彈簧振子鏈系統(tǒng)的振動局域化現(xiàn)象研究

趙 鵬， 紀(jì) 剛， 周其斗， 譚 路， 唐永壯

(海軍工程大學(xué) 艦船與海洋學(xué)院，武漢 430033)

周期系統(tǒng)在航空航天、土木建筑、機械工程等領(lǐng)域廣泛存在。理想周期系統(tǒng)(無阻尼)在頻域上表現(xiàn)為“通頻帶”和“止頻帶”特性。當(dāng)激振頻率處于通頻帶時，波動會無損失地傳遍整個系統(tǒng)。當(dāng)激振頻率處于止頻帶時，波動的幅值和能量會表現(xiàn)出衰減特征。

然而在實際生產(chǎn)中，由于材料不均勻性或制造誤差，實際結(jié)構(gòu)會與設(shè)計目標(biāo)存在偏差[1]，小偏差將對系統(tǒng)的振動傳遞特性有較大的影響。因為振動頻率即使處于理想周期系統(tǒng)的通頻帶內(nèi)，結(jié)構(gòu)的不規(guī)則性也會導(dǎo)致波的能量局限在小范圍內(nèi)，從而形成局部振蕩[2]。所以分析非周期系統(tǒng)波動的衰減機理可以為振動控制提供理論依據(jù)。

國外對振動局域化現(xiàn)象的研究較早，Hodges[3]最早開始在結(jié)構(gòu)領(lǐng)域中研究非周期結(jié)構(gòu)的局域化效應(yīng)。由于實際模型都可類比為彈簧振子鏈，因此Hodges和Woodhouse最早開啟了彈簧振子鏈的局域化研究，并通過試驗證明了非周期耦合彈簧振子系統(tǒng)存在局域化現(xiàn)象。在含有阻尼的局域化效應(yīng)研究方面，Langley[4]分析了含有阻尼一維結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)局域化，研究了阻尼對響應(yīng)的影響，發(fā)現(xiàn)阻尼與系統(tǒng)一定不規(guī)則程度引起的局域化系數(shù)具有相同的量級。Castanier等[5]研究了空間簡支梁中阻尼和非周期性對結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的綜合影響。以上研究內(nèi)容主要基于統(tǒng)計理論的數(shù)學(xué)手段開展證明，并通過蒙特卡羅數(shù)值方法模擬統(tǒng)計特性，因此未曾在實例模型中得到驗證。本文將從能量傳遞角度，分析具體實例模型振動幅值和能量的變化情況，定量化計算衰減因子并與模型驗證，同時深入分析無序和阻尼引起結(jié)構(gòu)振動衰減特性的一般規(guī)律。

本文將以含有對地剛度的彈簧振子鏈系統(tǒng)為研究對象，基于波傳遞理論，分析當(dāng)子單元對地剛度無序分布時的局域化系數(shù)，以及周期結(jié)構(gòu)存在阻尼時的振動衰減因子，分別給出具體的數(shù)學(xué)解析表達(dá)式。建立相關(guān)有限元模型，獲得各振子單元的頻響分析結(jié)果，通過比較理論衰減系數(shù)和振動幅值沿軸向的變化情況驗證相關(guān)結(jié)論的正確性。同時分析二者聯(lián)合作用下的振動衰減效應(yīng)，對比含有阻尼系數(shù)下周期和非周期系統(tǒng)質(zhì)量單元的頻率響應(yīng)曲線，深入分析阻尼和結(jié)構(gòu)無序?qū)φ駝觽鬟f性能的影響。研究內(nèi)容可以為工程設(shè)計中的振動控制提供技術(shù)支撐。

1 無阻尼彈簧振子鏈系統(tǒng)波動傳遞分析及衰減因子計算

1.1 具有等對地剛度的周期彈簧振子鏈系統(tǒng)

周期彈簧振子鏈系統(tǒng)的平面布置圖，如圖1所示。將系統(tǒng)的兩端進(jìn)行固支，外界激振力以幅值F，頻率ω作用在左端第一個彈簧處，每個振子質(zhì)量相同均為m，相互之間通過剛度系數(shù)為k的彈簧耦合，同時各自又經(jīng)由剛度為kd的彈簧與大地固接。

圖1 含有對地剛度的彈簧振子鏈系統(tǒng)Fig.1 Mass-spring system with ground stiffness

設(shè)第i個質(zhì)量單元的位移向量表示為xi，則系統(tǒng)的運動方程可以表示為

(1)

(2)

對于周期系統(tǒng)而言，狀態(tài)傳遞矩陣[T]處處相同，由文獻(xiàn)[6]知波動衰減系數(shù)為

γ衰=ln|λ|

(3)

式中，|λ|≥1，是傳遞矩陣[T]的特征值，從而解得波動衰減系數(shù)表達(dá)式

(4)

1.2 具有對地剛度無序分布的彈簧振子鏈系統(tǒng)

改變彈簧振子系統(tǒng)的周期性主要從兩個方面著手：①改變振子質(zhì)量的同一性；②將振子的對地剛度進(jìn)行無序設(shè)計。對地剛度的不一致性在工程中有更廣泛的應(yīng)用，這里將對地剛度進(jìn)行無序擾動。設(shè)第i個質(zhì)量單元的對地剛度為ki，引入無因次剛度變量Δfi=(ki-kd)/kd，此時單元間的傳遞矩陣不再處處相同，每一項均是隨機傳遞矩陣

(5)

(6)

(7)

傳遞矩陣變化為

Wi=[P]-1[T0+ΔTi][P]=
W0+[P]-1[ΔTi][P]

(8)

連續(xù)乘積為

(9)

運用式(6)得到彈簧振子鏈對地剛度無序分布下的局域化系數(shù)理論公式

(10)

式中，σ2為振子無因次剛度系數(shù)的統(tǒng)計方差值，在物理含義上表征為結(jié)構(gòu)的無序程度，無序程度越大，局域化系數(shù)越大。定量計算公式的推導(dǎo)過程就是對無窮多個隨機傳遞矩陣的乘積取近似，子單元數(shù)量越多，理論公式反應(yīng)的衰減效應(yīng)越精準(zhǔn)。

2 有阻尼彈簧振子鏈系統(tǒng)的衰減因子計算

第1章是假定彈簧在沒有阻尼條件下的波傳遞行為，單純考慮無序引起的局域化特征，然而實際結(jié)構(gòu)是有阻尼的，下面分析阻尼對周期彈簧振子鏈系統(tǒng)衰減效應(yīng)的影響。

將質(zhì)量塊與大地之間的耦合彈簧均賦予阻尼系數(shù)δ，阻尼的存在，使得材料剛度在數(shù)學(xué)上表達(dá)為復(fù)數(shù)形式，即彈簧具有復(fù)數(shù)彈性模量，波傳遞矩陣多了一虛部項

(11)

同理，應(yīng)用式(3)，得到阻尼引起的衰減因子為

(12)

簡化為

(13)

從公式可知，γ阻尼與阻尼系數(shù)成正比。在材料屬性確定的條件下，由阻尼引起的局域化效應(yīng)與激振頻率密切相關(guān)。阻尼衰減因子隨無因次頻率的變化關(guān)系圖，如圖2所示。通頻帶中央頻率對應(yīng)的理論值最小，向與止頻帶的交界處數(shù)值逐漸增大。

圖2 局域化系數(shù)隨無因次頻率的變化關(guān)系Fig.2 Variation of localization factor with frequency

3 利用實例模型的數(shù)值仿真驗證衰減效應(yīng)

3.1 周期系統(tǒng)通頻帶的數(shù)值驗證

對于周期彈簧振子鏈系統(tǒng)，可以看作是一個彈簧振子單元沿水平方向的周期性復(fù)制。由于每個單元間的波傳遞矩陣完全相同，波在系統(tǒng)中傳播不會存在散射，僅存在邊界處的反射。對于周期系統(tǒng)，在特定頻率下，當(dāng)傳導(dǎo)波和反射波滿足一定相位相協(xié)條件時，就會疊加形成模態(tài)，而這些模態(tài)往往會表現(xiàn)出聚集現(xiàn)象[9]。

為驗證上述結(jié)論，現(xiàn)對含有對地剛度的彈簧振子鏈系統(tǒng)進(jìn)行有限元分析。彈簧振子鏈模型的相關(guān)參數(shù)和材料屬性，如表1所示。

表1 周期彈簧振子鏈模型相關(guān)參數(shù)Tab.1 Related parameters of periodic spring oscillator chains

圖3 周期系統(tǒng)的通頻帶Fig.3 The passband of periodic system

3.2 對地剛度無序引起的衰減效應(yīng)驗證

周期系統(tǒng)中彈簧振子的對地剛度為1×105n/m，現(xiàn)設(shè)計擾動剛度的最大偏移量為1×104n/m，即對地剛度在區(qū)間(90 000,110 000)服從均勻分布，通過隨機函數(shù)程序給出99個振子的對地剛度系數(shù)，算出一組數(shù)據(jù)的無因次方差。將99個數(shù)值賦予給模型的對地剛度系數(shù)屬性，重新進(jìn)行有限元分析，得到的“能量-頻率-位置”關(guān)系的色譜圖，如圖4所示。對比周期系統(tǒng)的色譜圖可以發(fā)現(xiàn)，“亮帶”發(fā)生了明顯變化，即使在通頻帶也發(fā)生了能量局域化現(xiàn)象。

圖4 非周期系統(tǒng)能量色譜圖Fig.4 The contour map of aperiodic system

當(dāng)f=53 Hz,f=57 Hz時的系統(tǒng)振動幅值圖，如圖5所示。在第30～第40個振子間振幅基本衰減為0，由于對地剛度的無序特征，振動主要被控制在激振源附近。

圖5 典型頻率下的振動幅值圖Fig.5 Vibration amplitudes of typical frequency

對振動幅值取對數(shù)后，與理論預(yù)報結(jié)果進(jìn)行對比，如圖6所示。

圖6 振動幅值曲線同理論局域化系數(shù)的比較Fig.6 Comparisons of vibration amplitudes and theoretical results

即使在外界激振力不變的情況下，彈簧振子系統(tǒng)受迫振動的頻率響應(yīng)也隨著系統(tǒng)無序程度的大小和分布而變化。當(dāng)振子數(shù)量足夠多時，振幅會沿著振子鏈呈現(xiàn)指數(shù)衰減的趨勢。理論推導(dǎo)的預(yù)報結(jié)果反映了單元幅值在空間上衰減的整體平均效應(yīng)。

從圖6可知，由對地剛度無序引起的局域化系數(shù)理論公式與有限元結(jié)果相當(dāng)吻合，理論公式可有效地反映振動衰減特征。

3.3 阻尼引起的衰減效應(yīng)驗證

在周期彈簧振子鏈模型的基礎(chǔ)上賦予阻尼系數(shù)0.01，代入式(13)計算通頻帶內(nèi)各激振頻率對應(yīng)的衰減因子，與有限元模型分析得到的幅值擬合情況如圖7所示。

圖7 振動幅值變化同理論局域化系數(shù)的比較Fig.7 Comparisons of vibration amplitudes and theoretical results

阻尼使得周期系統(tǒng)不再存在通頻帶，振幅在整個頻域上的響應(yīng)都呈現(xiàn)出均勻的衰減趨勢。從理論預(yù)報與有限元模型分析的對比情況來看，阻尼引起的局域化理論公式非常精準(zhǔn)地反映出了波幅的變化規(guī)律。

4 阻尼和無序引起的振動衰減特性對比研究

對于周期有阻尼系統(tǒng)，每個振子之間的波傳遞矩陣都是相同的，局域化系數(shù)的表達(dá)式是精確的。而對于非周期無阻尼系統(tǒng)，每個振子之間的波傳遞矩陣是隨機擾動的，所以在公式推導(dǎo)中采用了Furstenberg定理的傳遞矩陣?yán)碚摚?dāng)隨機矩陣的數(shù)量趨于無窮大時，其連續(xù)乘積的極限值為一個常數(shù)[10]，從而使得非周期系統(tǒng)的局域化系數(shù)有解析值存在。所以由無序引起的局域化系數(shù)理論公式適用于子單元數(shù)量無限多的情況，其反應(yīng)了一個總體平均的效果。

由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)無序引起的局域化特征和阻尼引起的振幅衰減趨勢相似，可見結(jié)構(gòu)的無序性好像給系統(tǒng)賦予了阻尼，但又區(qū)別于阻尼，這是從結(jié)構(gòu)的角度改變了系統(tǒng)的振動特征。

現(xiàn)分析在阻尼和結(jié)構(gòu)無序聯(lián)合作用下的振動傳遞衰減現(xiàn)象，此時系統(tǒng)的波傳遞矩陣同時包含了阻尼項和無序項，總的衰減因子由兩者共同貢獻(xiàn)

(14)

在3.2節(jié)非周期彈簧振子鏈模型的基礎(chǔ)上賦予不同的阻尼系數(shù)0.000 1，0.001，0.01和0.1，觀察在通頻帶中央頻率f=55 Hz處，無序和阻尼聯(lián)合作用下的局域化效果與理論預(yù)報公式的對比情況，如圖8所示。

圖8 振動幅值變化同理論局域化系數(shù)的比較Fig.8 Comparisons of vibration amplitudes and theoretical results

通過觀察理論衰減線的斜率和振動幅值的變化趨勢可以看出，當(dāng)阻尼系數(shù)為0.000 1和0.001時，阻尼對振動傳遞的影響很小，系統(tǒng)的振動衰減特征主要由結(jié)構(gòu)無序貢獻(xiàn)，振幅大致遵循指數(shù)衰減的趨勢。隨著阻尼系數(shù)增大為0.01時，阻尼和無序?qū)钟蚧呢暙I(xiàn)近乎相等，振幅變化比較平穩(wěn)，但有個別響應(yīng)分布在理論預(yù)報結(jié)果的兩側(cè)。當(dāng)阻尼系數(shù)為0.1時，振幅變化非常平穩(wěn)，嚴(yán)格按照指數(shù)規(guī)律衰減，此時系統(tǒng)的局域化效應(yīng)主要由阻尼決定(見圖8(d))。

這說明由結(jié)構(gòu)無序引起的空間衰減是指數(shù)漸近的，理論預(yù)報公式反映了大量數(shù)據(jù)下的平均效果，所以個體的實現(xiàn)可能與理論結(jié)果有一定的偏差。另一方面，阻尼在每個子單元處都是相同的，振動會沿著各單元產(chǎn)生均勻的衰減，阻尼局域化預(yù)報公式是精準(zhǔn)的。

在分析了單頻激振下所有質(zhì)量單元的響應(yīng)后，現(xiàn)在單獨分析某一子單元在一系列激振頻率下的振動行為。選擇對地剛度最大擾動量10%，阻尼系數(shù)0.01，由99個彈簧振子組成的系統(tǒng)。第1個和第25個質(zhì)量單元的頻率響應(yīng)，如圖9所示。

圖9 振動幅值隨頻率的變化曲線Fig.9 Variation curves of vibration amplitudes with frequency

觀察第1個振子的頻率響應(yīng)曲線可知，結(jié)構(gòu)在通頻帶(51～59 Hz)處的響應(yīng)幅值更大，并且通帶內(nèi)存在幾個峰值。因為在這些頻率下，局部模態(tài)在第1個質(zhì)量單元附近被激發(fā)。圖9中虛線為相同阻尼系數(shù)下的周期系統(tǒng)，波峰數(shù)量明顯少于非周期系統(tǒng)。在大部分頻率范圍內(nèi)，非周期結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出了更大的響應(yīng)，這說明非周期系統(tǒng)在靠近激振源附近處的能量更大，根據(jù)能量守恒原理，遠(yuǎn)離振源處的能量會很小，即振動被“局域化”。結(jié)構(gòu)無序?qū)е铝藛卧翟诳臻g上的衰減，因為傳遞過程中能量在每個單元處都存在散射。遠(yuǎn)離中通帶時，能量的散射更為普遍，這也從理論公式中得到證明，因為通頻帶邊緣處無序局域化系數(shù)達(dá)到最大值。

非周期結(jié)構(gòu)下第25個振子的頻響曲線明顯不同于第1個振子，其在形狀上更趨向于周期結(jié)構(gòu)，傳遞到第25個振子處的能量已經(jīng)衰減很多，但響應(yīng)比周期結(jié)構(gòu)更小。可以觀察到無序引起空間振幅衰減的基本性質(zhì)，結(jié)構(gòu)無序會使能量在單元處發(fā)生隨機散射，相比于周期結(jié)構(gòu)，響應(yīng)在激振源附近更大，在遠(yuǎn)離激振源的位置更小。

5 結(jié) 論

本文以彈簧振子鏈為研究對象，研究了對地剛度無序分布和阻尼對結(jié)構(gòu)振動傳遞特性的影響。分別推導(dǎo)出了二者引起的振動衰減系數(shù)，并通過有限元分析實例模型驗證了相關(guān)結(jié)論，深入分析了無序和阻尼對系統(tǒng)振動傳遞特性影響的一般規(guī)律。

(1)γ阻尼的表達(dá)式非常精準(zhǔn)地反映了振動幅值的變化情況，因為系統(tǒng)的傳遞矩陣是確定的。而γ無序推導(dǎo)過程中運用了統(tǒng)計擾動理論，得到的是近似解，反映了大量數(shù)據(jù)下的平均衰減效應(yīng)。

(2) 結(jié)構(gòu)的無序會產(chǎn)生與阻尼類似的振動衰減效應(yīng)，但阻尼和無序引起局域化特征的物理機制是不同的。阻尼使得激振能量在系統(tǒng)中均勻耗散，每個單元處的衰減效果相同。然而對于無序結(jié)構(gòu)，由于每個子單元處的阻抗不同，入射波會在每個振子處發(fā)生散射，并且散射量不相同，從整體平均效果上看，空間振動幅值會呈現(xiàn)指數(shù)衰減的趨勢。

(3) 阻尼會使振動能量發(fā)生耗散，而結(jié)構(gòu)無序是將振動能量局限在一定區(qū)域，并沒有使能量減小，利用結(jié)構(gòu)無序的局域化效應(yīng)可以實現(xiàn)振動傳遞的控制。此時若在振源附近敷設(shè)高阻尼材料，可使結(jié)構(gòu)總的振動能量發(fā)生衰減，防止振動被局限化后應(yīng)力集中影響設(shè)備的使用壽命。