基于模態(tài)柔度的軟基水閘底板脫空范圍識(shí)別

李火坤，涂 源，龍思琪，方 靜，劉雙平，鄔鵬貞

(南昌大學(xué) 建筑工程學(xué)院，江西 南昌 330031)

我國(guó)的水閘多建于軟土、粉砂、砂礫石等軟基上[1-2]。水閘閘室底板直接與軟基接觸，在水流作用下極易發(fā)生不均勻沉降、滲透變形等現(xiàn)象[3-4]，導(dǎo)致水閘底板被水流淘空破壞[5-6]。目前，水閘底板的檢測(cè)技術(shù)主要有抽干水后的鉆孔取芯、超聲波法、探地雷達(dá)技術(shù)和動(dòng)態(tài)檢測(cè)法。鉆孔取芯為有損檢測(cè)；超聲波法和探地雷達(dá)為無(wú)損檢測(cè)，有較好的應(yīng)用前景，但存在一些局限性，如需在無(wú)水或水位極低的情況下進(jìn)行檢測(cè)，與水閘實(shí)際運(yùn)行情況不符合。陳鸚[7]率先應(yīng)用動(dòng)態(tài)檢測(cè)方法，以動(dòng)柔度及黏性阻力系數(shù)作為識(shí)別水閘地基脫空與否的參數(shù)，試驗(yàn)結(jié)果表明該方法可行，但要求水閘滿足一定的條件；黃錦林等[8]基于響應(yīng)面數(shù)值代理模型提出了一種軟基水閘脫空范圍反演識(shí)別方法，將水閘固有頻率和振型變化率組合作為動(dòng)力學(xué)敏感特征量，并建立水閘底板脫空反演的目標(biāo)函數(shù)，反演識(shí)別出軟基水閘底板的脫空區(qū)域；李火坤等[9]基于多參數(shù)變量的脫空響應(yīng)面數(shù)學(xué)模型，改進(jìn)了軟基水閘底板脫空參數(shù)與水閘動(dòng)力學(xué)參數(shù)之間的非線性數(shù)學(xué)代理模型和脫空參數(shù)反演的目標(biāo)函數(shù)，并建立了實(shí)體物理水閘模型進(jìn)行脫空反演識(shí)別與模型驗(yàn)證。但構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)時(shí)，各階固有頻率與各測(cè)點(diǎn)模態(tài)振型之間的權(quán)重取值不一，尚無(wú)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，一定程度上影響了反演結(jié)果的穩(wěn)定性。因此，需要進(jìn)行敏感性分析進(jìn)一步確定底板脫空診斷的動(dòng)力學(xué)敏感特征量。

目前，大量研究者采用動(dòng)力學(xué)診斷方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測(cè)，通過(guò)振動(dòng)響應(yīng)的模態(tài)參數(shù)信息變化確定結(jié)構(gòu)損傷位置，使用較廣泛的模態(tài)參數(shù)及其衍生量有固有頻率、模態(tài)振型、模態(tài)曲率、模態(tài)應(yīng)變能、模態(tài)保證準(zhǔn)則（MAC）和模態(tài)柔度等，但不同參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)損傷敏感度差別較大。早期多以固有頻率和振型作為結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的模態(tài)信息，但頻率與振型對(duì)結(jié)構(gòu)損傷的靈敏度并不高，尤其是針對(duì)細(xì)微損傷時(shí)，采用頻率與振型識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷的效果不佳[10]。Pandey 等[11-12]提出了一種基于結(jié)構(gòu)柔度矩陣變化的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法，僅采用低階固有頻率和質(zhì)量歸一化的振型就可以準(zhǔn)確計(jì)算出結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，并借助梁模型進(jìn)行柔度方法驗(yàn)證，試驗(yàn)結(jié)果表明該方法可對(duì)結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行識(shí)別及定位，這為結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別提供了新思路。Zhao 等[13]對(duì)固有頻率、模態(tài)振型和模態(tài)柔度的靈敏度分析比較，認(rèn)為模態(tài)柔度對(duì)結(jié)構(gòu)的損傷更為敏感。楊秋偉等[14]總結(jié)了近20年基于柔度變化的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法、各種基于柔度或其衍生量方法的基本原理和主要計(jì)算式，并進(jìn)行了分類和歸納，比較了各類柔度方法的優(yōu)點(diǎn)和不足。

本文引入對(duì)結(jié)構(gòu)損傷更加敏感的模態(tài)柔度作為水閘底板脫空動(dòng)力學(xué)敏感特征量，進(jìn)一步改進(jìn)水閘底板脫空參數(shù)反演的目標(biāo)函數(shù)，并基于遺傳算法對(duì)該目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)求解，反演識(shí)別出水閘底板脫空區(qū)域。

1 模態(tài)柔度法的基本原理與計(jì)算

柔度的物理意義是單位力作用下作用點(diǎn)處的位移，根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論，結(jié)構(gòu)的模態(tài)柔度矩陣F為：

式中：K為結(jié)構(gòu)剛度矩陣； ?i為第i階質(zhì)量歸一化的模態(tài)振型； ωi為第i階模態(tài)角頻率；n為結(jié)構(gòu)自由度。

由式（1）可知，模態(tài)柔度與固有頻率成反比，且模態(tài)柔度對(duì)結(jié)構(gòu)低頻動(dòng)力參數(shù)的改變比較敏感，而結(jié)構(gòu)固有頻率隨著模態(tài)階數(shù)的提高而增大，因此，模態(tài)柔度矩陣的主要成分是低階模態(tài)參數(shù)信息。在實(shí)際工程中，高階模態(tài)難以獲取，可通過(guò)低階模態(tài)信息計(jì)算獲得[15]。

在軟基水閘底板脫空損傷識(shí)別研究中，李火坤等[9]建立了軟基水閘室內(nèi)物理模型，通過(guò)布置多個(gè)測(cè)點(diǎn)獲得不同脫空工況下相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的多階頻率和模態(tài)振型，在此基礎(chǔ)上引入對(duì)結(jié)構(gòu)損傷（水閘底板脫空）更加敏感的模態(tài)柔度，將測(cè)得的各節(jié)點(diǎn)低階固有頻率和模態(tài)振型代入式（1），計(jì)算各節(jié)點(diǎn)相應(yīng)模態(tài)柔度值。

2 軟基水閘底板脫空反演識(shí)別方法

2.1 軟基水閘底板脫空區(qū)域的描述

根據(jù)文獻(xiàn)[8-9]，對(duì)軟基水閘底板脫空區(qū)域進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，借助脫空控制參數(shù)di（i=1，2，…，n）將水閘底板下的地基區(qū)域某一側(cè)平均分成n?1 段，控制參數(shù)大小即可控制水閘底板的脫空距離[8]，水閘底板地基脫空參數(shù)描述見圖1、圖2。

圖1 水閘底板地基脫空參數(shù)數(shù)學(xué)模型Fig.1 Mathematical model diagram of void parameters of sluice floor

圖2 水閘底板地基脫空參數(shù)示意Fig.2 Schematic diagram of void parameters of sluice floor

式中：x為坐標(biāo)值；dx為脫空參數(shù)；di為x取i時(shí)的脫空參數(shù)；L為x坐標(biāo)軸方向水閘底板長(zhǎng)度，即垂直水流方向底板長(zhǎng)度；n為脫空參數(shù)個(gè)數(shù)。

本文以單側(cè)脫空與相對(duì)側(cè)脫空為例，分別用5 個(gè)和10 個(gè)脫空控制參數(shù)di對(duì)其脫空范圍進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，并確定各工況下的底板脫空范圍的數(shù)學(xué)模型。

2.2 響應(yīng)面數(shù)學(xué)代理模型

響應(yīng)面法是一種解決非線性問(wèn)題的優(yōu)化方法，本文構(gòu)造顯式多項(xiàng)式來(lái)表達(dá)軟基水閘模態(tài)參數(shù)（各節(jié)點(diǎn)模態(tài)柔度值）與水閘底板脫空參數(shù)的響應(yīng)面數(shù)學(xué)模型。在考慮計(jì)算效率和兼顧響應(yīng)面模型計(jì)算精度的情況下，采用三階多項(xiàng)式響應(yīng)面數(shù)學(xué)方程建立脫空參數(shù)di與模態(tài)參數(shù)模態(tài)柔度F之間的關(guān)系，具體表達(dá)式如下：

式中：Fpq為軟基水閘不同脫空工況下的p階q節(jié)點(diǎn)的模態(tài)柔度值；為待反演識(shí)別的脫空參數(shù)，dil、diu分別為脫空范圍取值的上限和下限； α為響應(yīng)面數(shù)學(xué)方程待定系數(shù)。

本文采用拉丁超立方抽樣法在脫空參數(shù)取值范圍（0～0.65 m）內(nèi)抽取2 000 組參數(shù)樣本，并代入有限元模型中進(jìn)行模態(tài)分析，計(jì)算出不同脫空情況下的模態(tài)信息（水閘結(jié)構(gòu)固有頻率和相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的模態(tài)振型），并計(jì)算不同脫空情況下各節(jié)點(diǎn)的模態(tài)柔度值，根據(jù)式（3）采用多元回歸分析的方法擬合模態(tài)參數(shù)（即各節(jié)點(diǎn)模態(tài)柔度值）與水閘底板脫空參數(shù)之間的響應(yīng)面數(shù)學(xué)代理模型，并以此代替有限元模型進(jìn)行后續(xù)反演計(jì)算。

響應(yīng)面精度是評(píng)價(jià)響應(yīng)面模型合理性的重要指標(biāo)。本文根據(jù)有限元模型和響應(yīng)面模型計(jì)算的各節(jié)點(diǎn)模態(tài)柔度值之間的相對(duì)誤差，來(lái)確定響應(yīng)面精度是否滿足要求。響應(yīng)面數(shù)學(xué)代理模型的精度計(jì)算式如下：

式中：e為響應(yīng)面精度，響應(yīng)面精度控制在5‰以內(nèi)；yRS為響應(yīng)面模型計(jì)算值；yFEM為有限元模型計(jì)算值。

2.3 目標(biāo)函數(shù)及脫空參數(shù)反演流程

將有限元模型和響應(yīng)面模型計(jì)算的模態(tài)參數(shù)的相對(duì)偏差作為目標(biāo)函數(shù)J*，比較各測(cè)點(diǎn)響應(yīng)面數(shù)學(xué)模型計(jì)算值與有限元模型各節(jié)點(diǎn)的識(shí)別值，將軟基水閘底板脫空參數(shù)的反演表示為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化求解，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)如下：

式中：F?pq和Fpq分別為水閘測(cè)點(diǎn)q的第p階模態(tài)柔度識(shí)別值和響應(yīng)面代理模型計(jì)算值；N為水閘振動(dòng)響應(yīng)的測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)；M為所識(shí)別的模態(tài)階數(shù)。

本文采用遺傳算法對(duì)式（5）尋優(yōu)求解反演出水閘底板脫空參數(shù)。

3 基于有限元模型的模態(tài)柔度脫空反演

3.1 軟基水閘結(jié)構(gòu)模型

軟基水閘單孔實(shí)體水閘模型及測(cè)點(diǎn)位置見圖3。結(jié)構(gòu)模型基本尺寸為：長(zhǎng)1.44 m，寬1.36 m，底板前后設(shè)有齒槽，底板中部厚0.16 m，閘墩高1.60 m、厚0.16 m，水閘前、后部工作橋?qū)挿謩e為0.32 和0.40 m，厚0.04 m。在有限元模型中以附加質(zhì)量形式考慮工作橋等附屬結(jié)構(gòu)，采用溫克爾地基模型模擬軟基，定義Surface154 單元附著于水閘底板（即底板與地基接觸面）并通過(guò)設(shè)置彈性地基剛度（Elastic foundation stiffiess，EFS）值來(lái)模擬溫克爾地基。針對(duì)水閘數(shù)值模型的脫空部分，將EFS 值置為0 來(lái)實(shí)現(xiàn)底板脫空的模擬，有限元模型參數(shù)[9]見表1。

表1 有限元模型材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of finite element model

圖3 單孔實(shí)體水閘模型及測(cè)點(diǎn)布置Fig.3 Model of single hole solid sluice and measuring points

3.2 脫空工況設(shè)置

本文以單側(cè)脫空和相對(duì)側(cè)脫空兩種脫空類型為例設(shè)置3 種脫空工況，其中工況1 和工況2 為水閘底板靠近上游單側(cè)脫空，工況3 為水閘底板相對(duì)側(cè)脫空。水閘底板脫空范圍用脫空參數(shù)di（i=1, 2,…,n）描述（表2）。以工況1 為例，通過(guò)5 個(gè)控制參數(shù)點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的脫空控制參數(shù)確定出實(shí)際的脫空范圍（圖4）。圖4 是水閘底板數(shù)學(xué)描述模型，順?biāo)鞣较虻装彘L(zhǎng)度為1.44 m，垂直水流方向底板長(zhǎng)度為1.36 m，灰色部分表示脫空范圍，d1～d5表示脫空控制參數(shù)即向底板中間延伸的距離。

表2 各工況脫空控制參數(shù)Tab.2 Void parameters under different conditions單位：m

圖4 工況1 實(shí)際脫空范圍Fig.4 Actual void range on conditions 1

3.3 基于模態(tài)柔度的響應(yīng)面代理模型建立

本文通過(guò)修正的有限元模型建立水閘模態(tài)參數(shù)（模態(tài)柔度）與脫空參數(shù)之間的響應(yīng)面代理模型。水閘底板的單側(cè)脫空（工況1 和2）和相對(duì)側(cè)脫空（工況3）分別采用5 個(gè)和10 個(gè)脫空參數(shù)對(duì)水閘底板脫空區(qū)域進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，并采用拉丁超立方抽樣法隨機(jī)抽取2 000 組脫空控制參數(shù)di（i=1, 2,…,n）。實(shí)際工程中，當(dāng)?shù)装迕摽辗秶^(guò)大時(shí)，水閘結(jié)構(gòu)可能會(huì)出現(xiàn)整體傾覆倒塌，故而將脫空參數(shù)范圍設(shè)置為小于水閘底板尺寸的一半。因此，脫空控制參數(shù)di的取值范圍為0～0.65 m。

由式（1）可知，模態(tài)柔度與結(jié)構(gòu)固有頻率的平方成反比，模態(tài)柔度對(duì)結(jié)構(gòu)低頻模態(tài)的變化較敏感，因此，均采用前兩階模態(tài)信息進(jìn)行脫空范圍反演識(shí)別。將隨機(jī)生成的2 000 組脫空參數(shù)導(dǎo)入程序，在有限元模型中進(jìn)行模態(tài)分析計(jì)算，提取水閘的前兩階固有頻率與模態(tài)振型值，代入式（1）中計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的前兩階模態(tài)柔度值，再根據(jù)式（3）擬合響應(yīng)面模型代替有限元模型，并通過(guò)式（4）計(jì)算響應(yīng)面精度。各工況下典型測(cè)點(diǎn)響應(yīng)面精度見圖5，3 個(gè)工況的響應(yīng)面精度均滿足精度要求（5‰之內(nèi)）。

圖5 各工況典型測(cè)點(diǎn)柔度響應(yīng)面精度Fig.5 Response surface accuracy of modal flexibility of typical measuring points under different condition

3.4 脫空區(qū)域識(shí)別結(jié)果

計(jì)算各工況下水閘底板脫空參數(shù)的反演值，并與設(shè)置的實(shí)際脫空參數(shù)相比較（見表3），再將反演識(shí)別的脫空范圍與實(shí)際脫空范圍作對(duì)比（見圖6）。反演識(shí)別得出工況1～3 的脫空區(qū)域面積分別為0.518 976、0.439 178 和0.917 400 m2，實(shí)際脫空面積分別為0.518 5、0.435 2 和0.970 9 m2，相對(duì)誤差分別為0.11%、0.87%和5.49%。

表3 各工況下脫空參數(shù)反演結(jié)果Tab.3 Inversion results of void parameters on different conditions單位：m

圖6 各工況下脫空識(shí)別區(qū)域與實(shí)際區(qū)域?qū)Ρ菷ig.6 Comparison of the void area between the identified and actual results under different conditions

4 基于頻率與振型變化率的脫空反演

為了驗(yàn)證模態(tài)柔度法的識(shí)別效果優(yōu)于頻率振型法，以工況1 為例，按照文獻(xiàn)[8]的理論以水閘固有頻率和模態(tài)振型變化率組合為動(dòng)力學(xué)敏感特征量，并結(jié)合文獻(xiàn)[9]改進(jìn)后的響應(yīng)面模型和水閘底板脫空反演的目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行水閘底板脫空范圍反演識(shí)別，結(jié)果見表4。實(shí)際脫空面積為0.518 5 m2時(shí)，基于頻率和振型變化率識(shí)別和基于模態(tài)柔度識(shí)別的脫空面積分別為0.510 578 和0.518 976 m2，相對(duì)誤差分別為1.53%和0.11%。

表4 工況1 脫空參數(shù)反演結(jié)果Tab.4 Inversion results of void parameters under condition 1單位：m

為了更直觀地比較兩者的效果，識(shí)別的脫空范圍的比較見圖7。由圖7 可知，本文方法反演的脫空范圍更加精準(zhǔn)，相對(duì)誤差也更小。構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)時(shí)，基于頻率和振型變化率的方法需要更多的模態(tài)信息，且需要進(jìn)一步對(duì)頻率與振型變化率進(jìn)行靈敏度分析從而確定兩者在目標(biāo)函數(shù)中的權(quán)重系數(shù)，而本文方法則僅需前兩階模態(tài)柔度，無(wú)需考慮權(quán)重的問(wèn)題。反演過(guò)程中，頻率振型法反演結(jié)果不穩(wěn)定，在目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)求解過(guò)程中易出現(xiàn)局部最優(yōu)解，從而無(wú)法準(zhǔn)確識(shí)別出脫空范圍，而本文方法顯著提高了目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)求解的穩(wěn)定性，因此識(shí)別的脫空范圍與實(shí)際脫空范圍更吻合。

圖7 基于模態(tài)柔度與基于頻率振型脫空識(shí)別對(duì)比Fig.7 Comparison diagram of void identification based on modal flexibility and frequency mode

5 結(jié) 語(yǔ)

本文在已有的軟基水閘底板脫空動(dòng)力學(xué)檢測(cè)方法的基礎(chǔ)上，提出了一種以模態(tài)柔度為動(dòng)力學(xué)敏感特征量的水閘底板脫空反演識(shí)別方法，構(gòu)建了水閘底板脫空參數(shù)與模態(tài)參數(shù)即模態(tài)柔度之間的響應(yīng)面代理模型，以模態(tài)柔度作為動(dòng)力學(xué)敏感特征量，建立了水閘底板脫空反演的目標(biāo)函數(shù)并進(jìn)行脫空反演，該方法可以更準(zhǔn)確地識(shí)別出水閘底板脫空區(qū)域。

以水閘各階多節(jié)點(diǎn)模態(tài)柔度和各階多節(jié)點(diǎn)頻率與振型變化率組合為動(dòng)力學(xué)敏感特征量分別進(jìn)行水閘底板脫空范圍的反演，結(jié)果表明：模態(tài)柔度法反演識(shí)別的脫空范圍更加精準(zhǔn)，較頻率振型法反演識(shí)別結(jié)果的相對(duì)誤差更小，該方法同時(shí)還提高了目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)求解的穩(wěn)定性。