具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)行為研究

趙雨皓， 杜敬濤， 張樹(shù)奇， 劉 楊， 陳依林

(1. 哈爾濱工程大學(xué) 動(dòng)力與能源工程學(xué)院, 哈爾濱 150001; 2. 北京京能國(guó)際能源技術(shù)有限公司, 北京 100041)

軸向載荷梁作為一種基本單元廣泛應(yīng)用于船舶軸系結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析中，其中軸向載荷通常由動(dòng)力設(shè)備引入。在工程中，軸向載荷梁結(jié)構(gòu)在外部激勵(lì)下發(fā)生不利振動(dòng)。為降低軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的過(guò)大振動(dòng)，研究其動(dòng)力學(xué)行為與振動(dòng)控制方式就顯得尤為重要。

近年來(lái)，眾多學(xué)者采用傅里葉級(jí)數(shù)研究不同邊界條件下梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性和動(dòng)力學(xué)行為[1-7]。在船舶軸系振動(dòng)分析中，支承軸承通常被簡(jiǎn)化為旋轉(zhuǎn)、平動(dòng)支撐剛度。傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)由于其邊界不連續(xù)性難以應(yīng)用于具有一般邊界軸系結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性分析中。為提高傅里葉級(jí)數(shù)的工程適用性，Li[8]提出邊界光滑傅立葉級(jí)數(shù)用于研究具有一般邊界約束的梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性。在此基礎(chǔ)上，眾多學(xué)者采用光滑邊界傅里葉級(jí)數(shù)研究了彈性邊界約束梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性[9-11]?？紤]到工程中軸向載荷的存在，Xu[12-13]等利用邊界光滑傅里葉級(jí)數(shù)和能量原理建立具有一般邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性分析模型。

非線性能量阱作為一種有效的被動(dòng)振動(dòng)控制手段由Vakakis[14]提出。非線性能量阱具有輕質(zhì)、寬頻以及能量靶向傳遞特性，自提出以來(lái)受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。Georgiades等[15]研究了具有非線性能量阱的Euler-Bernoulli梁動(dòng)力學(xué)行為。Samani等[16]通過(guò)最大振動(dòng)幅值和耗能估計(jì)非線性能量阱的吸振性能。Ahmadabadi等[17-18]研究了具有非線性能量阱的懸臂梁結(jié)構(gòu)非線性控制。Kani等[19-20]研究了具有非線性能量阱和經(jīng)典邊界條件梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制問(wèn)題。Zhang等[21]研究了具有非線性能量阱的軸向運(yùn)動(dòng)梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制，表明非線性能量阱對(duì)梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制具有良好的效果。Fang等[22]設(shè)計(jì)了一種單穩(wěn)/雙穩(wěn)非線性能量阱控制具有阻尼層懸臂梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。李響[23]、王闖[24]和賀騰[25]分別采用解析與數(shù)值方法研究了非線性能量阱對(duì)梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制效果。魯正等[26]結(jié)合現(xiàn)有研究，綜述了非線性能量阱技術(shù)在振動(dòng)控制中的應(yīng)用與優(yōu)勢(shì)。姚永玉等[27]分析了非線性能量阱對(duì)懸臂梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制特性。Zhang等[28]研究了邊界非線性能量阱對(duì)梁結(jié)構(gòu)自由、強(qiáng)迫響應(yīng)的振動(dòng)抑制效果。值得注意的是上述研究多是在特定邊界下開(kāi)展，忽略梁結(jié)構(gòu)邊界處旋轉(zhuǎn)約束，當(dāng)邊界條件改變時(shí)，需對(duì)模型進(jìn)行重新建立。此外，上述研究未考慮工程中常見(jiàn)的軸向載荷且未充分研究非線性能量阱對(duì)梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)、減振效果的影響規(guī)律。因此，建立具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析模型具有重要意義。

本文研究具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與減振特性規(guī)律。采用Galerkin截?cái)喾?Galerkin truncation method，GTM)預(yù)報(bào)具有非線性能量阱的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。在Galerkin離散化過(guò)程中，具有線彈性邊界的軸向載荷Euler-Bernoulli梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)函數(shù)作為Galerkin截?cái)喾ǖ臋?quán)函數(shù)和試函數(shù)。采用諧波平衡法(harmonic balance method,HBM)驗(yàn)證Galerkin截?cái)喾ǖ挠?jì)算結(jié)果。在上述基礎(chǔ)上，研究非線性能量阱對(duì)梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)、減振效果的影響。

1 理論模型

如圖1所示，考慮具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)問(wèn)題。在梁結(jié)構(gòu)兩端引入約束彈簧對(duì)邊界條件進(jìn)行模擬；kL與kR分別為左、右邊界平動(dòng)剛度；KL與KR分別為左、右邊界旋轉(zhuǎn)剛度；CL與CR分別為左、右邊界黏性阻尼。梁結(jié)構(gòu)模型為Euler-Bernoulli梁；E，L，ρ，I與S分別為其楊氏模量、長(zhǎng)度、密度、慣性矩及截面積；P為作用在梁結(jié)構(gòu)上的軸向載荷，其中拉力載荷為負(fù)，壓力載荷為正；F(x,t)為作用在梁結(jié)構(gòu)上的外部激勵(lì)，在本文研究中，外部激勵(lì)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)力，其形式為F(x,t)=δ(x-xF)·F0sin(ωt)。其中xF為外部激勵(lì)作用位置，F(xiàn)0為外部激勵(lì)幅值。非線性能量阱由黏性阻尼CNES，質(zhì)量mNES與非線性剛度knNES組成。本文考慮具有慣性效應(yīng)的非線性能量阱，非線性能量阱的有效慣性質(zhì)量(bN)為慣性系數(shù)(bc)與非線性能量阱質(zhì)量(mNES)的乘積。u(x,t)與uNES分別為梁結(jié)構(gòu)的橫向振動(dòng)位移與非線性能量阱的振動(dòng)位移。

圖1 具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析模型Fig.1 Vibration analysis model of an axially loaded beam structure with a nonlinear energy sink and elastic boundary restraints

根據(jù)牛頓第二定律推導(dǎo)梁結(jié)構(gòu)、非線性能量阱的動(dòng)力學(xué)控制方程與振動(dòng)系統(tǒng)邊界條件。梁結(jié)構(gòu)左端點(diǎn)邊界條件為

(1)

(2)

右端邊界條件為

(3)

(4)

式(5)為非線性能量阱的動(dòng)力學(xué)控制方程；式(6)為梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)控制方程。

knNES[uNES-u(xNES)]3=0

(5)

本文采用Galerkin截?cái)喾A(yù)報(bào)具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。在Galerkin截?cái)喾ㄖ?，選取一組滿足邊界條件的函數(shù)作為權(quán)函數(shù)與試函數(shù)，實(shí)現(xiàn)梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)控制方程的離散?？紤]到邊界阻尼的存在，通過(guò)狄利克雷函數(shù)將邊界阻尼引入梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)控制方程中此時(shí)邊界條件與梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)控制方程被改寫(xiě)為式(7)、式(8)與式(9)。由式(7)與式(8)可知，梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)具有線彈性邊界條件，因此具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)被選取為Galerkin截?cái)喾ㄖ械臋?quán)函數(shù)與試函數(shù)。

2 Galerkin截?cái)喾ㄅc求解

在本文分析中，根據(jù)模態(tài)疊加原理，梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的橫向振動(dòng)位移展開(kāi)為如下形式

(10)

式中：φi(x)為具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的第i階模態(tài)函數(shù)；N為截?cái)鄶?shù)；具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)通過(guò)邊界光滑傅里葉級(jí)數(shù)與能量法求解得到。

在上述基礎(chǔ)上，將式(10)代入式(5)，得到非線性能量阱動(dòng)力學(xué)方程的具體表達(dá)形式，如式(11)所示。將式(10)代入式(9)，并對(duì)其進(jìn)行Galerkin離散，得到梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的殘差方程，其中第m階殘差方程的形式如式(12)所示。

(11)

(12)

將梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的第m階殘差方程簡(jiǎn)化為如下形式

Rm1+Rm2+Rm3+Rm4+Rm5+Rm6+Rm7+Rm8+Rm9=0

(13)

式(13)中各項(xiàng)的具體形式為

(14)

(15)

(16)

(17)

Rm5=ψm(xF)F0sin(ωt)

(18)

(19)

(20)

(22)

將式(13)中的加速度項(xiàng)移至等式的另一側(cè)，式(13)改寫(xiě)為

Rm1=-(Rm2+Rm3+Rm4+Rm5+Rm6+Rm7+Rm8+Rm9)

(23)

根據(jù)式(14)，Rm1可以展開(kāi)為

(24)

在上述基礎(chǔ)上，將梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的殘差方程整理為矩陣的形式，即

(25)

將式(11)與式(25)整理為標(biāo)準(zhǔn)矩陣形式，即

(26)

式中，RNES的具體表達(dá)式為

(27)

式(26)可通過(guò)4階龍格-庫(kù)塔算法直接求解，將求解結(jié)果代入式(10)即可得到具有非線性能量阱與彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)任意點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

3 數(shù)值結(jié)果與分析

按照上述理論推導(dǎo)，對(duì)具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行編程仿真。首先驗(yàn)證本文模型在預(yù)報(bào)梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)的準(zhǔn)確性和可靠性。在此基礎(chǔ)上，研究非線性能量阱參數(shù)對(duì)梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)減振、動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。

3.1 模型驗(yàn)證

本節(jié)采用Galerkin截?cái)喾A(yù)報(bào)具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。采用諧波平衡法所得到的梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與Galerkin截?cái)喾ㄋ媒Y(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證本文模型的正確性。在此基礎(chǔ)上，研究截?cái)鄶?shù)對(duì)Galerkin截?cái)喾ㄋ媒Y(jié)果的影響。表1列出了梁結(jié)構(gòu)材料參數(shù)、幾何參數(shù)與邊界約束彈簧剛度值。表2給出了非線性能量阱的參數(shù)值。外部激勵(lì)幅值F0=10 N，外部激勵(lì)位置xF=0。

表1 梁結(jié)構(gòu)材料、幾何與邊界參數(shù)值Tab.1 Material, geometric and boundary parameters of beam structure

表2 非線性能量阱參數(shù)值Tab.2 Parameters of the nonlinear energy sink

首先驗(yàn)證基于Galerkin截?cái)喾ㄋ鶚?gòu)建模型的正確性。Galerkin截?cái)喾ǖ挠?jì)算參數(shù)取為N=M=2。為消除瞬態(tài)響應(yīng)，選取0～420Te為計(jì)算域，其中Te為簡(jiǎn)諧外激勵(lì)作用周期。選取400～420Te的結(jié)果作為穩(wěn)態(tài)周期結(jié)果。4階龍格-庫(kù)塔算法的初始值取為

(28)

圖1為采用諧波平衡法與Galerkin截?cái)喾ǖ玫降木哂蟹蔷€性能量阱與梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)端點(diǎn)處的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。由圖1可知，兩種方法所得結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了Galerkin截?cái)喾ㄔ谇蠼獗疚哪Ｐ蜁r(shí)的正確性。

圖2 梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線Fig.2 Stable steady-state amplitude-frequency response curves of beam structure

圖3給出當(dāng)截?cái)鄶?shù)分別為2，4和6時(shí)梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線。由圖3可知，當(dāng)截?cái)鄶?shù)為4和6時(shí)，梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)結(jié)果已經(jīng)收斂。因此，在后續(xù)研究中，選取Galerkin截?cái)喾ǖ慕財(cái)鄶?shù)為N=M=4。

圖3 不同截?cái)鄶?shù)下梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線Fig.3 Stable steady-state amplitude-frequency response curves of beam structure with different truncated terms

3.2 非線性能量阱與激勵(lì)位置對(duì)梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)行為的影響

本節(jié)研究非線性能量阱以及激勵(lì)位置對(duì)梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)行為的影響。梁結(jié)構(gòu)邊界條件取值為kL=50 000 N/m,kR=500 N/m,KL=10 000 Nm/rad,KR=100 Nm/rad,CL=CR=0。梁結(jié)構(gòu)參數(shù)、外部激勵(lì)參數(shù)與3.1節(jié)中相同。

首先研究非線性能量阱參數(shù)對(duì)梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。圖4研究非線性能量阱對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振動(dòng)抑制效果。非線性能量阱參數(shù)取值為kNES=1×109N/m,CNES=1×10 Ns/m,mNES=0.001 kg,xNES=0.2 m。由圖4可知，非線性能量阱的存在能夠有效抑制梁結(jié)構(gòu)在第2階、第3階主共振區(qū)振動(dòng)。在第2階主共振區(qū)處非線性能量阱對(duì)左、右端點(diǎn)的吸振效果分別為41.9 %與46.3%；在第3階主共振區(qū)處非線性能量阱對(duì)左、右端點(diǎn)的吸振效果分別為66.0%與65.9%。

圖4 knNES=1×109 N/m3時(shí)梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的減振效果Fig.4 Vibration suppression effect for the stable responses at both ends of beam structure with knNES=1×109 N/m3

圖5研究了當(dāng)knNES=1×1010N/m時(shí)，非線性能量阱對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的減振效果。其他參數(shù)與本節(jié)前述部分一致。由圖5可知，此時(shí)非線性能量阱對(duì)梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)端點(diǎn)處的吸振效果較knNES=1×109N/m時(shí)增強(qiáng)，但在第2階主共振區(qū)處出現(xiàn)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。上述現(xiàn)象說(shuō)明非線性能量阱對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的振動(dòng)狀態(tài)影響顯著。為深刻揭示非線性能量阱對(duì)梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律，提高梁結(jié)構(gòu)的減振效果，研究其非線性剛度、阻尼以及位置對(duì)梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律就顯得尤為重要。此外，根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，外部激勵(lì)位置亦對(duì)梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)具有顯著影響。因此，在本節(jié)后續(xù)研究中，研究非線性能量阱的非線性剛度、阻尼、位置以及外部激勵(lì)位置對(duì)梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律。

圖5 knNES=1×1010 N/m3時(shí)梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的減振效果Fig.5 Vibration suppression effect for the stable responses at both ends of beam structure with knNES=1×1010 N/m3

圖6研究非線性剛度對(duì)系統(tǒng)端點(diǎn)處動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。非線性剛度由1×108N/m3變化至1×1012N/m3。外部簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率為48 Hz。其他參數(shù)與本節(jié)前述部分相同。由圖6可知，幅值-非線性剛度響應(yīng)曲線存在兩個(gè)不穩(wěn)定區(qū)，在不穩(wěn)定區(qū)內(nèi)系統(tǒng)呈現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。在一定范圍內(nèi)增加非線性能量阱的非線性剛度對(duì)系統(tǒng)的減振具有有益的影響。

圖6 梁結(jié)構(gòu)兩端幅值-非線性剛度響應(yīng)曲線Fig.6 Amplitude-nonlinear-stiffness response curves at both ends of beam structure

圖7分析了非線性能量阱阻尼變化對(duì)系統(tǒng)端點(diǎn)處動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。非線性能量阱的剛度取為1.5×1010N/m3。非線性能量阱阻尼由9 Ns/m變化至25 Ns/m。外部簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率為48 Hz。其他參數(shù)與本節(jié)前述部分相同。由圖7可知，當(dāng)非線性能量阱阻尼較小時(shí)，幅值-阻尼響應(yīng)曲線存在一個(gè)不穩(wěn)定區(qū)，在不穩(wěn)定區(qū)內(nèi)梁結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。增加非線性能量阱的阻尼能夠抑制梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為且對(duì)端點(diǎn)處減振具有有益的效果。

圖7 梁結(jié)構(gòu)兩端幅值-阻尼響應(yīng)曲線Fig.7 Amplitude-damping response curves at both ends of beam structure

圖8研究非線性能量阱位置變化對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。非線性能量阱的非線性剛度取為1×1010N/m3。非線性能量阱位置由0.1 m變化至0.9 m。外部簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率為48 Hz。其他參數(shù)與本節(jié)前述部分相同。由圖8可知，當(dāng)非線性能量阱靠近較硬側(cè)邊界時(shí)，幅值-NES位置響應(yīng)曲線呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)單周期狀態(tài)。當(dāng)非線性能量阱靠近較軟側(cè)邊界時(shí)，幅值-NES位置響應(yīng)曲線出現(xiàn)一個(gè)不穩(wěn)定區(qū)。在不穩(wěn)定區(qū)內(nèi)梁結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。合理的布置非線性能量阱的位置能夠避免梁結(jié)構(gòu)出現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為且對(duì)端點(diǎn)處的減振具有有益的效果。

圖8 梁結(jié)構(gòu)兩端幅值-NES位置響應(yīng)曲線Fig.8 Amplitude-NES-position response curves at both ends of beam structure

圖9研究激勵(lì)位置變化對(duì)梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)端點(diǎn)處動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。非線性能量阱的非線性剛度取為1×1010N/m3。外部簡(jiǎn)諧激勵(lì)位置由0變化至1 m，外部簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率為48 Hz。其他參數(shù)與本節(jié)前述部分相同。由圖9可知，幅值-激勵(lì)位置響應(yīng)曲線存在3個(gè)不穩(wěn)定區(qū)，在不穩(wěn)定區(qū)內(nèi)梁結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。合理的布置外部激勵(lì)位置能夠有效抑制梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為且對(duì)其端點(diǎn)處的減振具有有益的效果。

綜上所述，合適的非線性能量阱參數(shù)能夠有效抑制梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處第2階、第3階主共振區(qū)的振動(dòng)。在一定條件下，非線性能量阱的非線性剛度、阻尼、位置以及外部激勵(lì)位置均能夠顯著改變梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性。

3.3 非線性能量阱對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響

在工程中，梁結(jié)構(gòu)受到的外部簡(jiǎn)諧激勵(lì)通常由動(dòng)力設(shè)備引入。當(dāng)動(dòng)力設(shè)備、梁結(jié)構(gòu)安裝完成后其位置難以變更。梁結(jié)構(gòu)所受的外部簡(jiǎn)諧激勵(lì)位置亦難以變化。特別的，在船舶工程中，船舶軸系往往被簡(jiǎn)化為軸向載荷梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)特性分析，其所受的外部簡(jiǎn)諧激勵(lì)通常作用于軸系結(jié)構(gòu)端部。此外，非線性能量阱的布置通常取決于結(jié)構(gòu)的剩余空間且非線性能量阱的質(zhì)量調(diào)節(jié)范圍有限。綜合考慮工程實(shí)踐，本節(jié)研究非線性能量阱的非線性剛度、阻尼對(duì)梁結(jié)構(gòu)減振率的影響。在本節(jié)計(jì)算中，梁結(jié)構(gòu)參數(shù)、外部激勵(lì)幅值、外部激勵(lì)位置以及非線性能量阱質(zhì)量、位置參數(shù)與3.2節(jié)中相同。外部激勵(lì)頻率選取為12 Hz，46.4 Hz，103.8 Hz，分別對(duì)應(yīng)于線性系統(tǒng)的前3階固有頻率。定義梁結(jié)構(gòu)左、右端點(diǎn)處的減振率為

(29)

(30)

式中，uW(·)為無(wú)非線性能量阱時(shí)具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的橫向振動(dòng)位移。

圖10研究當(dāng)外部激勵(lì)頻率為12 Hz時(shí)非線性能量阱非線性剛度、阻尼對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響。非線性能量阱非線性剛度由1×107N/m3變化至1×1010N/m3。非線性能量阱阻尼由10 Ns/m變化至200 Ns/m。由圖10可知，12 Hz下梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的減振率隨著非線性能量阱的非線性剛度、阻尼的變化在小范圍內(nèi)波動(dòng)。非線性剛度、阻尼的變化對(duì)梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)較軟側(cè)邊界處的減振率微弱。對(duì)于外部激勵(lì)為12 Hz的情況，改變非線性能量阱的非線性剛度與阻尼對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的提升效果有限。

圖10 12 Hz下NES非線性剛度、阻尼對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響Fig.10 Influence of the NES nonlinear stiffness and damping on the vibration suppression rate at both ends of beam structure under 12 Hz

圖11研究外部激勵(lì)頻率為46.4 Hz時(shí)非線性能量阱非線性剛度、阻尼對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響。由圖11可知，46.4 Hz下梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處非線性能量阱非線性剛度、阻尼的增加能夠提高梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)端點(diǎn)處的減振率。非線性能量阱的非線性剛度對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響存在剛度敏感區(qū)。在剛度敏感區(qū)內(nèi)增加非線性剛度能夠顯著增加梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的減振率。對(duì)于本節(jié)所研究的梁結(jié)構(gòu)參數(shù)而言，其非線性剛度敏感區(qū)為1×109N/m3至1×1010N/m3。非線性能量阱的阻尼對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響存在臨界值。當(dāng)阻尼超過(guò)臨界值時(shí)，梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的減振率顯著提高。

圖11 46.4 Hz下NES非線性剛度、阻尼對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響Fig.11 Influence of the NES nonlinear stiffness and damping on the vibration suppression rate at both ends of beam structure under 46.4 Hz

圖12研究外部激勵(lì)頻率為103.8 Hz時(shí)非線性能量阱的非線性剛度、阻尼對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響。由圖12可知，103.8 Hz下梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處非線性能量阱非線性剛度、阻尼的增加能夠顯著提高梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)端點(diǎn)處的減振率，其最佳減振效果能達(dá)到90%以上。與圖11的分析類似，非線性能量阱的非線性剛度對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響存在敏感區(qū)。在剛度敏感區(qū)內(nèi)增加非線性剛度能夠顯著增加梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的減振率。非線性能量阱的阻尼對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響存在臨界值。當(dāng)阻尼超過(guò)臨界值時(shí)，梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的減振率顯著提高。值得一提的是，103.8 Hz外激勵(lì)頻率下的非線性剛度敏感區(qū)、阻尼臨界值與46.4 Hz外激勵(lì)頻率下的非線性剛度敏感區(qū)、阻尼臨界值重合。

圖12 103.8 Hz下NES非線性剛度、阻尼對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響Fig.12 Influence of the NES nonlinear stiffness and damping on the vibration suppression rate at both ends of beam structure under 103.8 Hz

綜上所述，當(dāng)激勵(lì)頻率為線性系統(tǒng)第1階固有頻率時(shí)，非線性能量阱非線性剛度、阻尼對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處隔振率的影響微弱。當(dāng)激勵(lì)頻率為線性系統(tǒng)第2、第3階固有頻率時(shí)，非線性能量阱非線性剛度、阻尼對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處隔振率的影響顯著。在其他條件一定時(shí)，合適的非線性剛度與阻尼的組合能夠顯著提高梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)端點(diǎn)處的減振率。在工程中，對(duì)于軸向載荷梁結(jié)構(gòu)，在進(jìn)行非線性能量阱的非線性剛度、阻尼進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，首先應(yīng)確定被控對(duì)象受到的外部激勵(lì)頻率。之后，研究非線性能量阱非線性剛度的剛度敏感區(qū)與阻尼臨界值。在上述基礎(chǔ)上，選取與被控對(duì)象振動(dòng)特性匹配的非線性剛度與阻尼參數(shù)，實(shí)現(xiàn)軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制。

4 結(jié) 論

本文建立了具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)預(yù)報(bào)分析模型。利用Galerkin截?cái)喾ㄇ蠼饬航Y(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，并與諧波平衡法所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的正確性，探討了Galerkin截?cái)鄶?shù)對(duì)結(jié)果穩(wěn)定性的影響。在此基礎(chǔ)上，研究了非線性能量阱參數(shù)與激勵(lì)位置對(duì)梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)、減振效果的影響規(guī)律。主要結(jié)論如下：

(1)基于Galerkin截?cái)喾ㄋ鶚?gòu)建模型能夠準(zhǔn)確預(yù)報(bào)具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，當(dāng)截?cái)鄶?shù)為4時(shí)梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)趨于收斂。

(2)非線性能量阱的引入能夠有效抑制梁結(jié)構(gòu)兩端頻率響應(yīng)曲線第2、第3階主共振區(qū)內(nèi)的振動(dòng)。

(3)非線性能量阱參數(shù)及激勵(lì)位置對(duì)梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)狀態(tài)影響顯著。非線性能量阱非線性剛度在一定范圍內(nèi)使得梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處呈現(xiàn)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為；非線性能量阱阻尼增加能夠有效抑制梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，并對(duì)梁結(jié)構(gòu)減振具有有益作用；合理的布置非線性能量阱的位置以及外部激勵(lì)位置能夠避免梁結(jié)構(gòu)出現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為且對(duì)梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的減振具有有益的效果。

(4)當(dāng)激勵(lì)頻率為線性系統(tǒng)第2階、第3階固有頻率時(shí)，非線性能量阱剛度、阻尼參數(shù)的增加可以改善梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的減振率；合適的非線性剛度、阻尼參數(shù)能夠顯著提高梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的減振率。