基于反步滑模的偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈姿態(tài)控制

呂 碩，張慶振，郭云鶴，豐 碩

（1.北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100083；2.上海機電工程研究所，上海 201109）

0 引 言

偏轉(zhuǎn)彈頭控制是一種通過控制彈頭在導(dǎo)彈飛行過程中相對彈體軸線偏轉(zhuǎn)，從而產(chǎn)生導(dǎo)彈氣動控制力的技術(shù)［1］。傳統(tǒng)的空氣舵導(dǎo)彈控制技術(shù)普遍具有響應(yīng)速度慢、導(dǎo)彈機動能力不足的缺點，并且容易受到復(fù)雜氣流干擾的影響從而導(dǎo)致其控制效果變差。而偏轉(zhuǎn)彈頭控制作為一種特殊的控制方式，通過控制在空氣流中的整個導(dǎo)彈頭部的角度偏轉(zhuǎn)來產(chǎn)生空氣動力矩，相較于傳統(tǒng)空氣舵控制技術(shù)的優(yōu)勢主要表現(xiàn)為：①偏轉(zhuǎn)彈頭可以直接建立起彈體與來流的大攻角態(tài)勢，快速完成大過載響應(yīng)，過載響應(yīng)更為迅速；②偏轉(zhuǎn)彈頭控制降低了導(dǎo)彈操縱面的數(shù)量卻增加了其有效面積，改善了導(dǎo)彈的操縱效率，彈頭僅需較小角度的偏轉(zhuǎn)就可以獲得較大法向、橫向過載，提升了機動能力；③偏轉(zhuǎn)彈頭控制沒有常規(guī)意義的氣動舵面，僅通過彈頭小角度的偏轉(zhuǎn)進(jìn)行機動，導(dǎo)彈所受的阻力更小，而且結(jié)構(gòu)簡單、質(zhì)量更輕，有利于導(dǎo)彈增程［2-3］。

由此可見這種特殊的控制方式同時兼顧了導(dǎo)彈飛行過程中的穩(wěn)定性、機動性和操縱性，具有較好的應(yīng)用前景。

同時，在偏轉(zhuǎn)彈頭控制領(lǐng)域仍然存在許多亟待解決的技術(shù)難題，復(fù)雜的氣動特性和慣性耦合、強不確定的模型參數(shù)以及大干擾條件，這些都對偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的姿態(tài)穩(wěn)定控制提出了挑戰(zhàn)。文獻(xiàn)［4］采用了多剛體動力學(xué)建模的方法建立了偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的動力學(xué)模型，同時為了方便控制系統(tǒng)的設(shè)計，采用了彈頭質(zhì)心位于偏轉(zhuǎn)鉸鏈中心的假設(shè)并研究了這種假設(shè)下的簡化模型對導(dǎo)彈動態(tài)響應(yīng)的影響。文獻(xiàn)［5］采用計算流體力學(xué)方法，對偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈和鴨式導(dǎo)彈的氣動特性和俯仰控制特性進(jìn)行了比較分析，驗證了偏轉(zhuǎn)彈頭控制操縱效率高、機動性強的優(yōu)點。文獻(xiàn)［6］較為系統(tǒng)地研究了有關(guān)偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的控制問題，包括了偏轉(zhuǎn)機構(gòu)、導(dǎo)彈控制系統(tǒng)、導(dǎo)引系統(tǒng)以及制導(dǎo)律的設(shè)計。

從國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀來看，研究偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計，保證控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度和穩(wěn)態(tài)精度是偏轉(zhuǎn)彈頭控制領(lǐng)域最重要研究內(nèi)容之一。基于經(jīng)典控制理論的頻域設(shè)計方法需要在小擾動線性化的假設(shè)下對導(dǎo)彈的運動方程進(jìn)行線性化處理，并不適用于偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的強非線性姿態(tài)控制問題。滑?？刂频膬?yōu)點體現(xiàn)在系統(tǒng)的特性是完全由預(yù)先設(shè)計的“滑動模態(tài)平面決定的”，且這種滑動模態(tài)與對象參數(shù)及擾動無關(guān)，具有良好的魯棒性。反步設(shè)計方法的優(yōu)點在于可以將高階復(fù)雜系統(tǒng)的設(shè)計問題分解成許多低階子系統(tǒng)的設(shè)計問題，不需要強行將系統(tǒng)線性化，避免了有效非線性項的丟失。

本文針對偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的姿態(tài)控制問題，首先建立了偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的六自由度非線性數(shù)學(xué)模型。其次，對偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的氣動特性進(jìn)行了研究分析。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計基于反步滑模的姿態(tài)控制系統(tǒng)，利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對包括模型不確定性以及外部干擾在內(nèi)的系統(tǒng)“總擾動”進(jìn)行觀測補償。最后進(jìn)行了仿真驗證。

1 偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈動力學(xué)模型

在對偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的氣動特性和姿態(tài)控制問題的研究中，精確的動力學(xué)模型是必需的，因此首先要建立偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的數(shù)學(xué)模型。首先對偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈建模問題進(jìn)行了分析和簡化，然后采用適用于多剛體系統(tǒng)動力學(xué)建模的方法對其進(jìn)行建模。

1.1 偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈建模問題分析及簡化

在研究建立偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈模型的過程中，為了簡化問題的復(fù)雜程度，力求抓住問題的最主要因素，對飛行器做出以下4點假設(shè)。

1）假設(shè)偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的彈頭和后體均為獨立剛體，導(dǎo)彈無彈性形變且在飛行過程質(zhì)量保持不變。

2）假設(shè)偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈為軸對稱飛行器，慣量積為零且忽略彈頭的偏轉(zhuǎn)對全彈相對彈體坐標(biāo)系各軸的轉(zhuǎn)動慣量影響。

3）假設(shè)偏轉(zhuǎn)彈頭相對彈體無旋轉(zhuǎn)運動。

4）假設(shè)忽略地球自轉(zhuǎn)和曲率影響，即采用所謂的“平板地球假設(shè)”。

在做出上述假設(shè)的基礎(chǔ)上，得到偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈裝配圖及簡化模型分別如圖1和圖2所示。

圖1 偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈裝配圖Fig.1 Structural diagram of missile with defectable nose

圖2 偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈模型簡化圖Fig.2 Schematic diagram of missile with defectable nose model

采用傳統(tǒng)蘇式坐標(biāo)系，以整個導(dǎo)彈的質(zhì)心O為基點，彈頭和后體為相鄰剛體，彈頭質(zhì)心為On，后體質(zhì)心為Ob，采用適用于多剛體系統(tǒng)的建模方法建立偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的動力學(xué)模型，為后續(xù)控制器設(shè)計奠定基礎(chǔ)。

1.2 偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的動力學(xué)模型建立

根據(jù)前文假設(shè)，將偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈視為一種無彈性變形的剛體。然后把偏轉(zhuǎn)頭導(dǎo)彈的彈頭和后體組成的系統(tǒng)當(dāng)作典型的多剛體系統(tǒng)，應(yīng)用多剛體系統(tǒng)動力學(xué)對其進(jìn)行建模，得到偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈質(zhì)心運動的動力學(xué)方程和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程如式（1）所示［7］。

式中：v表示導(dǎo)彈質(zhì)心運動速度；P表示主發(fā)動機的推力；X、Y、Z分別為導(dǎo)彈產(chǎn)生的不包含彈頭部分的阻力、升力、側(cè)向力；Fnx2、Fny2、Fnz2表示彈頭偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生的氣動控制力在彈道坐標(biāo)系各軸上的分量；Jx、Jy、Jz為導(dǎo)彈對彈體坐標(biāo)系各軸的轉(zhuǎn)動慣量；Ix、Iy、Iz為彈頭對彈體坐標(biāo)系各軸的轉(zhuǎn)動慣量；ωx1、ωy1、ωz1為導(dǎo)彈繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度在彈體坐標(biāo)系各軸上的分量；ωxn、ωyn、ωzn為彈頭相對后體的旋轉(zhuǎn)角速度在彈道坐標(biāo)系各軸上的分量；MOx、MOy、MOz分別為導(dǎo)彈后體（不包括彈頭部分產(chǎn)生的控制力）阻力、升力、側(cè)向力作用在導(dǎo)彈質(zhì)心O上的力矩在彈體坐標(biāo)系各軸的分量；MOyn、MOzn分別為彈頭產(chǎn)生的控制力矩；α為導(dǎo)彈攻角，又稱迎角；β為導(dǎo)彈側(cè)滑角；θ為彈道傾角；ψv為彈道偏角；μ為速度傾斜角。

建立偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的運動學(xué)方程，包括地面慣性坐標(biāo)系下導(dǎo)彈質(zhì)心運動的方程、導(dǎo)彈相對地面慣性坐標(biāo)系姿態(tài)變化的運動方程和彈頭相對彈體運動的姿態(tài)運動方程，如式（2）所示［7-9］。

式中：η、τ分別為彈頭的縱向偏角和橫向偏角；?為導(dǎo)彈的俯仰角；ψ為導(dǎo)彈的偏航角；γ為導(dǎo)彈的滾動角。

2 偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈氣動特性分析

偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈進(jìn)行變形運動時，除了所受空氣動力會隨著氣動外形的變化而改變之外，不同氣動構(gòu)型下的氣動參數(shù)差異很大［10］，因此，需要研究偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的主要氣動參數(shù)隨氣動構(gòu)型改變的變化規(guī)律，需要研究彈頭偏角的變化給導(dǎo)彈的重要氣動參數(shù)所帶來的影響，為后續(xù)設(shè)計基于反步滑模的導(dǎo)彈姿態(tài)控制系統(tǒng)做好充分的準(zhǔn)備。

當(dāng)飛行速度一定且彈頭偏角分別為0°和8°時，偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的軸向力系數(shù)、法向力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)隨攻角的變化規(guī)律如圖3~5所示。

由圖3可知：當(dāng)彈頭未偏轉(zhuǎn)時軸向力系數(shù)基本不變；當(dāng)彈頭偏角為8°時軸向力系數(shù)隨著攻角的增大而增大。

圖3 馬赫數(shù)為3時軸向力系數(shù)隨攻角變化曲線Fig.3 Curves of axial force coefficient vary with angle of attack when the Mach number is 3

由圖4可知：法向力系數(shù)隨著攻角的增大而增大，彈頭偏角在8°以內(nèi)時，攻角對法向力系數(shù)影響相對較小。

圖4 馬赫數(shù)為3時法向力系數(shù)隨攻角變化曲線Fig.4 Curves of normal force coefficient vary with angle of attack when the Mach number is 3

由圖5可知：當(dāng)彈頭未偏轉(zhuǎn)時俯仰力矩系數(shù)隨攻角的增大近似呈線性減??；當(dāng)彈頭偏角為8°時俯仰力矩系數(shù)隨攻角的增大而減小，當(dāng)攻角大于4°后，俯仰力矩系數(shù)的減小趨于平緩。

圖5 馬赫數(shù)為3時俯仰力矩系數(shù)隨攻角變化曲線Fig.5 Curves of pitching moment coefficient vary with angle of attack when the Mach number is 3

3 基于反步滑模的姿態(tài)控制器設(shè)計

基于偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈動力學(xué)模型和氣動特性分析，重點研究偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的姿態(tài)控制問題，保證控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度和穩(wěn)態(tài)精度。首先通過對動力學(xué)模型的轉(zhuǎn)換得到姿態(tài)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；然后利用反步滑模的方法設(shè)計偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈的姿態(tài)控制系統(tǒng)；最后設(shè)計擴(kuò)張狀態(tài)觀測器觀測補償控制系統(tǒng)存在的不確定性干擾，保證控制系統(tǒng)的魯棒性。

3.1 姿態(tài)控制模型轉(zhuǎn)換

偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈姿態(tài)控制器設(shè)計的目的是實現(xiàn)姿態(tài)角指令的跟蹤，因此主要考慮由導(dǎo)彈攻角α、側(cè)滑角β、速度傾斜角μ和角速度ωx1、ωy1、ωz1構(gòu)成的姿態(tài)控制系統(tǒng)，將偏轉(zhuǎn)彈頭六自由度模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到姿態(tài)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

令：y=[α β μ]T，ω=[ωx1ωy1ωz1]T，u=[Mx My Mz]T，原六自由度非線性模型方程可以寫成

式中：f1、f2、g1、g2為系統(tǒng)參數(shù)；d1、d2為外界干擾。

各參數(shù)表達(dá)式分別為

由于在實際的飛行過程中精確的氣動參數(shù)未知，因此，系統(tǒng)參數(shù)f1、f2、g1、g2不能實時得到準(zhǔn)確值，故式可寫成

式 中：f10、f20、g10、g20分 別 為 已 知 的 系 統(tǒng) 參 數(shù)f1、f2、g1、g2的標(biāo)稱值；Δ1、Δ2為系統(tǒng)非線性廣義不確定項，表達(dá)式為

一是針對因?qū)W致貧貧困戶，對疆內(nèi)外高中專、大學(xué)院校學(xué)生給予資助。二是對醫(yī)療費用經(jīng)保險賠付后仍無力支付的貧困戶全部低保兜底，防止因病致貧、返貧。三是針對因災(zāi)致貧貧困戶，給予過渡性救助，保障其基本生活。四是針對“特殊人員”家庭中的困境兒童給予生活補助。五是對60歲以上生活不能自理的孤寡老人按照意愿集中供養(yǎng)。

3.2 基于反步滑模的姿態(tài)控制器設(shè)計

考慮式（4）中的姿態(tài)角動態(tài)方程

令：yd=[αdβdμd]T為姿態(tài)角的指令信號，y?=y-yd為姿態(tài)角跟蹤的誤差狀態(tài)變量，則有

將ω視為虛擬控制量，選擇

式中：Q1為正定對角矩陣，將式（10）代入式（9），得

選擇Lyapunov函數(shù)［11］

則有

由于ω并非最終的控制量，所以需要進(jìn)行下一步的設(shè)計，定義

則有

再次選擇Lyapunov函數(shù)

求導(dǎo)可得

選擇滑?？刂坡?/p>

式中：Q2為正定對角矩陣；K=diag(k1，k2，k3)，ki>0。將式（19）代入式（18）可得

上述滑模控制律使用的是飽和函數(shù)，為了削弱和防止由此引起的抖振現(xiàn)象，使用式（21）所示的logistic函數(shù)替換sgn函數(shù)，可得

通過選擇合適的k值，可以達(dá)到魯棒性和抖振的平衡。

3.3 基于ESO的控制系統(tǒng)補償器設(shè)計

偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈在彈頭偏轉(zhuǎn)的過程中，其多剛體系統(tǒng)存在的內(nèi)部作用機理會導(dǎo)致不確定的擾動，同時外部飛行環(huán)境也會產(chǎn)生干擾力矩，這些干擾無法被精確建模。在控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型式中，Δ1、Δ2是系統(tǒng)非線性廣義不確定項，代表包括模型不確定性以及外部干擾在內(nèi)的系統(tǒng)“總擾動”。需要設(shè)計基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（extendedstate-observer，ESO）的控制系統(tǒng)補償器對Δ1、Δ2進(jìn)行觀測，并在控制器中進(jìn)行實時補償［12-17］。

將式（6）改寫成

式中：x3、x4為擴(kuò)張狀態(tài)，分別表示總擾動Δ1、Δ2；h1、h2分別表示總擾動Δ1、Δ2的導(dǎo)數(shù)。首先針對角速度動態(tài)方程設(shè)計擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，可表達(dá)為

式中：0<α1<1、δ1>0、β11、β12為觀測器增益；fal函數(shù)表達(dá)式為

選擇合適的α1、δ1、β11、β12，觀測器輸出z11、z12分別逼近y、Δ1，即

同理可針對姿態(tài)角動態(tài)方程設(shè)計擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，將觀測器的估計值加入到觀測器中得到修改后的控制律為

4 仿真驗證

為驗證所設(shè)計偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈姿態(tài)控制器的性能，進(jìn)行數(shù)字仿真。仿真條件為：飛行高度9 800 m，速度3Ma，初始攻角為8°，跟蹤5°階躍指令，側(cè)滑角和側(cè)傾角保持0°，仿真過程中加入環(huán)境干擾為風(fēng)干擾，風(fēng)速為100 m/s。

4.1 標(biāo)稱工況條件下的仿真驗證

在無氣動參數(shù)拉偏的條件下，攻角指令的跟蹤曲線及彈頭偏角的仿真曲線圖6~8所示。

圖6 攻角仿真曲線Fig.6 Simulation curve of angle of attack

由圖6可知，系統(tǒng)能夠快速跟蹤攻角指令信號，響應(yīng)時間約為0.2 s，且超調(diào)量小于10%，穩(wěn)態(tài)誤差小于5%。由圖7和圖8可知，彈頭偏轉(zhuǎn)幅度和導(dǎo)彈過載均保持在合理的范圍之內(nèi)，基本滿足工程要求，整個系統(tǒng)的響應(yīng)良好。并且在加入風(fēng)干擾的條件下仍然能夠保證控制效果，證明基于反步滑模的魯棒姿態(tài)控制器具有優(yōu)良的控制性能。

圖7 彈頭偏角仿真曲線Fig.7 Simulation curve of missile warhead deflection angle

圖8 過載仿真曲線Fig.8 Simulation curve of G-load

4.2 氣動參數(shù)拉偏條件下的仿真驗證

在氣動參數(shù)拉偏+20%的條件下，攻角指令的跟蹤曲線及彈頭偏角的仿真曲線如圖9~11所示。

圖9 攻角仿真曲線Fig.9 Simulation curve of angle of attack

圖10 彈頭偏角仿真曲線Fig.10 Simulation curve of missile warhead deflection angle

氣動參數(shù)拉偏+20%條件下的仿真曲線說明導(dǎo)彈的攻角、彈頭偏角和導(dǎo)彈過載的變化仍在合理范圍內(nèi)，證明了所設(shè)計的偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈姿態(tài)控制系統(tǒng)具有較強的魯棒性。

圖11 過載仿真曲線Fig.11 Simulation curve of G-load

4.3 與基于經(jīng)典控制的俯仰通道控制器控制效果的對比驗證

為了驗證基于反步滑模的偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈姿態(tài)控制器的優(yōu)越性，將其與基于經(jīng)典控制的頻域設(shè)計方法設(shè)計的控制器進(jìn)行控制效果的對比驗證。首先在導(dǎo)彈短周期運動、小擾動線性化假設(shè)的情況下對運動方程進(jìn)行簡化處理，得到俯仰運動線性化方程組為

針對所設(shè)計的2種控制器進(jìn)行控制性能的對比仿真試驗，仿真條件為：飛行高度9 800 m，速度3Ma，初始攻角為0°，跟蹤1°階躍指令，對比結(jié)果如圖12所示。

圖12 控制效果對比曲線Fig.12 Curve of control effects comparison

由圖12可以看出，采用反步滑模方法設(shè)計的偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈控制系統(tǒng)在響應(yīng)時間、超調(diào)量、控制效果等方面優(yōu)于基于經(jīng)典控制的頻域設(shè)計方法設(shè)計的控制器。因此，基于反步滑模的姿態(tài)控制方法控制效果更加優(yōu)越。

5 結(jié)束語

本文主要研究了基于反步滑模的偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈在超聲速飛行、風(fēng)干擾存在條件下的姿態(tài)控制方法。針對偏轉(zhuǎn)彈頭控制這種區(qū)別于傳統(tǒng)空氣舵面控制的新型控制方式，本文提出了一套適用于該導(dǎo)彈的強魯棒、快響應(yīng)的姿態(tài)控制系統(tǒng)。具體來說，首先建立了偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈數(shù)學(xué)模型，對偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈進(jìn)行了必要的氣動特性分析，之后設(shè)計了一種基于反步滑模的偏轉(zhuǎn)彈頭導(dǎo)彈姿態(tài)控制系統(tǒng)，并且嘗試解決抖振問題。針對變結(jié)構(gòu)的氣動構(gòu)型可能導(dǎo)致的不確定性干擾和外部環(huán)境的干擾，設(shè)計基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的控制系統(tǒng)補償器。最后通過仿真驗證所設(shè)計的姿態(tài)控制器能夠?qū)崿F(xiàn)對姿態(tài)控制指令的快速跟蹤，整體控制效果滿足工程要求，可為后續(xù)偏轉(zhuǎn)彈頭控制的工程化實現(xiàn)提供一定的研究基礎(chǔ)。