基于H2范數(shù)的彈性基礎(chǔ)上接地負剛度動力吸振最優(yōu)參數(shù)研究

劉 冬， 蘇智偉,2， 鄭智偉， 楊 詠， 張嘯涵， 李 楊， 黃修長,

(1. 上海交通大學(xué) 先進技術(shù)與裝備研究院 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240； 2. 五邑大學(xué) 智能制造學(xué)部，廣東 江門 529020; 3. 船海特裝和動力系統(tǒng)國家工程中心，上海 200240)

將負剛度單元引入系統(tǒng)并經(jīng)合理匹配設(shè)計后，振動系統(tǒng)能具有固有頻率低、隔振帶寬寬、隔振效果好等優(yōu)點。接地負剛度動力吸振技術(shù)是其中之一。接地負剛度動力吸振最早由Antoniadis等[1-2]于2015年提出，即在常規(guī)吸振器的吸振子與地基之間引入一個負剛度單元。相比于常規(guī)動力吸振，接地負剛度動力吸振經(jīng)合理的參數(shù)優(yōu)化匹配后，可在不需要較大吸振質(zhì)量的前提下，在特定頻段內(nèi)實現(xiàn)無諧振峰寬頻帶振動控制，有效解決常規(guī)動力吸振的振動控制效果與吸振質(zhì)量間的矛盾。

國內(nèi)外學(xué)者對接地負剛度動力吸振的最優(yōu)參數(shù)開展了相關(guān)研究。Shen等[3-4]提出了多種接地負剛度動力吸振形式，采用數(shù)值方法或解析法獲得了最優(yōu)阻尼比和最優(yōu)頻率比等參數(shù)。研究結(jié)果表明，相比于常規(guī)動力吸振器，接地負剛度動力吸振器在簡諧激勵和隨機激勵下對主系統(tǒng)位移傳遞率的控制效果均表現(xiàn)得更加良好。Zhou等[5]針對兩種構(gòu)型的接地負剛度動力吸振，利用不動點法和穩(wěn)定性最大準則分別推導(dǎo)了系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)，并結(jié)合穩(wěn)定性條件給出了負剛度值的取值范圍。Li等[6]將負剛度動力吸振與慣容單元相結(jié)合，提出了新形式的動力吸振模型，并推導(dǎo)了模型的封閉解，結(jié)果表明慣容單元和負剛度單元在系統(tǒng)中均發(fā)揮了放大質(zhì)量效應(yīng)。為進一步降低低頻段內(nèi)共振峰的幅值，代晗等[7]將時滯反饋控制引入接地負剛度動力吸振，并進行了等峰參數(shù)優(yōu)化。陳杰等[8]利用慣容負剛度動力吸振器抑制梁的橫向振動，推導(dǎo)了最優(yōu)系統(tǒng)參數(shù)，并討論了質(zhì)量比對系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)的影響。

國內(nèi)外學(xué)者針對工程實際中的接地負剛度開展了動力學(xué)建模。Zhou等[9]將接地負剛度動力吸振應(yīng)用于浮置板軌道減振，建立了浮置板軌道的有限元模型，利用接地負剛度動力吸振對浮置板的一階彎曲模態(tài)進行控制。Liu等[10]采用接地負剛度動力吸振來降低壓載軌道的振動與聲輻射，計算結(jié)果表明相比于常規(guī)動力吸振器，采用接地負剛度動力吸振能有效提高軌道的振動能量和聲輻射衰減。Kapasakalis等[11]將接地負剛度動力吸振應(yīng)用于風(fēng)機的減振，仿真結(jié)果表明其能顯著增加系統(tǒng)的有效阻尼，降低風(fēng)載作用下風(fēng)機的動力學(xué)響應(yīng)。Lin等[12]基于接地負剛度動力吸振提出了一種新形式的力學(xué)超材料構(gòu)型，用于指導(dǎo)設(shè)計地震隔震系統(tǒng)。Sapountzakis等[13]開展了接地負剛度動力吸振用于地震波激勵下橋梁結(jié)構(gòu)的抗震分析，分析過程中考慮了橋墩的貢獻，結(jié)論表明基于接地負剛度動力吸振的減震方案在理論上能有效替代傳統(tǒng)的橋梁隔震支座。

以上關(guān)于接地負剛度動力吸振的研究集中在理論建模獲取最優(yōu)參數(shù)以及簡單模型應(yīng)用方面，理論建模時考慮接地負剛度動力吸振在剛性基礎(chǔ)上的情況。而實際工程中往往是彈性基礎(chǔ)，彈性基礎(chǔ)與主系統(tǒng)的耦合會改變主系統(tǒng)固有特性，以及接地負剛度動力吸振的動力學(xué)特性，使得基于剛性基礎(chǔ)得到的最優(yōu)參數(shù)不再適用。本文針對實際工程中常常出現(xiàn)的彈性基礎(chǔ)，基于H2范數(shù)推導(dǎo)了接地負剛度動力吸振的最優(yōu)參數(shù)。

1 動力學(xué)建模及最優(yōu)參數(shù)推導(dǎo)

1.1 彈性基礎(chǔ)接地負剛度動力吸振動力學(xué)模型

彈性基礎(chǔ)上的接地負剛度動力吸振系統(tǒng)動力學(xué)模型可表示一個三自由度系統(tǒng)，如圖1所示。Mp和kp為彈性基礎(chǔ)的等效模態(tài)質(zhì)量和等效模態(tài)剛度。MA為主系統(tǒng)質(zhì)量；ks為主系統(tǒng)剛度；m，ke和c分別為Voigt型動力吸振器的質(zhì)量、剛度和阻尼；kn為負剛度元件的負剛度(假設(shè)kn不隨頻率和相對位移幅值變化)；F為施加在主系統(tǒng)質(zhì)量MA上的外激勵力；FT為傳遞到彈性基礎(chǔ)的力；x和y分別為MA和m的位移響應(yīng)；z為彈性基礎(chǔ)質(zhì)量相對地面的位移響應(yīng)。

圖1 考慮彈性基礎(chǔ)的接地負剛度動力吸振動力學(xué)模型Fig.1 Dynamic modelling of DVA with negative stiffness considering flexible foundation

對圖1所示模型建立運動微分方程

(1)

引入負剛度比p、吸振質(zhì)量比μ、基礎(chǔ)質(zhì)量比μp、吸振頻率比ν、基礎(chǔ)頻率比νp以及阻尼比ξ等無量綱參數(shù)

假設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為[x,y,z]T=[X,Y,Z]Tejωt，代入運動微分方程，可求得X,Y,Z的響應(yīng)表達式為

(3)

定義到基礎(chǔ)的力傳遞率為傳遞至基礎(chǔ)的作用力與主系統(tǒng)外激勵力的比值

(4)

Γ=λ4μ-λ2μ2v2-λ2μv2-μμpλ6+λ4μ2v2μp+λ4μv2μp+

1.2 基于H2范數(shù)優(yōu)化準則的參數(shù)優(yōu)化

對于彈性基礎(chǔ)上的動力吸振最優(yōu)參數(shù)問題，由于基礎(chǔ)的阻抗為頻率的函數(shù)，與主系統(tǒng)相關(guān)的不動點處的幅值不再和頻率無關(guān)，此時無法采取常規(guī)不動點法對主系統(tǒng)進行動力吸振匹配設(shè)計。以力傳遞率的H2范數(shù)最小為優(yōu)化目標，可得彈性基礎(chǔ)上接地負剛度動力吸振的最優(yōu)參數(shù)。力傳遞率T的H2范數(shù)可定義為

(6)

(7)

將無量綱力傳遞率表達式代入可得

(8)

利用留數(shù)定理，可將積分表達式化簡為多項式表達式(系數(shù)a0～a4，b1～b5及后續(xù)推導(dǎo)過程可詳見附錄A)，如式(19)所示

(9)

為得到彈性基礎(chǔ)負剛度動力吸振的最優(yōu)頻率比vopt和最優(yōu)阻尼比ξopt，令式(9)分別對v和ξ的偏導(dǎo)等于0，得到最優(yōu)頻率比vopt和最優(yōu)阻尼比ξopt的表達式

(11)

(12)

(13)

可見，以控制外激勵到基礎(chǔ)的力傳遞率為目標，接地負剛度動力吸振的最優(yōu)阻尼比和最優(yōu)頻率比僅與吸振質(zhì)量比μ和基礎(chǔ)剛度比np有關(guān)，與基礎(chǔ)質(zhì)量比無關(guān)。

1.3 穩(wěn)定性分析

對于彈性基礎(chǔ)上的接地負剛度動力吸振，由于負剛度單元的存在，系統(tǒng)存在穩(wěn)定性問題。采取剛性基礎(chǔ)中穩(wěn)定性分析的方法，根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)來進行判別。當(dāng)系統(tǒng)所有極點均處于復(fù)平面左側(cè)時(具有負實部)，系統(tǒng)穩(wěn)定。將力傳遞率的分母多項式改寫為

D(s)=q0s6+q1s5+q2s4+q3s3+q4s2+q5s+q6,s=jλ

(15)

其中

q0=μμp,

q1=2μ(μ+1)vξμp,

(16)

結(jié)合Routh-Hurwitz判據(jù)，以及式中根號內(nèi)表達式大于0的條件，經(jīng)推導(dǎo)得到的系統(tǒng)穩(wěn)定性條件如下

(17)

將多個關(guān)于p的不等式取交集，可得關(guān)于負剛度比p的穩(wěn)定性條件為

(18)

可見當(dāng)優(yōu)化目標為傳遞到基礎(chǔ)的力傳遞率時，關(guān)于負剛度比p的穩(wěn)定性條件僅與吸振質(zhì)量比μ有關(guān)，與基礎(chǔ)的特性無關(guān)。

2 參數(shù)影響規(guī)律分析

圖2(a)和圖2(b)分別給出了μ=0.01，p=-0.02時最優(yōu)頻率比vopt和最優(yōu)阻尼比ξopt隨基礎(chǔ)剛度比np的變化規(guī)律?？梢?，接地負剛度動力吸振的最優(yōu)頻率比隨著基礎(chǔ)剛度比的增加而增加，最優(yōu)阻尼比隨著基礎(chǔ)剛度比的增加而減小。接地負剛度動力吸振的最優(yōu)吸振剛度要大于Voigt型動力吸振的最優(yōu)吸振剛度，而當(dāng)基礎(chǔ)剛度比040時，接地負剛度動力吸振的最優(yōu)阻尼略大于Voigt型動力吸振。隨著基礎(chǔ)剛度比的進一步增加，最優(yōu)參數(shù)基本保持不變，且接近剛性基礎(chǔ)情況下通過固定點法推導(dǎo)得到的最優(yōu)參數(shù)。這是由于基礎(chǔ)剛度比越大，基礎(chǔ)越接近與剛性，此時彈性基礎(chǔ)對主系統(tǒng)的影響近似可忽略。圖2(c)和圖2(d)分別給出了μ=0.1，p=-0.1時最優(yōu)頻率比vopt和最優(yōu)阻尼比ξopt隨基礎(chǔ)剛度比np的變化規(guī)律?？梢?，當(dāng)質(zhì)量比和負剛度比絕對值較大時，最優(yōu)參數(shù)隨著基礎(chǔ)剛度比的變化規(guī)律保持不變。與此同時，當(dāng)基礎(chǔ)剛度比較小時，負剛度動力吸振的最優(yōu)參數(shù)的數(shù)值變化范圍要遠小于Voigt型動力吸振，說明接地負剛度動力吸振的最優(yōu)參數(shù)對彈性基礎(chǔ)的變化更不敏感，因此更適用于不同場合。

圖2 最優(yōu)參數(shù)隨基礎(chǔ)剛度比的變化規(guī)律Fig.2 Optimal parameters of vopt and ξopt with varying np

為對比彈性基礎(chǔ)上接地負剛度動力吸振的振動控制效果，圖3給出了接地負剛度動力吸振和Voigt型動力吸振在最優(yōu)參數(shù)下的H2范數(shù)優(yōu)化的目標函數(shù)Ia的對比，其中Ia表征著整個頻段內(nèi)振動總能量。圖3中橫坐標為基礎(chǔ)和主系統(tǒng)的剛度比np，縱坐標為Ia/Ia_nodva(定義為Ia幅值下降相對量)，即控制后和控制前目標函數(shù)Ia的比值。對比圖3(a)、圖3(b)兩圖可知，增大吸振質(zhì)量比和負剛度比絕對值，能增強Voigt型動力吸振和接地負剛度動力吸振的振動抑制效果。不同負剛度比和質(zhì)量比情況下，接地負剛度動力吸振的振動抑制效果要遠優(yōu)于Voigt型動力吸振，且負剛度動力吸振對應(yīng)的幅值下降相對量幾乎不受基礎(chǔ)剛度比變化的影響。這說明當(dāng)考慮彈性基礎(chǔ)時，接地負剛度動力吸振在最優(yōu)參數(shù)下的振動抑制效果對基礎(chǔ)剛度比的變化不敏感。當(dāng)基礎(chǔ)的狀態(tài)發(fā)生較大改變時，接地負剛度動力吸振仍可實現(xiàn)極佳的振動抑制效果。Voigt型動力吸振在0

圖3 最優(yōu)參數(shù)下目標函數(shù)Ia隨基礎(chǔ)剛度比的變化規(guī)律Fig.3 Performance index Ia under optimal parameters with varying np

盡管給定質(zhì)量比μ、負剛度比p時，最優(yōu)參數(shù)下的目標函數(shù)Ia值僅與基礎(chǔ)剛度比np有關(guān)，但對于本文的控制目標，即彈性基礎(chǔ)上外激勵到基礎(chǔ)的力傳遞率，依然同時取決于基礎(chǔ)質(zhì)量比μp和基礎(chǔ)頻率比vp。為進一步驗證在考慮不同基礎(chǔ)質(zhì)量比和頻率比時，基于H2范數(shù)最小推導(dǎo)得到的最優(yōu)參數(shù)是否依然成立，并綜合分析基礎(chǔ)的動力學(xué)特性對力遞率特性的影響，圖4～圖6給出了不同基礎(chǔ)質(zhì)量比和頻率比下的力傳遞率幅頻曲線，并將結(jié)果與推導(dǎo)得到的Voigt型動力吸振最優(yōu)參數(shù)下的結(jié)果進行了對比。

圖4給出了基礎(chǔ)質(zhì)量比μp=10，基礎(chǔ)頻率比vp=2時的力傳遞率曲線，此時基礎(chǔ)剛度比np=40。這組參數(shù)下基礎(chǔ)的固有頻率遠離主系統(tǒng)固有頻率(λ1=0.98，λ2=2.02)，兩個系統(tǒng)耦合小。當(dāng)質(zhì)量比μ=0.01、負剛度比p=-0.02時，Voigt型動力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為0.980和0.093，接地負剛度動力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為1.721和0.097；當(dāng)質(zhì)量比μ=0.1、負剛度比p=-0.1時，Voigt型動力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為0.920和0.172，接地負剛度動力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為1.349和0.228；由于兩個系統(tǒng)耦合小，因此傳遞率的結(jié)果和剛性基礎(chǔ)的結(jié)果類似，接地負剛度動力吸振在最優(yōu)參數(shù)下能大幅降低主系統(tǒng)共振區(qū)域的振幅，且拓寬了吸振帶寬，有著近似無諧振峰的控制效果。且接地負剛度動力吸振的性能對吸振質(zhì)量不敏感，當(dāng)吸振質(zhì)量比較小時，接地負剛度動力吸振相較于Voigt型動力吸振的優(yōu)勢更加明顯。

圖4 μp=10, vp=2時，最優(yōu)參數(shù)下接地負剛度動力吸振與Voigt型動力吸振力傳遞率對比Fig.4 Comparison of force transmissibility under optimal parameters between DVAGNS and Voigt type DVA under μp=10, vp=2

圖5給出了當(dāng)基礎(chǔ)質(zhì)量比μp=5，基礎(chǔ)頻率比vp=1時的力傳遞率曲線，此時基礎(chǔ)剛度比np=5。這組參數(shù)下基礎(chǔ)的固有頻率與主系統(tǒng)固有頻率相同，兩個系統(tǒng)耦合強。當(dāng)質(zhì)量比μ=0.01、負剛度比p=-0.02時，Voigt型動力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為0.906和0.229，接地負剛度動力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為1.682和0.145；當(dāng)質(zhì)量比μ=0.1、負剛度比p=-0.1時，Voigt型動力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為0.850和0.275，接地負剛度動力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為1.313和0.259。由于基礎(chǔ)和主系統(tǒng)的固有頻率相同，對應(yīng)耦合系統(tǒng)的兩個固有頻率均離主系統(tǒng)固有頻率較遠(λ1=0.79，λ2=1.24)。此時Voigt型動力吸振的控制效果有限，力傳遞率曲線未出現(xiàn)明顯的雙峰特征，但接地負剛度動力吸振依然有著較好的振動抑制效果，且隨著質(zhì)量比和負剛度比的絕對值增加，抑振能力增加。當(dāng)質(zhì)量比μ=0.1、負剛度比p=-0.1時，在主系統(tǒng)共振段依然體現(xiàn)出了近似無諧振峰的特征，同時在基礎(chǔ)共振頻段內(nèi)也有著較好的控制效果。

圖5 μp=5,vp=1時，最優(yōu)參數(shù)下接地負剛度動力吸振與Voigt型動力吸振力傳遞率對比Fig.5 Comparison of force transmissibility under optimal parameters between DVAGNS and Voigt type DVA under μp=5,vp=1

圖6給出了基礎(chǔ)質(zhì)量比μp=0.5，基礎(chǔ)頻率比vp=0.8時的力傳遞率曲線，此時基礎(chǔ)剛度比np=0.32。這組參數(shù)下基礎(chǔ)剛度小于主系統(tǒng)剛度，且基礎(chǔ)質(zhì)量小于主系統(tǒng)質(zhì)量。由于基礎(chǔ)和主系統(tǒng)串聯(lián)，耦合系統(tǒng)的動力學(xué)特性主要取決于小剛度系統(tǒng)，即彈性基礎(chǔ)對耦合系統(tǒng)的力傳遞率特性有較大影響。當(dāng)質(zhì)量比μ=0.01、負剛度比p=-0.02時，Voigt型動力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為0.488和0.887，接地負剛度動力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為2.093和0.218；當(dāng)質(zhì)量比μ=0.1、負剛度比p=-0.1時，Voigt型動力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為0.458和0.917，接地負剛度動力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為1.140和0.402；此時，在基礎(chǔ)的質(zhì)量和剛度均小于主系統(tǒng)時，Voigt型動力吸振在所給的兩種吸振質(zhì)量比情況下均幾乎已無控制效果，接地負剛度動力吸振雖控制效果略有所折扣，但依然能同時有效降低耦合系統(tǒng)兩個共振頻段的峰值。綜合圖4～圖6的結(jié)果可知，基于H2范數(shù)優(yōu)化準則得到的彈性基礎(chǔ)上接地負剛度動力吸振的最優(yōu)參數(shù)，在考慮不同基礎(chǔ)力學(xué)特性時均能有效抑制主系統(tǒng)共振段幅值。

圖6 μp =0.5, vp=0.8時，最優(yōu)參數(shù)下接地負剛度動力吸振與Voigt型動力吸振力傳遞率對比Fig.6 Comparison of the force transmissibility under optimal parameters between DVAGNS and Voigt type DVA under μp =0.5, vp=0.8

圖7 不同基礎(chǔ)質(zhì)量比和剛度比下隨機激勵傳遞力時間歷程對比Fig.7 Comparison of the time history of transmitted force between DVAGNS and Voigt type DVA under different characterisitcs of the flexible foundation

3 結(jié) 論

采取H2范數(shù)優(yōu)化準則對彈性基礎(chǔ)上的接地負剛度動力吸振器進行了參數(shù)優(yōu)化，獲得了其最優(yōu)參數(shù)解析表示式。開展了參數(shù)影響規(guī)律分析，在簡諧激勵和隨機激勵下驗證了接地負剛度動力吸振器的吸振性能。得到以下結(jié)論：

(1)考慮彈性基礎(chǔ)時，以控制外激勵到基礎(chǔ)的力傳遞率為目標時，通過H2范數(shù)優(yōu)化準則得到的彈性基礎(chǔ)上的接地負剛度動力吸振最優(yōu)參數(shù)僅取決于吸振質(zhì)量比和基礎(chǔ)與主系統(tǒng)的剛度比，而與基礎(chǔ)的質(zhì)量比無關(guān)。

(2)考慮彈性基礎(chǔ)時，最優(yōu)參數(shù)下接地負剛度動力吸振同樣能以小質(zhì)量比的代價在主系統(tǒng)共振頻段和基礎(chǔ)共振頻段內(nèi)實現(xiàn)較好的振動傳遞控制效果。且當(dāng)基礎(chǔ)與主系統(tǒng)耦合強時，接地負剛度動力吸振依然能實現(xiàn)有效控制，但此時Voigt動力吸振已基本失效。

附錄A最優(yōu)參數(shù)推導(dǎo)過程

正文中式(8)分子分母的系數(shù)如下

a0=1,

b1=2(μ+1)vξ,

(A.1)

為保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，b1～b6應(yīng)均為非負值。式(8)的分母可改寫為

IaDen=(λ+jλ1)(λ+jλ2)(λ+jλ3)(λ+jλ4)(λ+jλ5)(λ+jλ6)·

(λ-jλ1)(λ-jλ2)(λ-jλ3)(λ-jλ4)(λ-jλ5)(λ-jλ6)

(A.2)

不妨假設(shè)駐點λ1～λ6均為正。將式(A.2)展開，并與式(A.1)對比可得

b1=λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6，

b2=λ1λ2+λ1λ3+λ1λ4+λ1λ5+λ1λ6+λ2λ3+λ2λ4+λ2λ5+

λ2λ6+λ3λ4+λ3λ5+λ3λ6+λ4λ5+λ4λ6+λ5λ6，

b3=λ1λ2λ3+λ1λ2λ4+λ1λ2λ5+λ1λ2λ6+λ1λ3λ4+λ1λ3λ5+λ1λ3λ6+λ1λ4λ5+λ1λ4λ6+λ1λ5λ6+λ2λ3λ4+λ2λ3λ5+λ2λ3λ6+λ2λ4λ5+λ2λ4λ6+λ2λ5λ6+λ3λ4λ5+λ3λ4λ6+λ3λ5λ6+λ4λ5λ6,

b4=λ1λ2λ3λ4+λ1λ2λ3λ5+λ1λ2λ3λ6+λ1λ2λ4λ5+λ1λ2λ4λ6+

λ1λ2λ5λ6+λ1λ3λ4λ5+λ1λ3λ4λ6+λ1λ3λ5λ6+λ1λ4λ5λ6+λ2λ3λ4λ5+λ2λ3λ4λ6+λ2λ3λ5λ6+λ2λ4λ5λ6+λ3λ4λ5λ6,

b5=λ1λ2λ3λ4λ5+λ1λ2λ3λ4λ6+λ1λ2λ3λ5λ6+λ1λ2λ4λ5λ6+

λ1λ3λ4λ5λ6+λ2λ3λ4λ5λ6,

b6=λ1λ2λ3λ4λ5λ6

(A.3)

式(A.2)存在12個極點，即式(A.2)等于0時λ所取的值。復(fù)平面上半平面存在6個孤立奇點(滿足b1,b2,b3,b4,b5,b6>0的情況下)

λ=iλ1,iλ2,iλ3,iλ4,iλ5,iλ6

(A.4)

由留數(shù)定理可求無窮積分

(A.5)

各個極點的留數(shù)為

Res[fn;iλ1]=(λ-iλ1)fn(iλ1)=

Res[fn;iλ2]=(λ-iλ2)fn(iλ2)=

Res[fn;iλ3]=(λ-iλ3)fn(iλ3)=

Res[fn;iλ4]=(λ-iλ4)fn(iλ4)=

Res[fn;iλ5]=(λ-iλ5)fn(iλ5)=

Res[fn;iλ6]=(λ-iλ6)fn(iλ6)=

(A.6)

將式(A.6)代入式(A.5)可求得無窮積分

(A.7)

其中

將式(A.3)與式(A.1)代入式(A.7)，目標函數(shù)表達式(9)中的分子和分母可以表示為

式(9)分別對v和ξ求偏導(dǎo)等于0，即

(A.8)

可得出如下方程組

(A.9)

求解方程組(A.9)，可得彈性基礎(chǔ)上接地負剛度動力吸振的最優(yōu)頻率比vopt和最優(yōu)阻尼比ξopt的解析表達式，如式(10)、式(11)所示。