基于學習路徑分析的“小數(shù)的意義”單元整體教學*
——如何促進數(shù)的意義的一致性理解

□尚飛 章勤瓊

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標》）指出，數(shù)學課程內(nèi)容的一大特點就是整體性。教材編寫與教學設(shè)計應(yīng)當突出核心內(nèi)容，呈現(xiàn)不同數(shù)學知識之間的實質(zhì)性關(guān)聯(lián)。從知識習得過程來看，整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)本質(zhì)上是一個整體；從數(shù)的組成角度而言，它們都是基于“計數(shù)單位”建構(gòu)的。數(shù)的發(fā)展過程就是計數(shù)單位的發(fā)展過程。整數(shù)和小數(shù)的計數(shù)單位是十、個、十分之一等，分數(shù)的計數(shù)單位就是分數(shù)單位。建構(gòu)整數(shù)、分數(shù)與小數(shù)的關(guān)鍵是計數(shù)單位。［1］但從當前的教材和教學來看，關(guān)于數(shù)的認識，整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)都各有其不同的習得方法，這些知識和方法之間內(nèi)在的整體性、一致性不足。

“小數(shù)的意義”在《2022年版課標》中被安排在第二、三學段進行教學。第二學段結(jié)合具體情境初步認識小數(shù)；第三學段結(jié)合具體情境探索并理解小數(shù)的意義，感悟計數(shù)單位?！靶?shù)的初步認識”安排在“小數(shù)的意義”之前，那學生要認識到什么程度？理解到什么程度？兩者之間有什么界限？在“小數(shù)的意義”教學前認識了整數(shù)、分數(shù)，認識數(shù)的關(guān)鍵是理解數(shù)的建構(gòu)方法，那么如何體現(xiàn)所有數(shù)都是基于計數(shù)單位來建構(gòu)的？另外，對“小數(shù)的初步認識”和“分數(shù)的初步認識”的學習，會給“小數(shù)的意義”的學習帶來“助力”還是“阻礙”？綜觀各版本教材理解小數(shù)的意義，基本上有兩條路徑：一是把“1”平均分成10份，每份是，也可以說是0.1；把“1”平均分成100份，每份是，也可以說是0.01；把“1”平均分成1000份，每份是，也可以說是0.001。如果只形成這樣的認識經(jīng)驗，學生在十進分數(shù)的改寫中會遇到困難。二是以分數(shù)的意義來認識小數(shù)，然而，分數(shù)本身有多種不同意義，在小數(shù)的再認識之前，學生對分數(shù)的認識是“部分與整體”關(guān)系的意義。此時學生理解的分數(shù)，是一種關(guān)系，并不是作為一個“數(shù)”。因此，學生并沒有認識基礎(chǔ)，從“數(shù)”的意義把分數(shù)與小數(shù)關(guān)聯(lián)，很難真正以計數(shù)單位來認識小數(shù)的意義。從單元整體教學的角度來看小數(shù)的意義這一內(nèi)容的教學，怎樣能讓學生更好地理解小數(shù)的意義？下面基于學習路徑的分析，對這一單元如何進行整體教學展開思考。

一、理解單元學習目標

（一）單元內(nèi)容概述

人教版教材將“小數(shù)的意義”作為獨立單元進行設(shè)置。北師大版教材沒有獨立的“小數(shù)的意義”單元，將其設(shè)置在四年級下冊第一單元“小數(shù)的意義和加減法”中。這兩個版本的教材分別將教學目標定位如下。

人教版：使學生理解小數(shù)的意義，認識小數(shù)的計數(shù)單位，會讀、寫小數(shù)，會比較小數(shù)的大?。皇箤W生掌握小數(shù)的性質(zhì)和小數(shù)點移動引起小數(shù)大小變化的規(guī)律；使學生會進行小數(shù)和十進復(fù)名數(shù)的相互改寫；使學生能夠根據(jù)要求會用“四舍五入法”保留一定的小數(shù)位數(shù)，求出小數(shù)的近似數(shù)，并能把較大的數(shù)改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。

北師大版：進一步認識小數(shù)的意義，會進行十進分數(shù)與小數(shù)的互化；會用小數(shù)表示常見的量，能把較小的單位轉(zhuǎn)化為較大的單位；理解和掌握小數(shù)的數(shù)位順序表，認識小數(shù)各個數(shù)位的計數(shù)單位及進率關(guān)系；理解并掌握小數(shù)的性質(zhì)；能比較小數(shù)的大小。

通過對比得出，本單元的學習內(nèi)容主要有三個：理解小數(shù)的意義，認識小數(shù)的計數(shù)單位；掌握小數(shù)的性質(zhì)并會比較小數(shù)的大小；知道小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小變化的規(guī)律并會進行名數(shù)的改寫。

（二）單元核心目標

“小數(shù)的意義”的教學重點是位值記數(shù)和“十分”“十進”［2］，這是學生理解小數(shù)的核心內(nèi)容。小數(shù)是通過十進分數(shù)來定義的，可以看成十進分數(shù)的另一種形式。另外，十進制的位值原則是小數(shù)產(chǎn)生的根本性質(zhì)，這也是整數(shù)與小數(shù)能得以溝通的原因。［3］教學中需要做好十進制從自然數(shù)向小數(shù)的過渡，即建立小數(shù)與“十分”“十進”的聯(lián)系。對“十分”“十進”的理解也就是對小數(shù)的意義的理解，有助于學生掌握小數(shù)的性質(zhì)、大小比較以及小數(shù)點移動引起小數(shù)大小的變化等內(nèi)容。

小數(shù)是基于十進位值制建構(gòu)的，認識小數(shù)的關(guān)鍵是認識基于十進制的小數(shù)計數(shù)單位。如果把整數(shù)、小數(shù)的計數(shù)單位有序排列在一起，如“102，101，100，10-1，10-2”，我們會發(fā)現(xiàn)：小數(shù)的計數(shù)單位是整數(shù)計數(shù)單位的自然延伸。認識計數(shù)單位，又可以關(guān)聯(lián)“小數(shù)的意義”整個教學內(nèi)容，比如：了解小數(shù)的性質(zhì)，0.3=0.30，因為恒等計數(shù)單位變了，計數(shù)單位的個數(shù)也變了；小數(shù)比大小，就是比較計數(shù)單位的個數(shù)，可以和整數(shù)比大小建立聯(lián)系；小數(shù)點位置移動引起小數(shù)大小變化，從0.25到2.5，計數(shù)單位變了，但計數(shù)單位的個數(shù)沒有變；等等。所以把理解小數(shù)的意義和認識小數(shù)的計數(shù)單位定為本單元的核心目標。

（三）核心目標具體化

1.小數(shù)的意義

小數(shù)的意義在學生理解小數(shù)知識中具有核心作用。對小數(shù)的意義的理解程度直接影響學生小數(shù)知識的掌握程度。從小數(shù)的意義層面講，小數(shù)意義可以分為數(shù)位意義和整體部分意義兩個維度。具體內(nèi)涵如下。

數(shù)位意義就是理解小數(shù)的構(gòu)數(shù)系統(tǒng)，在學習“小數(shù)的初步認識”時，學生已經(jīng)知道只有將“1”平均分成10份才能產(chǎn)生小數(shù)，其中的幾份就是零點幾。在這個基礎(chǔ)上，學生需要知道“1”可以繼續(xù)細分產(chǎn)生更小的數(shù)，每一個小數(shù)的計數(shù)單位都可以繼續(xù)“十分”得到更小的計數(shù)單位。

整體部分意義就是理解小數(shù)是十進分數(shù)的另一種形式，即理解小數(shù)的具體內(nèi)涵，通過小數(shù)反映部分與整體的關(guān)系，包括小數(shù)與整體部分意義的聯(lián)結(jié)，小數(shù)在不同情境下內(nèi)涵的反映。

2.認識小數(shù)的計數(shù)單位

認識小數(shù)計數(shù)單位的內(nèi)涵，包括：（1）知道“1”繼續(xù)細分可以產(chǎn)生新的計數(shù)單位，能使小數(shù)大小比較和整數(shù)大小比較建立聯(lián)系，它們比的都是相同計數(shù)單位的個數(shù)。（2）知道“小數(shù)點移動引起小數(shù)大小變化”的根本原因是計數(shù)單位變了，這個變化的規(guī)律，是由于有十進制，還有計數(shù)單位的意義。（3）知道單位換算的本質(zhì)就是等量代換，即大小不變——“計數(shù)單位變了，計數(shù)單位的個數(shù)也發(fā)了變化”。

二、確定學習起點

小學階段學生接觸的數(shù)有整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)，其中小數(shù)的學習是整個數(shù)系統(tǒng)的重要組成部分。理解小數(shù)的意義需要從整個數(shù)系統(tǒng)去思考，要像理解整數(shù)一樣，去理解小數(shù)的計數(shù)單位以及構(gòu)數(shù)系統(tǒng)。劉加霞教授將學生對基本知識的理解水平進行了如下劃分：（1）事實性水平——只知道所學內(nèi)容是什么；（2）概念性水平——能解釋為什么；（3）方法性水平——能溝通知識之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別，形成概括性認識；（4）主體性水平——能靈活運用，創(chuàng)造性地解決問題。

依據(jù)四個水平，對認識小數(shù)的水平進行了描述，并對學生進行了前測。有超過80%的學生處于事實性水平與概念性水平，能達到方法性水平與主體性水平的很少。學生具體的表現(xiàn)水平如表1。

表1 學生“小數(shù)的意義”理解水平情況

基于上述測評和統(tǒng)計分析，可以確定學生的學習起點和理解難點（如表2）。

表2 學生的學習起點和理解難點

因此，知道小數(shù)的本質(zhì)是“十分”，是學生理解小數(shù)意義的認知起點；用多種表征描述小數(shù)和把小數(shù)應(yīng)用到像時間這樣的非十進率的情境中，是學生的認知難點。

三、分析學習路徑

基于對小數(shù)的兩種意義，以及學生學習起點和理解難點的分析，對于“小數(shù)的意義”的學習，可以確定如下學習路徑。

首先，認識小數(shù)的數(shù)位意義并進行表征。第一，結(jié)合面積模型、立體模型等不同模型理解小數(shù)“十分”本質(zhì)。第二，在構(gòu)造數(shù)的規(guī)則上，小數(shù)和整數(shù)都是由各個數(shù)位的位值相加構(gòu)成，這與整數(shù)的構(gòu)數(shù)保持一致。第三，根據(jù)列出的數(shù)軸、面積、群組、貨幣以及抽象的數(shù)位位值情境下的小數(shù)示例，能互相聯(lián)結(jié)在每一種情境中說出各個數(shù)位的計數(shù)單位，會用不同表征方式表示同一個小數(shù)。表征小數(shù)是理解小數(shù)的重要活動，通過多樣化的表征，促使學生以不同思維方式進行轉(zhuǎn)化思考，最終抽象出它們的共同屬性，回歸到數(shù)位位值意義。在這個不斷轉(zhuǎn)化抽象的過程中，概念就形成了。

其次，能理解小數(shù)的整體部分意義。對整體部分意義的理解關(guān)鍵在于凸顯小數(shù)的單位量。在三年級學習“分數(shù)的初步認識”時，學生知道分母就是把單位量平均分成幾份，分子表示的是其中的份數(shù)，所以學生在學習分數(shù)的時候特別強調(diào)單位“1”的量。然而在學習小數(shù)內(nèi)容時，弱化了單位量的教學，導(dǎo)致學生對整體部分意義的理解有困難。所以，教師要加強小數(shù)與分數(shù)的關(guān)聯(lián)，重視小數(shù)中單位量的概念，可以提供多元化的情境凸顯小數(shù)的單位量，讓學生理解小數(shù)中的單位量其實就是分數(shù)中的整體“1”。

因此，可以分為以下三個方面逐步進行理解：第一，在純小數(shù)中凸顯單位量，純小數(shù)中沒有整數(shù)部分的干擾，通過分數(shù)與小數(shù)的聯(lián)系，讓學生明晰0.3的單位量是1；第二，在連續(xù)型和離散型情境中充分體驗十等分概念，比如情境可以是線段、月餅等連續(xù)型的，也可以是一盒餅干（包含10片、100片）等離散型情境，這樣學生不僅知道還會關(guān)注把單位量分成了10份、100份，其中的1份有可能是單個的，也有可能是多個的，加深對整體部分意義的理解；第三，在多元化情境中感知小數(shù)點兩邊數(shù)的大小及大小單位之間的關(guān)系，除了長度情境，盡可能提供離散型情境，小數(shù)點左邊表示的是幾個一，小數(shù)點右邊表示的是不超過“1”的部分，這個不超過“1”的部分還要看單位量來確定每份的數(shù)量，有助于理解十等分及整體部分的意義。

四、單元整體教學思考

綜上所述，結(jié)合單元學習目標和學生的學習起點，我們對教材內(nèi)容進行了優(yōu)化調(diào)整，把小數(shù)的意義分成兩個模塊來進行教學：一是數(shù)位意義。從小數(shù)意義的本質(zhì)“十分”引入，理解數(shù)位意義，幫助學生認識從整數(shù)到小數(shù)，由離散性特點轉(zhuǎn)化為連續(xù)性特點，也就形成了小數(shù)的稠密性特征。二是整體部分意義。設(shè)計多元化情境強化小數(shù)與分數(shù)的關(guān)系。突出整體部分意義的教學，意在讓學生形成“小數(shù)就是分數(shù)的一種特殊表示形式，兩者之間是等價的”的認識。每個模塊設(shè)置2～3課時，共6課時，與整合前教材課時相同。重點是讓學生從多元化角度理解小數(shù)，建立小數(shù)是分數(shù)的另一種特殊表示形式的概念。本單元具體教學內(nèi)容的安排如表3所示。

表3 “小數(shù)的意義”優(yōu)化后的單元整體安排和學習目標