基于干擾觀測(cè)器的含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂抑振策略

尚東陽(yáng)， 李小彭， 尹 猛， 李凡杰， 周賽男

(1. 東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110819；2. 中國(guó)科學(xué)院深圳先進(jìn)技術(shù)研究院，廣東 深圳 518055)

柔性機(jī)械臂廣泛應(yīng)用于太空探索、核電設(shè)備檢修、工業(yè)裝配等諸多方面。文獻(xiàn)[1]所設(shè)計(jì)的“加拿大2號(hào)”機(jī)械臂是一種典型的柔性機(jī)械臂，它應(yīng)用在國(guó)際空間站中。文獻(xiàn)[2]提出了具有柔性雙臂的新一代移動(dòng)機(jī)器人平臺(tái)。目前機(jī)械臂中多采用帶有諧波減速器的一體化關(guān)節(jié)作為減速器。諧波減速器中存在著柔性部件以及彈性聯(lián)軸器，所以一體化關(guān)節(jié)存在著一定的扭轉(zhuǎn)剛度[3]。文獻(xiàn)[4]將這種關(guān)節(jié)的扭轉(zhuǎn)剛度加以考慮，提出了柔性關(guān)節(jié)的概念。含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂具有更輕的質(zhì)量，更大的回轉(zhuǎn)半徑等優(yōu)點(diǎn)。但是，柔性機(jī)械臂相比較于剛性機(jī)械臂，具有較小的抗彎剛度，在運(yùn)動(dòng)中更容易出現(xiàn)振動(dòng)的現(xiàn)象。含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂的設(shè)計(jì)和抑振研究已經(jīng)得到了許多學(xué)者的關(guān)注。

進(jìn)行含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂控制研究的前提是建立受控對(duì)象的動(dòng)力學(xué)模型。含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂是一個(gè)耦合的復(fù)雜非線性系統(tǒng)。文獻(xiàn)[5]將含有柔性關(guān)節(jié)的傳動(dòng)系統(tǒng)等效為雙慣量系統(tǒng)。據(jù)此，含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂也可以等效為含有柔性連桿的雙慣量系統(tǒng)。根據(jù)文獻(xiàn)[6]，柔性機(jī)械臂通?？梢缘刃С蔀闅W拉-伯努利梁。文獻(xiàn)[7-8]使用連續(xù)體振動(dòng)理論描述柔性機(jī)械臂的變形，并應(yīng)用拉格朗日原理建立其動(dòng)力學(xué)方程。除了使用拉格朗日原理外，文獻(xiàn)[9]使用哈密爾頓原理建立了柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程。隨著計(jì)算能力的提高，利用有限元法獲得柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程變成了可能[10]。在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，柔性機(jī)械臂還受到非線性摩擦力矩的影響。文獻(xiàn)[11]在柔性關(guān)節(jié)的建模中，考慮了電機(jī)端摩擦力矩的影響。文獻(xiàn)[12]使用LuGre模型描述機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受的摩擦。但使用LuGre模型描述非線性的摩擦力矩時(shí)，會(huì)忽略溫度、潤(rùn)滑等工況的影響。根據(jù)機(jī)械臂傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可知，摩擦主要源于轉(zhuǎn)動(dòng)軸系和軸承之間的摩擦力矩。軸承摩擦力矩[13]將溫度、軸向載荷、潤(rùn)滑等工況的因素考慮在內(nèi)。

機(jī)械臂通常采用三環(huán)控制的策略(位置環(huán)速度環(huán)電流環(huán))使轉(zhuǎn)角獲得穩(wěn)定的輸出。其中，機(jī)械臂的速度環(huán)多采用PI(proportional integral)控制策略[14]。隨著控制理論的發(fā)展，魯棒控制、自適應(yīng)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等策略都應(yīng)用于機(jī)械臂的控制。文獻(xiàn)[15]使用魯棒控制策略對(duì)柔性機(jī)械臂進(jìn)行控制。文獻(xiàn)[16]利用模糊規(guī)則整定PID(proportional integral derivative)控制參數(shù)，實(shí)現(xiàn)擬人機(jī)械臂的自適應(yīng)控制策略。文獻(xiàn)[17]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程的不確定部分，由此提高控制精度。為了降低摩擦力矩對(duì)于機(jī)械臂的影響，干擾觀測(cè)器(disturbance observer，DOB)廣泛的應(yīng)用于機(jī)械臂。文獻(xiàn)[18]證明了干擾觀測(cè)器能夠有效的觀測(cè)并補(bǔ)償伺服系統(tǒng)中摩擦力矩。相比較于其他抗干擾控制策略，干擾觀測(cè)器能夠有效的辨識(shí)出外界干擾。干擾觀測(cè)器的優(yōu)勢(shì)在于原理簡(jiǎn)單，需要設(shè)計(jì)的參數(shù)較少；缺點(diǎn)是不能有效地控制時(shí)變模型和強(qiáng)非線性的模型。對(duì)于一些時(shí)變系統(tǒng)，采用含有干擾觀測(cè)器的PI控制策略無(wú)法獲得良好的跟蹤效果。因此，采用含有干擾觀測(cè)器的PI控制策略適合于弱非線性且固定參數(shù)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。

本文使用連續(xù)體的振動(dòng)理論和拉格朗日方法建立含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，并將軸承摩擦力矩予以考慮。通過(guò)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理設(shè)計(jì)含有干擾觀測(cè)器的PI控制策略的超限補(bǔ)償控制律。通過(guò)含有干擾觀測(cè)器的PI控制策略抑制含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂的角速度波動(dòng)。相比于文獻(xiàn)[19]所建立的雙柔性機(jī)械臂伺服系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，本文將軸承摩擦因素加以考慮。在含有干擾觀測(cè)器的PI控制器的設(shè)計(jì)上，通過(guò)低通濾波器魯棒穩(wěn)定性的設(shè)計(jì)和引入超限補(bǔ)償控制律保證柔性機(jī)械臂的穩(wěn)定。

1 含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模

本文所建立的考慮關(guān)節(jié)柔性的柔性機(jī)械臂由伺服電機(jī)、柔性關(guān)節(jié)、柔性連桿組成，如圖1所示。圖1中：XOY為靜態(tài)坐標(biāo)系；x0Oy0為動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系；Ff為推力球軸承摩擦力矩；Tm為電機(jī)電磁力矩；Jm為電機(jī)端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θm為電機(jī)端轉(zhuǎn)角；θl為柔性連桿的轉(zhuǎn)角；Ks為柔性關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)剛度；w(x,t)為柔性連桿的變形。

圖1 雙柔性機(jī)械臂伺服系統(tǒng)示意圖Fig.1 Double flexible manipulator servo system

根據(jù)文獻(xiàn)[20]可知，柔性連桿的變形可以認(rèn)為是模態(tài)坐標(biāo)和模態(tài)函數(shù)的二維函數(shù)，其表達(dá)式如式(1)所示。

(1)

式中：φi(x)為第i階模態(tài)函數(shù)；ηi(t)為第i階模態(tài)坐標(biāo)；βi為模態(tài)函數(shù)特征根值，它與柔性連桿的固有頻率之間的關(guān)系，如式(2)所示。

(2)

式中：ωi為柔性連桿的第i階固有頻率；ρ為柔性連桿的體密度；A為柔性連桿的橫截面積；EI為柔性連桿的抗彎剛度。

柔性連桿在水平面轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，因?yàn)槿嵝缘拇嬖跁?huì)產(chǎn)生微小的變形。因此，柔性連桿上任意一點(diǎn)在靜態(tài)坐標(biāo)系的位置如式(3)所示。

(3)

式中：x為柔性連桿上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)；B(θl)為旋轉(zhuǎn)變化矩陣。

根據(jù)式(3)可得到柔性連桿的動(dòng)能，如式(4)所示。

(4)

同理，可得到柔性連桿的勢(shì)能，如式(5)所示。

(5)

含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂除了由柔性連桿組成外，還有柔性關(guān)節(jié)和伺服電機(jī)。因此，含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂的動(dòng)能應(yīng)該由柔性連桿的動(dòng)能和伺服電機(jī)的動(dòng)能共同組成，如式(6)所示。

(6)

同理，含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂的勢(shì)能應(yīng)由柔性連桿的彈性勢(shì)能和柔性關(guān)節(jié)的勢(shì)能組成，其表達(dá)式如式(7)所示。

(7)

根據(jù)拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程，可求得含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程，如式(8)所示。

(8)

軸承在機(jī)械臂傳動(dòng)系統(tǒng)中起到支撐連桿轉(zhuǎn)動(dòng)的作用。但是軸承內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)的摩擦力矩會(huì)影響伺服系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)精度。根據(jù)文獻(xiàn)[21]可得到軸承摩擦力矩的表達(dá)式，如式(9)所示。

Ff=M0+M1

(9)

式中：M0為與轉(zhuǎn)速相關(guān)的摩擦力矩；M1為載荷相關(guān)的摩擦力矩。

M0的表達(dá)式，如式(10)所示。

(10)

式中：v為軸承潤(rùn)滑阻尼系數(shù)；n為轉(zhuǎn)速；ωm為電機(jī)端的角速度；dm為軸承的平均直徑。

M1的表達(dá)式，如式(11)所示。

(11)

式中：C0為軸承額定靜載荷；p0為軸承的額定徑向載荷；p1為等效載荷，它取決于載荷的大小和方向；Fa為軸向載荷,Fr為徑向載荷。

含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。為了方便設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器，需要對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化。根據(jù)Shang等和李小彭等的研究可知，轉(zhuǎn)角和模態(tài)坐標(biāo)耦合的非線性項(xiàng)對(duì)于系統(tǒng)的影響較弱。因此可以忽略非線性的影響。

簡(jiǎn)化后的含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程，如式(12)所示。

(12)

為了設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器，需要獲得受控對(duì)象的傳遞函數(shù)。在忽略動(dòng)力學(xué)方程中的摩擦力矩后，對(duì)式(12)進(jìn)行Laplace變換，可以得到式(13)。

(13)

在只考慮一階模態(tài)的情況下，可以得到含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂的傳遞函數(shù)，如式(14)所示。

(14)

式中，Gn(s)為名義傳遞函數(shù)。

2 含有干擾觀測(cè)器的PI控制策略

2.1 基于魯棒穩(wěn)定性的干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

低通濾波器的設(shè)計(jì)是干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)的核心環(huán)節(jié)。低通濾波器應(yīng)該同時(shí)滿足魯棒穩(wěn)定性和抑制干擾的能力。

由于在獲得名義傳遞函數(shù)的過(guò)程中，對(duì)含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了一定的簡(jiǎn)化。除此之外，含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)力學(xué)模型的一些參數(shù)會(huì)發(fā)生改變。這種動(dòng)力學(xué)模型的簡(jiǎn)化和參數(shù)攝動(dòng)會(huì)造成名義模型和真實(shí)的伺服系統(tǒng)模型之間存在一定的誤差。根據(jù)Yun等的研究可知，名義模型和真實(shí)模型之間的關(guān)系可以用乘積攝動(dòng)描述，如式(15)所示。

Gp(s)=Gn(s)[1+Δ(s)]

(15)

式中： Δ(s)為攝動(dòng)；Gp(s)為實(shí)際的傳遞函數(shù)。

圖2 基于干擾觀測(cè)器的角速度控制回路Fig.2 Speed control loop based on disturbance observe

根據(jù)Yun等的研究，可以得到整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)攝動(dòng)的補(bǔ)靈敏度函數(shù)，如式(16)所示。

(16)

式中，TDOB(s)為干擾觀測(cè)器內(nèi)環(huán)的補(bǔ)靈敏度函數(shù)。

根據(jù)式(16)，可得到TDOB(s)的表達(dá)式，如式(17)所示。

TDOB(s)=Q(s)

(17)

系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的充分必要條件如式(18)所示。

‖Δ(jω)TDOB(jω)‖∞=‖Δ(jω)Q(jω)‖∞≤1

(18)

對(duì)式(18)進(jìn)行變形，可得到式(19)。若低通濾波器的設(shè)計(jì)滿足式(19)，則可以保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

(19)

低通濾波器可以寫成如式(20)所示的形式。

(20)

式中，α，β，χ為待設(shè)計(jì)參數(shù)。

通過(guò)調(diào)整系數(shù)，可以使低通濾波器滿足式(20)，保證系統(tǒng)獲得穩(wěn)定性。低通濾波器的伯德圖，如圖3所示。

圖3 低通濾波器伯德圖Fig.3 Bode diagram of the low-pass filter

通過(guò)圖3可知，低通濾波器的設(shè)計(jì)滿足式(20)，能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.2 超限補(bǔ)償控制律的設(shè)計(jì)

在僅考慮一階模態(tài)的情況下，根據(jù)式(15)可得到含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂的狀態(tài)空間方程，如式(21)所示。

(21)

式中：ω為廣義速度；u為雙柔性機(jī)械臂伺服系統(tǒng)的輸入力矩；d為由軸承摩擦力矩和其他未知因素所引起的干擾。

根據(jù)文獻(xiàn)[22]可知，由于電流環(huán)和速度環(huán)之間的帶寬較大，因此可以忽略電流環(huán)的影響。本文使用PI控制器對(duì)速度環(huán)進(jìn)行控制。PI控制器的控制律，如式(22)所示。

(22)

式中：Kp為控制器比例參數(shù)；Ki為控制器積分參數(shù)；e為誤差。

根據(jù)式(21)，可得到式(23)。

(23)

式中，f為伺服系統(tǒng)已知函數(shù)，它是一個(gè)有界函數(shù)，且具有上界。

根據(jù)式(23)可到標(biāo)準(zhǔn)的反饋控制率，如式(24)所示。

(24)

式中：ω*為期望速度矢量；E為誤差向量；D矩陣表示一組正矢量參數(shù)，滿足式(25)。

(25)

式中，k1和k2為正數(shù)向量。

本文所提出的控制策略的控制律由3個(gè)部分組成，如式(26)所示。

u=uPI+uDOB+uSC

(26)

式中，uSC為超限補(bǔ)償控制律，它用來(lái)保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

式(26)中，干擾觀測(cè)器的補(bǔ)償控制律的表達(dá)式，如式(27)所示。

(27)

為了使本文所提出控制策略的控制律能夠與標(biāo)準(zhǔn)的反饋控制律一致，應(yīng)用李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計(jì)PI控制器的超限補(bǔ)償控制律。

將式(27)代入式(23)，可得到式(28)。

(28)

根據(jù)式(28)可得到式(29)。

(29)

根據(jù)式(29)可得到式(30)。

(30)

定義李雅普諾夫函數(shù)如式(31)所示。

(31)

式中，P為正定對(duì)稱矩陣滿足式(32)。

(32)

式中，Q為給定的正定對(duì)稱矩陣。

根據(jù)式(31)可得到式(33)。

(33)

根據(jù)式(33)可得到式(34)。

(34)

式中，fU為已知函數(shù)f的上界取值。

設(shè)計(jì)超限補(bǔ)償控制律，如式(35)所示。

(35)

含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂的控制框圖，如圖4所示。

圖4 雙柔性機(jī)械臂伺服系統(tǒng)的控制框圖Fig.4 Control block diagram of the double flexible manipulator servo system

3 數(shù)值仿真分析與控制實(shí)驗(yàn)

本文以含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂為研究對(duì)象，通過(guò)數(shù)值仿真分析和控制實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文所提出控制方法對(duì)于抑制機(jī)械臂振動(dòng)的有效性。為了驗(yàn)證這種機(jī)械臂的控制效果，本文在柔性機(jī)械臂處于兩種不同長(zhǎng)度的情況下開展仿真和控制實(shí)驗(yàn)，具體參數(shù)如表1所示。

表1 含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂參數(shù)Tab.1 Parameters of the dual-flexible manipulator

表1 (續(xù))

3.1 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，受到摩擦力矩的影響。根據(jù)式(9)可知，軸承摩擦模型能夠?qū)囟?、?rùn)滑、軸向載荷等因素加以考慮。相較于LuGre[23]模型和Stribeck模型，軸承摩擦模型能夠更加準(zhǔn)確地描述伺服系統(tǒng)中摩擦力矩和轉(zhuǎn)速的函數(shù)關(guān)系。本文在數(shù)值仿真過(guò)程中以軸承摩擦力矩作為伺服系統(tǒng)所受到的外界干擾。為了驗(yàn)證伺服系統(tǒng)控制策略的跟蹤效果，采用正弦函數(shù)作為伺服系統(tǒng)角速度的期望輸入。以工況1的參數(shù)開展數(shù)值仿真分析，使用干擾觀測(cè)器觀測(cè)到的摩擦力矩和伺服系統(tǒng)的輸入力矩，如圖5所示。其中：圖5(a)表示經(jīng)過(guò)干擾觀測(cè)器辨識(shí)的摩擦力矩；圖5(b)表示系統(tǒng)的輸入力矩。

根據(jù)圖5(a)可知，經(jīng)過(guò)干擾觀測(cè)器辨識(shí)的摩擦力矩會(huì)出現(xiàn)微小的波動(dòng)，這是由于名義模型和實(shí)際模型存在誤差。但通過(guò)干擾觀測(cè)器中低通濾波器的魯棒穩(wěn)定性設(shè)計(jì)可以保證伺服系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)的穩(wěn)定性。由于靜摩擦因素的影響，在角速度方向改變的瞬間，軸承摩擦力矩會(huì)發(fā)生突變。摩擦力矩的突變引起伺服系統(tǒng)所需控制力矩的突變。在真實(shí)的控制中，控制器無(wú)法在瞬時(shí)改變伺服系統(tǒng)的輸入力矩。由此會(huì)引起伺服系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)速的波動(dòng)。干擾觀測(cè)器可以通過(guò)補(bǔ)償摩擦力的方式削弱摩擦力矩突變對(duì)于伺服系統(tǒng)的影響。根據(jù)圖5(b)可知，使用干擾觀測(cè)器后，伺服系統(tǒng)所需的輸入力矩的突變得到了明顯的改善。

圖5 摩擦力矩仿真結(jié)果Fig.5 SIMULINK results of friction torque

含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂末端執(zhí)行器的振動(dòng)除了與電機(jī)端的輸出轉(zhuǎn)速有關(guān)外，還和連桿端輸出轉(zhuǎn)速的波動(dòng)有關(guān)。同樣，根據(jù)工況1和工況2的參數(shù)開展數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，得到不同控制策略下仿真輸出結(jié)果，如圖6所示。其中：圖6(a)和圖6(b)表示連桿端的輸出轉(zhuǎn)速；圖6(c)和圖6(d)表示柔性連桿末端的變形。

圖6 仿真輸出結(jié)果Fig.6 SIMULINK results of the servo system

隨著機(jī)械臂長(zhǎng)度的增大，連桿的柔性也逐漸增強(qiáng)。根據(jù)圖6(a)和圖6(b)可知，在機(jī)械臂長(zhǎng)度較長(zhǎng)的情況下，連桿端的速度波動(dòng)明顯增加。但是使用本文所提出的控制策略能有效的減弱連桿端角速度的波動(dòng)。根據(jù)圖6(c)和圖6(d)可知，隨著機(jī)械臂長(zhǎng)度的增加，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中末端變形波動(dòng)程度也增大。使用本文所提出的控制策略，能有減弱末端變形的波動(dòng)。由此，驗(yàn)證了本文所提出的控制可以抑制含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂的振動(dòng)。

3.2 控制實(shí)驗(yàn)

本文搭建了含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂的控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，如圖7所示?？刂茖?shí)驗(yàn)平臺(tái)由伺服電機(jī)、柔性關(guān)節(jié)、柔性連桿、NI控制器、磁編碼器等組成。因?yàn)樘姿鱾鲃?dòng)的關(guān)節(jié)具有一定的扭轉(zhuǎn)剛度，因此將這種關(guān)節(jié)等效為柔性關(guān)節(jié)。NI控制器由NI-Crio-9053模塊、NI-9264模塊和NI-9401數(shù)據(jù)采集模塊組成。NI控制器中NI-Crio-9053作為下位機(jī)將控制信號(hào)輸入NI-9264模塊。伺服電機(jī)的輸出力矩由NI-9264模塊產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的脈沖信號(hào)控制。NI-9401數(shù)據(jù)采集模塊采集電機(jī)端和連桿端磁編碼器所測(cè)量的數(shù)據(jù)。并將所采集到的數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)傳入控制程序。

圖7 雙柔性機(jī)械臂控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.7 Control experiment for the double flexible manipulator

根據(jù)表1中的參數(shù)，設(shè)置機(jī)械臂的長(zhǎng)度。使用上述兩種不同的控制策略對(duì)含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂的角速度進(jìn)行控制。以正弦信號(hào)作為輸入信號(hào)，所得到的伺服系統(tǒng)連桿端的角速度和誤差的變化規(guī)律，如圖8所示。

圖8 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.8 Results of experiment control

根據(jù)圖8(a)和圖8(b)可知，隨著機(jī)械臂長(zhǎng)度的增加，使用PI控制控制策略已經(jīng)無(wú)法保證伺服系統(tǒng)獲得穩(wěn)定的角速度輸出。但是使用本文所提出的控制策略，仍然能夠保證伺服系統(tǒng)獲得穩(wěn)定的角速度輸出。根據(jù)圖8(b)和圖8(d)可知，使用干擾觀測(cè)器能有效的減小角速度方向改變時(shí)產(chǎn)生的誤差急劇增大的現(xiàn)象。因此，通過(guò)含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂的控制實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了本文所提出控制方法的有效性。

為了進(jìn)一步評(píng)價(jià)控制策略的控制效果，本文對(duì)誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。以誤差絕對(duì)值的平均值和誤差的標(biāo)準(zhǔn)差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。繪制了不同工況下的誤差指標(biāo)統(tǒng)計(jì)圖，如圖9所示。

圖9 誤差指標(biāo)統(tǒng)計(jì)圖Fig.9 Statistical graphs of errors indicators

根據(jù)圖9可知，無(wú)論在哪種工況下，本文所提出的控制策略都擁有更小的誤差絕對(duì)值平均值和誤差標(biāo)準(zhǔn)差。在機(jī)械臂較短的工況下，本文所提出的控制策略擁有更加明顯的優(yōu)勢(shì)。在工況1情況下，相比于PI控制策略，本文所提出的控制策略能夠使誤差絕對(duì)值平均值降低15.415%；使誤差標(biāo)準(zhǔn)差下降20.728%。在工況2情況下，本文所提出的控制策略能夠使誤差絕對(duì)值平均值降低7.244%；使誤差標(biāo)準(zhǔn)差下降14.248%。根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以證明本文所提出的控制策略能提高含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂角速度的控制精度。

4 結(jié) 論

本文以含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂為研究對(duì)象，使用拉格朗日方法建立了考慮軸承摩擦的動(dòng)力學(xué)方程。然后應(yīng)用含有干擾觀測(cè)器的PI控制策略抑制伺服系統(tǒng)角速度的波動(dòng)。在設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器的過(guò)程中，考慮了參數(shù)攝動(dòng)情況下的穩(wěn)定性。使用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理設(shè)計(jì)控制器的超限補(bǔ)償率。通過(guò)干擾觀測(cè)器辨識(shí)并補(bǔ)償伺服系統(tǒng)中的軸承摩擦力矩，以此減小摩擦力矩對(duì)輸出角速度的影響。仿真結(jié)果和控制實(shí)驗(yàn)表明：本文所提出的控制方法能夠抑制角速度的波動(dòng)。具體研究結(jié)論如下所示。

(1) 在含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂中，當(dāng)角速度的方向發(fā)生改變時(shí)，軸承摩擦力矩會(huì)發(fā)生突變。這種突變現(xiàn)象會(huì)加劇角速度的波動(dòng)，進(jìn)而增大誤差。

(2) 干擾觀測(cè)器可以有效的辨識(shí)出伺服系統(tǒng)中的摩擦力矩，并且干擾觀測(cè)器通過(guò)補(bǔ)償干擾力矩的方式，減弱摩擦力矩的影響。

(3) 根據(jù)仿真分析和控制實(shí)驗(yàn)可知，含有干擾觀測(cè)器的PI控制策略更適合于機(jī)械臂較長(zhǎng)的工況。本文所提出的控制策略在工況2的情況下，使轉(zhuǎn)速誤差絕對(duì)值的平均值下降11.33%；使誤差標(biāo)準(zhǔn)差下降17.488%。由此可知，本文所提出的控制策略能夠抑制含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂的角速度波動(dòng)，進(jìn)而減弱機(jī)械臂的振動(dòng)。

干擾觀測(cè)器的使用前提是受控對(duì)象能夠用傳遞函數(shù)表示。多柔性連桿的機(jī)械臂是一個(gè)強(qiáng)非線性的復(fù)雜模型，無(wú)法獲得它的傳遞函數(shù)?；诟蓴_觀測(cè)器的控制策略不適用于多柔性連桿的機(jī)械臂。但是非線性的干擾觀測(cè)器和其他抗干擾的控制策略可以用于控制多柔性連桿的機(jī)械臂。關(guān)于多柔性連桿的機(jī)械臂的建模和控制策略還需要進(jìn)行深入的研究。在未來(lái)，希望能夠?qū)⒅悄芸刂撇呗杂糜诙嗳嵝赃B桿機(jī)械臂的控制，以此解決強(qiáng)非線性模型的控制問(wèn)題。