基于一種改進(jìn)本構(gòu)模型的橡膠超彈性溫度相關(guān)性研究

付鑫濤,王澤鵬,馬連湘

(青島科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,山東 青島 266061)

橡膠基材料廣泛應(yīng)用于各種工業(yè)應(yīng)用中。在這些應(yīng)用中,橡膠部件在一定溫度范圍內(nèi)承受各種載荷條件[1]。彈性元件溫度過高可能是由周圍環(huán)境或循環(huán)荷載期間內(nèi)部耗散產(chǎn)生的固有加熱引起的。此外,橡膠的低導(dǎo)熱性加劇了這種情況[2]。研究硫化橡膠在不同溫度下的力學(xué)行為,特別是在一定的高溫范圍內(nèi)的力學(xué)行為,具有十分重要的意義。填充橡膠本構(gòu)行為的溫度依賴性是影響橡膠性能的重要因素。然而,目前研究應(yīng)力-溫度關(guān)系的本構(gòu)模型還很少。

盡管填充和未填充橡膠在室溫下的力學(xué)響應(yīng)已經(jīng)得到了表征[3-4],但在一定的變形范圍內(nèi),如150%的應(yīng)變下,溫度對(duì)橡膠材料力學(xué)響應(yīng)的影響還很少被研究。特別是,橡膠的工作溫度通常在很大范圍內(nèi),這取決于應(yīng)用。大多數(shù)橡膠類材料的拉伸試驗(yàn)僅在室溫下進(jìn)行[5],因此,有必要研究這些材料在除室溫以外的各種溫度下的性能。此外,溫度的變化會(huì)影響填料和橡膠基體之間的相互作用。從以前的研究來看,填充橡膠表現(xiàn)出更復(fù)雜的溫度依賴特性,橡膠材料的性能顯著依賴于溫度[6-7]。重要的是建立一個(gè)本構(gòu)模型,可以清楚地揭示和描述彈性元件的溫度特性。

綜上所述,基于Arruda-Boyce模型[8],即八鏈模型,發(fā)展了一種新的改進(jìn)的八鏈模型,對(duì)4種填充有不同含量新工藝炭黑的橡膠在不同溫度下進(jìn)行了一系列單軸拉伸試驗(yàn)?；跍?zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),討論了溫度對(duì)橡膠復(fù)合材料力學(xué)性能的影響,對(duì)改進(jìn)的八鏈模型描述不同溫度下橡膠實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的能力進(jìn)行了評(píng)估,同時(shí)還討論了改進(jìn)八鏈模型參數(shù)的溫度相關(guān)性。

1 溫度對(duì)橡膠超彈性力學(xué)行為影響的實(shí)驗(yàn)研究

1.1 實(shí)驗(yàn)方案

采用4種不同含量炭黑填充的橡膠材料,橡膠基體均為天然橡膠,填充炭黑均為N234。4種橡膠的配方,只有炭黑的填充量不同。4種橡膠C0～C60中炭黑的質(zhì)量填充份分別為0、20、40、60份。實(shí)驗(yàn)用4種橡膠的代號(hào)和配方見表1。根據(jù)ISO 37—2017,制備啞鈴2型的試樣。每個(gè)試樣在實(shí)驗(yàn)前都需要經(jīng)過10次循環(huán)拉伸來消除Mullins效應(yīng),每種情況下的實(shí)驗(yàn)重復(fù)至少4次,試樣拉伸的速率為300 mm·min－1并且將獲得數(shù)據(jù)的平均值作為最終實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

表1 4種不同含量炭黑填充硫化橡膠的配方和代號(hào)Table 1 Formulas and codes of four kinds of carbon black filled vulcanized rubber

1.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及討論

實(shí)驗(yàn)的拉伸結(jié)果截取到150%的應(yīng)變范圍,150%的應(yīng)變范圍完全可以覆蓋絕大多數(shù)橡膠部件的變形情況。圖1繪制了表1中C20,C40,C60和C0共4種橡膠的不同溫度下名義應(yīng)力和名義應(yīng)變的關(guān)系曲線,溫度分別為293,313,333,353,363和383 K。從圖1可以看出,橡膠材料在一定變形范圍內(nèi)(150%應(yīng)變)的超彈性行為具有明顯的溫度相關(guān)性,對(duì)于炭黑填充的橡膠膠料C20,C40和C60,隨著溫度的增加,應(yīng)力-應(yīng)變曲線整體先下降,在超過某一臨界溫度后,隨溫度的進(jìn)一步升高而整體升高。也就是說,隨著溫度升高,橡膠試件首先變軟,超過某一臨界溫度后,隨著溫度的升高而變硬。即填充橡膠的整體模量隨著溫度先下降后上升。而對(duì)于未填充的天然橡膠,即C0,其應(yīng)力-應(yīng)變曲線隨著溫度的升高而上升,并且沒有轉(zhuǎn)折的臨界溫度。

圖1 4種類型橡膠在不同溫度下的單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.1 Uniaxial tensile stress-strain curves of four types of rubber compounds at different temperatures

圖2給出了在0.3,0.6,0.9,1.2共4種特定應(yīng)變下,橡膠試件的應(yīng)力-溫度關(guān)系圖。從圖2看出,對(duì)于C20,C40和C60 3種不同類型的炭黑填充膠料,它們?cè)诤愣☉?yīng)變下應(yīng)力的大小隨溫度升高先降低再增加。填充橡膠會(huì)先隨溫度的升高而變軟,而當(dāng)溫度升至某一特定溫度后,膠料又會(huì)隨著溫度的升高而逐漸變硬,即膠料的整體模量增加。且不同的炭黑填充質(zhì)量分?jǐn)?shù)的橡膠轉(zhuǎn)折溫度是不同的,可以看出炭黑填充量對(duì)橡膠力學(xué)特性的影響也很大。而對(duì)于未填充炭黑的橡膠C0,其在恒定應(yīng)變下的應(yīng)力隨著溫度的升高幾乎接近線性地增加。這與圖1結(jié)論一致。

圖2 4種類型的橡膠樣品在不同恒定應(yīng)變下的應(yīng)力-溫度曲線Fig.2 Stress-temperature curves at different constant strains for four types of rubber specimens

形成上述現(xiàn)象的原因?yàn)樘畛涮亢诤笙鹉z材料各組分分子間整體有3種作用力:炭黑粒子吸附作用性形成的剛性鍵,橡膠分子鏈段的構(gòu)象熵,還有各組分之間的相互作用力。在添加上炭黑粒子后,橡膠分子鏈吸附到炭黑上形成剛性鍵,這等效于增加了橡膠材料的分子鏈段數(shù)。在溫度比較低時(shí)對(duì)剛性鍵和構(gòu)象熵的影響不大,主要是分子間相互作用力起作用;但是溫度比較高時(shí)分子比較活躍而構(gòu)象熵增大,同時(shí)形成的剛性鍵也會(huì)增多。以上兩種聯(lián)合作用表現(xiàn)為填充橡膠先變軟后變硬的現(xiàn)象。而填充炭黑越多橡膠形成的剛性鍵越多,越不容易受溫度的影響,所以不同填充比橡膠的臨界溫度也不同。對(duì)于未填充的橡膠,其內(nèi)部的主要作用力為分子鏈構(gòu)象熵,而分子鏈間作用力很微弱,隨著溫度的升高構(gòu)象熵增加,在宏觀力學(xué)上表現(xiàn)為隨溫度升高橡膠整體剛度呈增加的趨勢(shì)。

2 橡膠超彈性力學(xué)行為溫度相關(guān)性的理論表征

2.1 改進(jìn)八鏈模型

一些應(yīng)變能函數(shù)可以引入修正項(xiàng)的方式來改善其某些方面的性能,如式(1)所示

式(1)中:W0為需要加入的修正項(xiàng)。

對(duì)血管這種超彈性材料進(jìn)行研究時(shí),發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)修正項(xiàng)可以很好地描述其超彈性力學(xué)行為的非線性特征,從而起到很好的修正作用[9-10]。由于血管和橡膠具有類似的超彈性特性,所以參考血管超彈性模型來修正現(xiàn)有橡膠超彈性模型是可行的。有相關(guān)文獻(xiàn)已證明指數(shù)應(yīng)變能密度函數(shù)具有較高的捕獲超彈性材料非線性力學(xué)特征的能力[11-12]。同時(shí)指數(shù)函數(shù)很容易滿足熱力學(xué)第二定律要求的應(yīng)變能密度函數(shù)的正定性[13]。DARIJANI等[14]通過考慮多項(xiàng)式、冪律、對(duì)數(shù)和指數(shù)形式的數(shù)學(xué)函數(shù)的線性組合,提出了16種應(yīng)變能密度函數(shù)。結(jié)果表明,與其他函數(shù)相比,包含指數(shù)項(xiàng)的應(yīng)變能密度函數(shù)即使參數(shù)很少也可以精確地?cái)M合可壓縮材料和尤其是不可壓縮材料的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

因此,對(duì)于本研究的橡膠超彈性材料引入如下形式的修正項(xiàng):

其中:

考慮到模型的簡(jiǎn)潔性需求,令k＝1,l＝0。

基函數(shù)W選用Arruda-Boyce八鏈模型,八鏈模型具有一些優(yōu)勢(shì),可以在某種水平上體現(xiàn)填充橡膠力學(xué)行為大致的非線性特征,但是八鏈模型在小變形和較大變形階段還存在明顯誤差,在其精確度上還有較大改進(jìn)空間[8,15]。為了提高模型的精度,使模型能夠具有預(yù)測(cè)性,實(shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算和擬合過程更加穩(wěn)定、便捷和準(zhǔn)確的目的,基于八鏈模型并結(jié)合血管超彈性材料本構(gòu)模型的優(yōu)點(diǎn),通過在八鏈模型中引入指數(shù)修正項(xiàng),提出了一種新的改進(jìn)的Arruda-Boyce模型(也可以稱為改進(jìn)的八鏈模型)。在修正項(xiàng)中引入了2個(gè)附加參數(shù),即全局相互作用因子a和b。修正項(xiàng)的參數(shù)表征填充橡膠內(nèi)部各組分之間的相互作用效果,即橡膠內(nèi)部分子鏈和分子鏈,炭黑和分子鏈,炭黑和炭黑之間相互作用情況?；趹?yīng)變能函數(shù)熱力學(xué)定義和分子鏈構(gòu)象熵的變化,得到改進(jìn)的八鏈模型如式(4):

在該模型中有4個(gè)參數(shù)μ,n,a和b待確定。其中λc為鏈伸長(zhǎng)。L－1(x)為逆Langevin函數(shù)。

結(jié) 合TRELOAR和RIVLIN發(fā) 表 的 理論[16-17],得到了改進(jìn)的八鏈模型在單軸拉伸變形狀態(tài)下的名義應(yīng)力與拉伸響應(yīng)的級(jí)數(shù)展開關(guān)系:

2.2 改進(jìn)八鏈模型對(duì)橡膠溫度相關(guān)性表征能力的評(píng)估

該模型對(duì)常溫下橡膠不同變形狀態(tài)的超彈性力學(xué)行為的表征能力以及在有限元中的應(yīng)用情況已經(jīng)得到驗(yàn)證[15]。采用改進(jìn)的八鏈模型對(duì)不同溫度下橡膠的超彈性進(jìn)行表征,來對(duì)其理論表征能力進(jìn)行評(píng)估。根據(jù)改進(jìn)八鏈模型的表達(dá)式和實(shí)驗(yàn)結(jié)果,采用Levenburg-Marquardt非線性最小二乘法對(duì)不同溫度下橡膠材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行擬合[18]。結(jié)果如圖3所示,依次給出了C20,C40,C60及C0的擬合結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的作圖。表2～表5給出了改進(jìn)八鏈模型對(duì)各膠料在不同溫度下的擬合參數(shù)及相關(guān)系數(shù)。從圖3及表2～表5的相關(guān)系數(shù)可看出,擬合曲線與實(shí)驗(yàn)曲線吻合得較好,這說明改進(jìn)八鏈模型可以較準(zhǔn)確地表征不同炭黑含量填充橡膠在不同溫度下的應(yīng)力應(yīng)變過程。

表5 橡膠C0在不同溫度下的模型擬合參數(shù)Table 5 Model parameters of rubber C0 at different temperatures

圖3 基于改進(jìn)八鏈模型的4種橡膠在不同溫度下應(yīng)力-應(yīng)變擬合曲線及相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.3 Stress-strain fitting curves and experimental data of four types of rubber compounds at different temperatures based on the improved eight-chain model

表2 橡膠C20在不同溫度下的模型擬合參數(shù)Table 2 Model parameters of rubber C20 at different temperatures

表3 橡膠C40在不同溫度下的模型擬合參數(shù)Table 3 Model parameters of rubber C40 at different temperatures

表4 橡膠C60在不同溫度下的模型擬合參數(shù)Table 4 Model parameters of rubber C60 at different temperatures

2.3 改進(jìn)八鏈模型參數(shù)的溫度相關(guān)性探索

目前,在改進(jìn)八鏈模型中,沒有顯式的計(jì)及分析溫度對(duì)橡膠在不同溫度下表征結(jié)果的影響。因此,改進(jìn)八鏈模型不能直接反映橡膠彈性與溫度的依賴性。改進(jìn)八鏈模型在不同溫度下的擬合曲線與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得很好。此外,針對(duì)不同填充比的橡膠,還得到了在不同環(huán)境溫度下的對(duì)應(yīng)的模型材料參數(shù)。為了便于該模型的應(yīng)用,有必要分析改進(jìn)八鏈模型參數(shù)的溫度相關(guān)性。因此,利用宏觀唯象理論探討了改進(jìn)八鏈模型中材料參數(shù)與溫度的關(guān)系。

將如表2～表5所示的參數(shù)和溫度之間的關(guān)系用圖4～7來表示。從圖4～7可以看出,隨著溫度的升高,改進(jìn)八鏈模型的4個(gè)參數(shù)呈現(xiàn)出不同的趨勢(shì)。根據(jù)圖形的特征和參數(shù)的物理意義分析變化趨勢(shì),可以得出以下結(jié)論:

1)根據(jù)Arruda-Boyce的八鏈理論,八鏈模型中的第2個(gè)參數(shù)n表示分子鏈中的鏈段數(shù),是與溫度無關(guān)的常數(shù),但實(shí)際上n是與溫度相關(guān)的[2,19-20]。從圖4～7看出,隨著溫度的升高,n的確也近似按二次函數(shù)的形式變化。并且針對(duì)不同填充比的橡膠,n的值隨溫度也是大致呈增加趨勢(shì),說明溫度越高膠料在拉伸過程中其內(nèi)部鏈段之間斷裂重組的形勢(shì)也越發(fā)劇烈。

2)參數(shù)μ和參數(shù)n呈現(xiàn)大致相同的趨勢(shì),參數(shù)μ表示剪切模量,說明隨著溫度的增加,橡膠分子鏈的構(gòu)象熵增加。雖然不同填充比橡膠增加的趨勢(shì)不同,但大致呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)。

3)參數(shù)a和b隨溫度的變化情況較為復(fù)雜,可以理解為不同橡膠材料隨溫度的變化,內(nèi)部相互作用不同。

4)根據(jù)圖4～7中模型參數(shù)隨溫度的變化曲線,由于考慮到不同膠料性質(zhì)的差異并且從擬合精確度出發(fā),統(tǒng)一用二次函數(shù)關(guān)系表征改進(jìn)八鏈模型參數(shù)的溫度相關(guān)性規(guī)律是比較合適的,這樣也可以保證模型的簡(jiǎn)潔性。

由此可見,可采用以下函數(shù)式來表示改進(jìn)八鏈模型中材料參數(shù)與溫度之間的定量關(guān)系:

其中A0、A1、A2,B0、B1、B2,C0、C1、C2和D0、D1、D2為改進(jìn)八鏈模型的溫度相關(guān)特征表征參數(shù),需要通過改進(jìn)八鏈模型的參數(shù)擬合得到。對(duì)于某一種炭黑填充量的橡膠在不同溫度下的改進(jìn)八鏈模型參數(shù),使用非線性最小二乘法按式(6)進(jìn)行擬合,可以得到某一種橡膠的改進(jìn)八鏈模型參數(shù)的二次函數(shù)擬合曲線,如圖4～圖7所示。針對(duì)系數(shù)隨溫度變化的二次函數(shù)擬合相關(guān)系數(shù)如表6所示。從根據(jù)圖4～圖7以及表6所提供的相關(guān)系數(shù),可以看出二次函數(shù)的數(shù)值擬合結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的材料參數(shù)基本吻合,因此使用二次函數(shù)數(shù)值擬合完全可以滿足實(shí)際應(yīng)用的精度要求。

表6 4種橡膠改進(jìn)八鏈模型參數(shù)的二次函數(shù)擬合相關(guān)系數(shù)Table 6 Quadratic function fitting correlation coefficients of parameters of the improved eight-chain model for four kinds of rubber

圖4 橡膠C20的改進(jìn)八鏈模型參數(shù)隨溫度的變化曲線及其相對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)擬合曲線Fig.4 Temperature-dependence curves of the improved eight-chain model parameters of rubber C20 and the corresponding fitting curves with quadratic function

圖5 橡膠C40的改進(jìn)八鏈模型參數(shù)隨溫度的變化曲線及其相對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)擬合曲線Fig.5 Temperature-dependence curves of the improved eight-chain model parameters of rubber C40 and the corresponding fitting curves with quadratic function

圖7 橡膠C0的改進(jìn)八鏈模型參數(shù)隨溫度的變化曲線及其相對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)擬合曲線Fig.7 Temperature-dependence curves of the improved eight-chain model parameters of rubber C0 and the corresponding fitting curves with quadratic function

圖6 橡膠C60的改進(jìn)八鏈模型參數(shù)隨溫度的變化曲線及其相對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)擬合曲線Fig.6 Temperature-dependence curves of the improved eight-chain model parameters of rubber C60 and the corresponding fitting curves with quadratic function

3 結(jié) 論

1)炭黑填充橡膠在一定變形范圍內(nèi)的超彈性力學(xué)行為存在著溫度相關(guān)性。與未填充炭黑的天然橡膠相比,炭黑填充橡膠的應(yīng)力-應(yīng)變曲線隨溫度的變化表現(xiàn)出更加復(fù)雜的力學(xué)特征,并且炭黑的填充量對(duì)橡膠的力學(xué)特性也影響很大。

2)對(duì)改進(jìn)八鏈模型表征橡膠超彈性力學(xué)行為與溫度的相關(guān)性能力進(jìn)行了分析和評(píng)估。利用改進(jìn)八鏈模型獲得的橡膠在不同溫度下的擬合應(yīng)力-應(yīng)變曲線與實(shí)驗(yàn)曲線吻合較好。這說明,改進(jìn)八鏈模型可以較準(zhǔn)確表征在一定變形范圍內(nèi)橡膠的溫度相關(guān)超彈性力學(xué)行為。

3)對(duì)填充橡膠在不同溫度下的改進(jìn)八鏈模型參數(shù)進(jìn)行研究后發(fā)現(xiàn),其參數(shù)存在明顯的溫度相關(guān)性規(guī)律,各參數(shù)隨溫度的變化趨勢(shì)大致呈二次函數(shù)分布。

4)改進(jìn)后的模型精度更高,可以應(yīng)用于有精度要求的應(yīng)用場(chǎng)景,如準(zhǔn)確預(yù)測(cè)輪胎下沉量和某些精密橡膠零件的機(jī)械性能表征。但改進(jìn)的八鏈模型的修正項(xiàng)是半經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)的,內(nèi)部相互作用參數(shù)a和b的具體物理意義不明確。發(fā)現(xiàn)和解釋校正參數(shù)a和b的物理意義將是一個(gè)非常有意義的研究方向。