，因此每個(gè)位置上的數(shù)字都可以通過抽簽法產(chǎn)生．具體操作為：用十個(gè)大小、形狀完全相同的乒乓球分別寫上0～9這十個(gè)數(shù)字，放入一個(gè)箱中并攪拌均勻，從箱中隨機(jī)抽取一個(gè)球，記下球上的數(shù)字，完成第一次抽簽；然后將小球放回箱中，繼續(xù)第二次抽簽……如此重復(fù)下去即可得到一張隨機(jī)數(shù)表．

學(xué)生的錯(cuò)誤做法：從箱中抽取一個(gè)球并記下第一個(gè)數(shù)字后，沒有將小球放回箱中就開始第二次抽簽．不少學(xué)生認(rèn)為，抽過的球是不能放回箱中繼續(xù)再供下次抽取的，這是原先抽簽法步驟中明確要求的．

錯(cuò)誤2“制作隨機(jī)數(shù)表”與“隨機(jī)數(shù)表法”相混淆

師生一起制作隨機(jī)數(shù)表的過程讓學(xué)生感受隨機(jī)數(shù)表是由隨機(jī)數(shù)組成的，進(jìn)一步地認(rèn)識(shí)到隨機(jī)數(shù)表法滿足簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的四個(gè)特點(diǎn)，是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的一種方法．

學(xué)生的錯(cuò)誤觀點(diǎn)：不少學(xué)生認(rèn)為“制表”的過程就是隨機(jī)數(shù)表法“查表”的過程，將“制表”和“查表”相混淆．

錯(cuò)誤3“小球放回等可能”與“小球不放回等可能”相混淆

上述三種錯(cuò)誤是學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)時(shí)產(chǎn)生的，作為教師必須重視，不能潦草解釋或直接忽視，要真正地答疑解惑，幫助學(xué)生跨過認(rèn)知障礙，感受數(shù)學(xué)的理性之美．

2 情理之中——錯(cuò)誤認(rèn)知形成原因

2.1 過程性錯(cuò)誤與合理性錯(cuò)誤

李善良博士將數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤分為兩種：一為過程性錯(cuò)誤，二為“合理性”錯(cuò)誤．前者指數(shù)學(xué)概念形成過程中，從實(shí)例到意象、意象到定義、聯(lián)系到網(wǎng)絡(luò)、運(yùn)用到體系、批判到創(chuàng)新的各個(gè)環(huán)節(jié)中，出現(xiàn)錯(cuò)誤的或不完全的反應(yīng)與操作．后者主要指概念學(xué)習(xí)中階段、水平的轉(zhuǎn)變，不同的個(gè)性傾向等所帶來(lái)的概念學(xué)習(xí)的障礙而造成的錯(cuò)誤[1]．相對(duì)而言，過程性錯(cuò)誤具有短暫性、外顯性，是可以預(yù)防與避免的．而“合理性”錯(cuò)誤則具有隱蔽性、長(zhǎng)期性，帶有合理性、規(guī)律性、不可避免性．分析與區(qū)別這兩大類錯(cuò)誤，有助于透徹認(rèn)識(shí)概念學(xué)習(xí)，有助于教學(xué)指導(dǎo)與預(yù)防矯正．

對(duì)于“錯(cuò)誤1”，利用抽簽法制作隨機(jī)數(shù)表的過程中，受到之前學(xué)習(xí)抽簽法“不放回”的影響，學(xué)生認(rèn)為既然用了抽簽法，就不能再放回，卻沒有考慮到隨機(jī)數(shù)表中的每個(gè)數(shù)字都是在0～9十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)產(chǎn)生的，學(xué)生在兩者之間建立了不恰當(dāng)?shù)穆?lián)系，混淆了抽簽法和運(yùn)用抽簽法制作隨機(jī)數(shù)表．用概念原型等代替數(shù)學(xué)概念、分類不合理、抽象不完善、概念定義與概念相脫離、概念間建立不恰當(dāng)?shù)穆?lián)系等錯(cuò)誤，屬于過程性錯(cuò)誤．對(duì)于“錯(cuò)誤2”，學(xué)生之所以會(huì)混淆“制表”和“查表”，是因?yàn)樗麄冋`認(rèn)為隨機(jī)數(shù)表的制作過程是隨機(jī)數(shù)表法的過程，同樣屬于過程性錯(cuò)誤．對(duì)于“錯(cuò)誤3”，學(xué)生根據(jù)以往學(xué)習(xí)的概率知識(shí)認(rèn)為放回是等可能、不放回不是等可能，是用原來(lái)的思維審視新的概念，按過去的經(jīng)驗(yàn)、結(jié)論、方法對(duì)概念作看似合理的推廣或限制，屬于“合理性”錯(cuò)誤．

2.2 學(xué)生觀點(diǎn)與專家觀點(diǎn)

數(shù)學(xué)概念的形成離不開恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式．鮑德納認(rèn)為，教師以事先設(shè)計(jì)好的教學(xué)模式來(lái)進(jìn)行教學(xué)或許能教得很好，但是卻不見得能使學(xué)生學(xué)到東西，這是因?yàn)榻虒W(xué)內(nèi)容所呈現(xiàn)的順序是基于專家的觀點(diǎn)，而不是“學(xué)生的觀點(diǎn)”[2]．所以我們需要考慮：對(duì)于每個(gè)數(shù)學(xué)概念，學(xué)生原有的觀點(diǎn)是什么？學(xué)生的觀點(diǎn)與專家的觀點(diǎn)有哪些差異？教學(xué)中如何去協(xié)調(diào)這些差異？

教師的教學(xué)思想、教學(xué)行為，學(xué)生原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和情景的意義建構(gòu)是否被教師考慮都會(huì)不同程度地影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效果．以教為主的教學(xué)側(cè)重行為目標(biāo)，較少考慮學(xué)生，合理性數(shù)學(xué)錯(cuò)誤便較易且較多地出現(xiàn)，如“錯(cuò)誤3”；以學(xué)為主的教學(xué)則重視學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和情景的意義建構(gòu)，過程性的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤相對(duì)較多，如“錯(cuò)誤1”和“錯(cuò)誤2”都是學(xué)生在課堂摸球?qū)嶒?yàn)中自然產(chǎn)生的．

2.3 數(shù)學(xué)元認(rèn)知與元認(rèn)知監(jiān)控

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)認(rèn)為，數(shù)學(xué)元認(rèn)知指的是人們對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的自我認(rèn)識(shí)和自我控制.數(shù)學(xué)元認(rèn)知在人的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中具有統(tǒng)攝作用，是思維活動(dòng)的核心成分．[3]不同學(xué)生個(gè)體的認(rèn)知活動(dòng)雖彼此有差別，但元認(rèn)知的監(jiān)控、調(diào)節(jié)是各項(xiàng)學(xué)習(xí)活動(dòng)所具有的共同特征，也是學(xué)習(xí)活動(dòng)是否有效的決定因素之一．正是數(shù)學(xué)元認(rèn)知的存在，才使得數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有動(dòng)機(jī)功能、調(diào)控功能、選擇功能、解釋功能、建構(gòu)功能、提取功能、遷移功能、生成功能、轉(zhuǎn)化功能、激活功能等，從而防止錯(cuò)誤認(rèn)知結(jié)構(gòu)納入．

“錯(cuò)誤1”的產(chǎn)生是由于學(xué)生發(fā)生了“概念打架”，剛學(xué)過抽簽法后又用抽簽法來(lái)制表，但對(duì)于隨機(jī)數(shù)表是什么還沒有真正搞清楚，所以產(chǎn)生了錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)．“錯(cuò)誤2”是學(xué)生先入為主，因?yàn)閯倢W(xué)完隨機(jī)數(shù)表的概念后就制表，學(xué)生便混淆了“制表”與“查表”．這兩個(gè)錯(cuò)誤認(rèn)知可通過教學(xué)環(huán)節(jié)的調(diào)整來(lái)解決，把隨機(jī)數(shù)表的介紹和通過例題講解如何使用隨機(jī)數(shù)表的教學(xué)環(huán)節(jié)放在制作隨機(jī)數(shù)表之前，這樣可以避免“概念打架”與“先入為主”的兩個(gè)錯(cuò)誤認(rèn)知．“錯(cuò)誤3”產(chǎn)生的原因是由于學(xué)生沒有學(xué)習(xí)過條件概率，但教師依然可以通過舉例講解和畫樹狀圖來(lái)幫助其克服認(rèn)知障礙．

3 當(dāng)務(wù)之急——學(xué)生思維矯正策略

基于以上認(rèn)知錯(cuò)誤的歸因分析，教師在第二個(gè)班級(jí)授課時(shí)改進(jìn)教學(xué)，從思維矯正的角度來(lái)調(diào)整學(xué)生思維活動(dòng)形式，收到較好的教學(xué)效果．

3.1 開展小組討論，引發(fā)認(rèn)知沖突

建構(gòu)主義認(rèn)識(shí)論認(rèn)為，認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)的過程不是簡(jiǎn)單地輸入和儲(chǔ)存信息的過程，而是主動(dòng)地將原有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和新信息進(jìn)行比較、分析、判斷、選擇和重組．[4]由于學(xué)生的錯(cuò)誤概念暴露的機(jī)會(huì)比較少，因此發(fā)現(xiàn)得越及時(shí)越好．開展小組合作學(xué)習(xí)，組內(nèi)同伴相互交流時(shí)可以將隱蔽的錯(cuò)誤概念顯露出來(lái)，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的認(rèn)知與別人不同時(shí)就會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知沖突，引發(fā)思考后經(jīng)過順應(yīng)過程形成正確的認(rèn)知．因此筆者用小組合作學(xué)習(xí)方式矯正學(xué)生相異構(gòu)想．

教學(xué)改進(jìn)1在制作隨機(jī)數(shù)表前，讓學(xué)生討論如何動(dòng)手制作一張隨機(jī)數(shù)表．

思維活動(dòng) (對(duì)“錯(cuò)誤1”的回應(yīng))讓學(xué)生仔細(xì)思考，如果“不放回”地抽取，那會(huì)導(dǎo)致什么樣的結(jié)果？是不是這個(gè)隨機(jī)數(shù)表只有十個(gè)數(shù)字組成？這符合實(shí)際嗎？

從隨機(jī)數(shù)表的定義來(lái)看，表中任一位置出現(xiàn)任一數(shù)字的概率相同，且不同位置的數(shù)字之間是獨(dú)立的．也就是說表中的每個(gè)數(shù)字是在0～9十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)產(chǎn)生的，那么當(dāng)我們用抽簽法確定了第一個(gè)位置上的隨機(jī)數(shù)時(shí)，也就代表第一個(gè)位置上隨機(jī)數(shù)抽取完成了，實(shí)際上就是第一次抽簽完成，接下來(lái)進(jìn)行第二次抽簽來(lái)確定第二個(gè)位置上的隨機(jī)數(shù)．

3.2 調(diào)整教學(xué)順序，促進(jìn)同化順應(yīng)

建構(gòu)的過程是同化和順應(yīng)，當(dāng)新知識(shí)與原有知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維方式相符時(shí)就被同化，否則就會(huì)被排斥，當(dāng)然也可能經(jīng)修正、重組后再被吸收．由皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展論可知，同化是引起認(rèn)知結(jié)構(gòu)量的變化，而順應(yīng)是引起認(rèn)知結(jié)構(gòu)質(zhì)的變化，順應(yīng)的難度遠(yuǎn)大于同化．[4]教材通常都是按照知識(shí)之間的邏輯關(guān)系編排的，教師的任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生把這種邏輯關(guān)系清晰地表達(dá)出來(lái)．既然同化是先前知識(shí)對(duì)新學(xué)知識(shí)的作用，順應(yīng)是新學(xué)知識(shí)對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改造，那么厘清知識(shí)的生成順序就顯得非常重要，因?yàn)椤白钹徑钡闹R(shí)最利于同化，有序的知識(shí)利于形成結(jié)構(gòu)．

教學(xué)改進(jìn)2調(diào)整教學(xué)順序，把制作隨機(jī)數(shù)表的過程放在隨機(jī)數(shù)表法之后，主次分明．

思維活動(dòng) (對(duì)“錯(cuò)誤2”的回應(yīng))隨機(jī)數(shù)表除了可以用抽簽法來(lái)制作，還可以通過計(jì)算機(jī)生成，教材附錄中就是計(jì)算機(jī)生成的隨機(jī)數(shù)表．一般情況下，我們只要學(xué)會(huì)利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣即可．

課堂上再附加一道例題，并利用教材上的隨機(jī)數(shù)表讓學(xué)生體驗(yàn)用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本的方法．在完成隨機(jī)數(shù)表法項(xiàng)目任務(wù)之后，再呈現(xiàn)隨機(jī)數(shù)表的制作過程，進(jìn)而強(qiáng)化學(xué)生對(duì)隨機(jī)數(shù)表的認(rèn)識(shí)．

3.3 了解已有經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)概念轉(zhuǎn)變

教師了解學(xué)生的知識(shí)現(xiàn)狀、對(duì)教育背景的知覺情況以及錯(cuò)誤概念的形成過程，是改進(jìn)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵之一．只有這樣，才能為制訂相應(yīng)的矯正策略提供目標(biāo)，也為最終達(dá)成矯正目標(biāo)提供可能．因此，必須采取行之有效的誘導(dǎo)方法，使學(xué)生顯露自己的思維過程和知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)．

教學(xué)改進(jìn)3增加一個(gè)課后思考題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣．

思維活動(dòng) (對(duì)“錯(cuò)誤3”的回應(yīng))為了使問題能解釋得清楚，學(xué)生學(xué)習(xí)條件概率后再講會(huì)方便得多．因?yàn)槌楹灧ㄊ枪降?，是一個(gè)常識(shí)，大部分學(xué)生都是知道而且認(rèn)可的．因此向?qū)W生提供一道課后思考題：有一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽箱里有十個(gè)號(hào)簽，分別是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.只有一個(gè)號(hào)簽是中獎(jiǎng)號(hào)碼，小紅、小剛和小明三個(gè)人依次抽獎(jiǎng)，請(qǐng)分別計(jì)算三人中獎(jiǎng)的概率．

4 言下之意——善待錯(cuò)誤重在理解

教學(xué)是一門遺憾的藝術(shù)，課堂就是犯錯(cuò)的地方．發(fā)生上述認(rèn)知錯(cuò)誤反映出學(xué)生有思考精神，也有質(zhì)疑意識(shí)．作為教師，既要鼓勵(lì)學(xué)生積極思考問題和發(fā)現(xiàn)問題，還要和學(xué)生一起解決問題，真正實(shí)現(xiàn)善待錯(cuò)誤、包容錯(cuò)誤、珍視錯(cuò)誤，化錯(cuò)誤為資源，從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中悟道．教師必須理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)．這樣，才能充分把握知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程、重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵，才能抓住內(nèi)容的核心，才能設(shè)置有利于學(xué)生理解知識(shí)的教學(xué)主線，才能在教學(xué)中提出具有啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性的問題，才能有針對(duì)性地有效指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最終實(shí)現(xiàn)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展思維能力、培育理性精神的目標(biāo)．