歸納意識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用研究

丁 博

（甘肅省張掖育才中學(xué)，甘肅張掖 734000）

歸納意識(shí)是一種非常重要的數(shù)學(xué)思維方式，教師在新時(shí)期中學(xué)數(shù)學(xué)教改工作中有效滲透歸納意識(shí)，可以幫助學(xué)生更透徹地理解數(shù)學(xué)理論知識(shí)，同時(shí)提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)信息、數(shù)學(xué)問題的解決和處理效率。為此，教師應(yīng)當(dāng)將歸納意識(shí)和中學(xué)數(shù)學(xué)課程有機(jī)整合，構(gòu)建和實(shí)施多樣化的數(shù)學(xué)歸納探究活動(dòng)，同時(shí)銜接學(xué)生生活實(shí)際、興趣喜好以及先進(jìn)的教育資源，借助歸納意識(shí)的科學(xué)運(yùn)用，強(qiáng)效鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合思維能力，從而使學(xué)生輕松掌握新知、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。下面我們就對(duì)歸納意識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用展開研究。

一、歸納意識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用價(jià)值

歸納意識(shí)是數(shù)學(xué)意識(shí)的重要構(gòu)成部分。簡(jiǎn)單來(lái)講，歸納意識(shí)就是在多個(gè)現(xiàn)象中分析和發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象本質(zhì)的抽象思維方法，也可以解讀為數(shù)學(xué)探究過(guò)程中潛移默化養(yǎng)成的思維習(xí)慣和自發(fā)性意識(shí)。教師在中學(xué)數(shù)學(xué)教改中積極引入歸納意識(shí)，可以有效提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的思維敏銳性，切實(shí)增強(qiáng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思考、探究真理的意識(shí)品格。經(jīng)過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)情分析以及相關(guān)理論實(shí)踐調(diào)研，筆者總結(jié)整理了歸納意識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的三點(diǎn)運(yùn)用價(jià)值：

第一，運(yùn)用歸納意識(shí)有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獨(dú)立思考。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力至關(guān)重要，然而現(xiàn)階段大部分學(xué)生都欠缺數(shù)學(xué)獨(dú)立思考和探究空間，對(duì)教師的灌輸式教學(xué)產(chǎn)生較強(qiáng)依賴性，獨(dú)立思考技能發(fā)展極為緩慢。歸納意識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最顯著的運(yùn)用價(jià)值就是有助于引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)探究中展開獨(dú)立思考。歸納意識(shí)的運(yùn)用是基于各種數(shù)學(xué)自主探究活動(dòng)實(shí)施的，如教師可以結(jié)合具體課程向?qū)W生發(fā)布自主性數(shù)學(xué)探究任務(wù)，把歸納意識(shí)無(wú)形滲透到任務(wù)活動(dòng)中，教師此時(shí)就轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的組織者和策劃者，進(jìn)而使學(xué)生逐步養(yǎng)成良好的歸納意識(shí)和獨(dú)立思考習(xí)慣。

第二，運(yùn)用歸納意識(shí)可以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念掌握的成效。概念知識(shí)向來(lái)都是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的疑難板塊，由于數(shù)學(xué)概念教學(xué)方式缺乏新意和科學(xué)的理論支撐，學(xué)生研習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的畏難情緒。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用歸納意識(shí)，可以大幅提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握成效，如果把數(shù)學(xué)概念知識(shí)體系看作一個(gè)立體的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，那么歸納意識(shí)就是貫連各個(gè)數(shù)學(xué)概念節(jié)點(diǎn)的主線，如教師對(duì)學(xué)生策劃實(shí)施類比歸納活動(dòng)，就可以引導(dǎo)學(xué)生比較、分析、發(fā)現(xiàn)多個(gè)數(shù)學(xué)概念點(diǎn)之間的相互關(guān)系，由點(diǎn)及面地幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念模型以及認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這樣學(xué)生數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)得到鞏固，認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)能力也躍升到更高階梯，對(duì)彌補(bǔ)學(xué)生數(shù)學(xué)思想和概念知識(shí)體系缺陷很有幫助。

第三，運(yùn)用歸納意識(shí)能夠助力學(xué)生突破數(shù)學(xué)問題解答難點(diǎn)。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新的根本意圖是增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題的技能。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛引入歸納意識(shí)能夠助力學(xué)生突破數(shù)學(xué)問題解答難點(diǎn)，恰好對(duì)接中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)。如在數(shù)學(xué)解題教學(xué)探究中，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題中的條件和信息，然后鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)問題的解答方式展開集思廣益，這個(gè)過(guò)程能調(diào)動(dòng)學(xué)生的猜想和歸納意識(shí)，最后教師再指導(dǎo)學(xué)生整理、篩選、歸納繁雜的解題思路，進(jìn)而得到最便捷的問題解答方式。這樣，學(xué)生解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題的技能得到顯著發(fā)展，也能在數(shù)學(xué)研究活動(dòng)中自覺運(yùn)用歸納意識(shí)。

二、歸納意識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用措施

（一）運(yùn)用探究歸納模式，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)自主探究和歸納能力

探究歸納模式是探究學(xué)習(xí)與歸納意識(shí)的結(jié)合體，同中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念命題課程相適應(yīng)。教師可根據(jù)數(shù)學(xué)課程要點(diǎn)設(shè)計(jì)問題、任務(wù)等形式的探究活動(dòng)，然后組織學(xué)生開動(dòng)腦筋自主合作參與探究，最后教師再適度指導(dǎo)，讓學(xué)生結(jié)合歸納意識(shí)得出數(shù)學(xué)課程知識(shí)的一般規(guī)律，基于歸納意識(shí)實(shí)施探究歸納模式。這在鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)自主探究和歸納能力方面大有裨益。相關(guān)的教學(xué)流程和運(yùn)用措施如下：

第一，教師提出數(shù)學(xué)課程的探究問題或任務(wù)。探究歸納模式運(yùn)用以具體的數(shù)學(xué)問題或任務(wù)展開。在這個(gè)步驟，教師需要聯(lián)系數(shù)學(xué)課程內(nèi)容設(shè)計(jì)提出探究問題或任務(wù)。如在學(xué)生掌握兩項(xiàng)數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)后，教師就可以向?qū)W生發(fā)布探究問題：這兩個(gè)概念之間存在怎樣的關(guān)系？數(shù)值在運(yùn)算時(shí)存在哪些性質(zhì)？提問后，教師在白板屏幕上出示幾組和概念命題有關(guān)的數(shù)組，然后給出證明猜想和實(shí)驗(yàn)結(jié)果兩個(gè)空白項(xiàng)，為學(xué)生留出幾分鐘自主交流時(shí)間，使學(xué)生對(duì)探究歸納任務(wù)內(nèi)容產(chǎn)生總體感知。

第二，組織學(xué)生協(xié)同合作解決探究問題或任務(wù)。在這個(gè)步驟，教師可以將學(xué)生劃分成若干小組，鼓勵(lì)各組學(xué)生任意選取一組先前給出的數(shù)組，分別代入兩個(gè)命題概念。學(xué)生合作解決問題和任務(wù)期間，教師需要指導(dǎo)各組合理分工，如1-2人使用計(jì)算器計(jì)算數(shù)組結(jié)果，另外的組員負(fù)責(zé)復(fù)核和記錄，最后全體組員合力討論和分析數(shù)組計(jì)算結(jié)果，提出對(duì)結(jié)果之間關(guān)系、性質(zhì)的猜想，并整理成文字填寫到教師給出的證明猜想空白項(xiàng)中，編制成探究報(bào)告，這樣后續(xù)歸納小結(jié)的所用依據(jù)就準(zhǔn)備完畢［1］。

第三，匯報(bào)探究成果，歸納目標(biāo)概念命題。這個(gè)步驟需要集中運(yùn)用歸納意識(shí)，教師可以讓各組輪流派代表匯報(bào)探究成果，包括數(shù)組計(jì)算結(jié)果、對(duì)探究問題的證明猜想。教師可以將各組呈交的探究報(bào)告一起投影到白板屏幕上，這樣更便于學(xué)生歸納探討。最后，教師指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用歸納意識(shí)：“同學(xué)們，在各小組提交的計(jì)算結(jié)果和證明猜想中你能發(fā)現(xiàn)什么？能不能把這些證明猜想整合到一起，通過(guò)歸納總結(jié)回答老師先前提出的問題？”學(xué)生順延教師的啟發(fā)，積極闡述發(fā)現(xiàn)的結(jié)論及歸納數(shù)學(xué)概念命題的關(guān)系、運(yùn)算性質(zhì)，教師把學(xué)生歸納反饋填寫到實(shí)驗(yàn)結(jié)果空白項(xiàng)中，這樣一次高質(zhì)量的探究歸納活動(dòng)就實(shí)施完畢，學(xué)生也經(jīng)歷了運(yùn)用歸納意識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的過(guò)程［2］。

（二）運(yùn)用猜想歸納模式，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思辨能力和歸納意識(shí)

猜想歸納模式是歸納意識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要運(yùn)用途徑，與數(shù)學(xué)概念命題課程適應(yīng)性非常強(qiáng)，同時(shí)猜想歸納模式還可以給學(xué)生提供充裕的獨(dú)立思考空間。在該模式下，學(xué)生不再是直接去理解課本上現(xiàn)成的數(shù)學(xué)概念命題，而是通過(guò)自主觀察、分析、猜想和歸納，建立并形成數(shù)學(xué)概念模型，重現(xiàn)數(shù)學(xué)概念命題曲折的研究過(guò)程，學(xué)生更能理性思考和去偽存真，從而提高數(shù)學(xué)思辨能力和歸納意識(shí)。教學(xué)流程和措施如下：

第一，創(chuàng)設(shè)問題情境，提供觀察和猜想素材。在這一步驟，教師應(yīng)當(dāng)通過(guò)創(chuàng)設(shè)問題情境的方式吸引學(xué)生參與猜想歸納活動(dòng)。如教師可以利用圖片和短視頻為學(xué)生出示一道生活中的應(yīng)用題，然后創(chuàng)設(shè)一個(gè)解題列式情境：“同學(xué)們，認(rèn)真分析圖片和視頻材料中給出的已知、未知和隱含條件，大家能否聯(lián)系學(xué)過(guò)的一元二次方程知識(shí)，列出一元二次方程解題式？”學(xué)生短暫交流和思考后列出算式，教師追問：“同學(xué)們列式很快，老師要增加一點(diǎn)難度了，請(qǐng)大家求出這道方程式的兩根之和與兩根之積？”學(xué)生思維運(yùn)轉(zhuǎn)和計(jì)算后順利給出結(jié)果，這樣數(shù)學(xué)概念命題的觀察和猜想素材就具備了。接下來(lái)，教師發(fā)動(dòng)學(xué)生認(rèn)真觀察兩根之和與兩根之積的計(jì)算結(jié)果，分小組探討和猜想它們之間存在的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。各組學(xué)生反饋猜想結(jié)論后，教師可以再給出新的方程式，并在方程式數(shù)值上稍加變動(dòng)，比如把方程一次項(xiàng)系數(shù)從負(fù)數(shù)改成正數(shù)，或者把方程二次項(xiàng)系數(shù)改成不為1 的數(shù)值，指導(dǎo)學(xué)生把提出的猜想結(jié)論代入到新的方程式中，觀察結(jié)果是否符合猜想。學(xué)生驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)，針對(duì)第一道方程提出的兩根之和與兩根之積的猜想并不符合兩道新方程式的運(yùn)算規(guī)律，教師此時(shí)可以指導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)對(duì)新方程式的計(jì)算結(jié)果展開觀察和猜想，并反饋猜想結(jié)論，這樣學(xué)生手中就擁有至少三項(xiàng)猜想結(jié)論，歸納意識(shí)的運(yùn)用基礎(chǔ)建構(gòu)完成。

第二，教師引導(dǎo)歸納，學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念模型。在這一步驟，教師可以把一元二次方程的兩根之和與兩根之積研究主題寫在電子白板上，在后面畫一個(gè)醒目的問號(hào)，然后用問題啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用歸納意識(shí)：“同學(xué)們，上一環(huán)節(jié)大家針對(duì)一元二次方程兩根之和與兩根之積的計(jì)算規(guī)律展開猜想，在提出的猜想結(jié)論中大家是否有新的發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)大家運(yùn)用歸納法解答老師的問題?！痹趯W(xué)生對(duì)猜想結(jié)論實(shí)施總結(jié)歸納時(shí)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注方程一次項(xiàng)和二次項(xiàng)系數(shù)的變化，根據(jù)不同的系數(shù)情況歸納兩根之和與兩根之積的關(guān)系，這樣學(xué)生就在運(yùn)用歸納意識(shí)和自主思辨中，順利建立出一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的概念命題［3］。

（三）運(yùn)用類比歸納模式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)類比思想和解題能力

類比和歸納是數(shù)學(xué)研究中應(yīng)用最廣泛的思想方法，類比歸納模式幾乎適用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的所有課型。該模式簡(jiǎn)單來(lái)講就是先引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比法，類比具有相似性的數(shù)學(xué)概念、定理、代數(shù)式及圖形，然后再運(yùn)用歸納意識(shí)得出新的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)。實(shí)施該模式能夠有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)類比思想和解決實(shí)際問題的能力。具體運(yùn)用流程和策略如下：

第一，出示新舊數(shù)學(xué)知識(shí)引導(dǎo)學(xué)生類比。類比的應(yīng)用是建立在至少兩類數(shù)學(xué)事物或知識(shí)上的，所以教師必須先向?qū)W生出示類比材料。如在幾何圖形特點(diǎn)和性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，教師可以先在白板屏幕上展示學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的幾何圖形及其圖形特點(diǎn)，然后出示新課程中的幾何圖形，把和新舊圖形對(duì)應(yīng)的實(shí)物模型發(fā)放到學(xué)生手中，提出類比任務(wù)：“同學(xué)們，眼觀白板上的兩種圖形和手中的教具模型，想必大家感知到它們特征上存在一定共性，但又不完全相同，下面請(qǐng)大家分組類比這兩種圖形特征的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，看看哪組同學(xué)獨(dú)具慧眼！”學(xué)生合作類比期間，教師需要指導(dǎo)各組學(xué)生先把新舊圖形特征羅列在演算紙上，然后分別按照?qǐng)D形的邊、面、結(jié)構(gòu)特征順序展開觀察和類比，畫出兩種圖形草圖，把類比發(fā)現(xiàn)標(biāo)注在圖形的對(duì)應(yīng)部位，為后續(xù)歸納意識(shí)運(yùn)用做好鋪墊。

第二，基于類比結(jié)果引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用歸納意識(shí)。初步類比結(jié)束后，學(xué)生繪制的圖形草圖上基本反映出新舊幾何圖形特點(diǎn)的異同之處，教師此時(shí)可以發(fā)布?xì)w納任務(wù)：“同學(xué)們的圖形類比結(jié)果是正確的，但是草圖上對(duì)圖形特點(diǎn)異同信息的反映還比較零散，大家是否能夠通過(guò)歸納把這些零散信息串聯(lián)起來(lái)，完整闡述兩種幾何圖形特征的相同和不同點(diǎn)呢？”鑒于類比材料較為完備，學(xué)生運(yùn)用歸納意識(shí)的難度并不大，教師跟進(jìn)啟發(fā)和引導(dǎo)，讓學(xué)生對(duì)手中類比材料展開整理、篩選和融合，最終使用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言歸納概括新舊幾何圖形特征的共性和區(qū)別，這些都有益于學(xué)生良好類比和歸納思想意識(shí)的養(yǎng)成［4］。

（四）運(yùn)用演繹歸納模式，活化學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理和歸納思維

演繹和歸納是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最基本、最常用的推理方法。基于歸納意識(shí)運(yùn)用構(gòu)建演繹歸納模式，可以同步發(fā)展學(xué)生從一般到個(gè)別、從個(gè)別到一般的思維品質(zhì)，兩者之間的必然聯(lián)系極為緊密，對(duì)活化學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理和歸納思維都有極大的幫助。具體教學(xué)運(yùn)用流程和措施如下：

第一，借助問題引出演繹訓(xùn)練。演繹歸納模式和之前我們提出的三個(gè)歸納意識(shí)運(yùn)用方法相似，都需要將具體的數(shù)學(xué)問題作為歸納的出發(fā)點(diǎn)。教師在開展中，可以先根據(jù)數(shù)學(xué)研究?jī)?nèi)容出示問題，如在研究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相關(guān)教學(xué)中，教師就可以圍繞圓的幾何要素、定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等設(shè)置問題，然后向?qū)W生發(fā)布演繹訓(xùn)練內(nèi)容：“同學(xué)們，請(qǐng)大家運(yùn)用方程的形式描述曲線，運(yùn)用代數(shù)方法演繹推理老師設(shè)置的問題?！睂W(xué)生合作參與演繹訓(xùn)練時(shí)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生在演算紙上畫出圓的圖形，標(biāo)注上圓心點(diǎn)、半徑和有關(guān)數(shù)字、字母，列出兩點(diǎn)間的距離公式，這樣學(xué)生就初步完成了以歸納意識(shí)運(yùn)用為目的的演繹訓(xùn)練。

第二，指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)演繹訓(xùn)練過(guò)程歸納結(jié)論。在這個(gè)步驟，教師需要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)在演繹訓(xùn)練中列出的公式，分別在演算紙草圖上指出對(duì)應(yīng)的圓心和半徑，可以讓各組學(xué)生互問互答，然后在每個(gè)公式后方寫出對(duì)應(yīng)的圓心和半徑數(shù)值答案，組間傳閱對(duì)比無(wú)誤后，教師再啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用歸納意識(shí)得出結(jié)論，并把結(jié)論投影到白板上，鼓勵(lì)學(xué)生再回顧一遍整體的演繹和歸納過(guò)程，這樣學(xué)生邏輯推理和歸納意識(shí)就能獲得顯著強(qiáng)化［5］。

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在中學(xué)數(shù)學(xué)教改工作中運(yùn)用歸納意識(shí)不但有助于引領(lǐng)學(xué)生開展數(shù)學(xué)獨(dú)立性思考，也能提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念知識(shí)掌握成效，還能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題重點(diǎn)及難點(diǎn)的突破。為此，教師在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以著重運(yùn)用探究歸納、猜想歸納、類比歸納以及演繹歸納四個(gè)模式，將歸納意識(shí)滲透到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及思維發(fā)展的各個(gè)層面，培養(yǎng)學(xué)生自主探究、思辨能力、類比思想、解題能力以及邏輯推理思維，增強(qiáng)學(xué)生歸納意識(shí)和技能，從而使學(xué)生數(shù)學(xué)探究水準(zhǔn)邁入更高的層次。