短基線無(wú)源多站時(shí)差定位精度分析及快速計(jì)算方法

蔡春霞，王堃，成章，江 威

（電子信息控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都 610036）

無(wú)源時(shí)差定位由于具有隱蔽性強(qiáng)、定位精度高、易組網(wǎng)實(shí)現(xiàn)、對(duì)寬帶低譜密度信號(hào)適應(yīng)能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)在軍事領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[1-5]。文獻(xiàn)[6-11]指出，多站時(shí)差定位中影響定位精度的因素有布站形式、基線長(zhǎng)度、時(shí)差測(cè)量誤差、站址測(cè)量誤差等，并指出當(dāng)構(gòu)型形式一定時(shí)，基線越長(zhǎng)，定位精度越高；時(shí)差測(cè)量誤差越小，定位精度越高；站址測(cè)量誤差越小，定位精度越高。但這些結(jié)論僅是定性地給出了規(guī)律，沒(méi)有給出參數(shù)變化量對(duì)定位精度變化的定量分析。

文中基于無(wú)源多站時(shí)差定位數(shù)學(xué)模型，先對(duì)定位精度影響因素進(jìn)行理論分析，然后針對(duì)短基線遠(yuǎn)距離定位場(chǎng)景，對(duì)時(shí)差測(cè)量誤差、站址測(cè)量誤差進(jìn)行了定量分析，并給出了幾何精度因子（Geometric Dilution Of Precision，GDOP）的快速計(jì)算方法，最后通過(guò)實(shí)例仿真比較了快速計(jì)算GDOP與理論GDOP之間的誤差。

1 無(wú)源多站時(shí)差定位數(shù)學(xué)模型

與文獻(xiàn)[6-15]相同，假設(shè)無(wú)源多站時(shí)差定位系統(tǒng)由一個(gè)主站和N(N≥3)個(gè)輔站組成。在三維空間直角坐標(biāo)系中，各站的坐標(biāo)為(xi,yi,zi)，i=0,1,…,N，其中i=0 表示主站。目標(biāo)輻射源的坐標(biāo)為(x,y,z)，結(jié)合工程實(shí)際，引入WGS-84 地球模型，則有如式（1）所示的雙曲線定位方程組，求解方程組即可得到輻射源位置。

2 無(wú)源多站時(shí)差定位精度分析

對(duì)式（1）方程組兩端求全微分可得：

將式（2）寫(xiě)成矩陣形式得FdX=dR+dS，在系數(shù)矩陣F滿(mǎn)秩的情況下，由最小二乘法得到dX=(FTF)-1FT(dR+dS)，其中F表征各測(cè)量站相對(duì)于目標(biāo)位置的方向余弦，與目標(biāo)位置和布站形式有關(guān)：

dX=[dx,dy,dz]T表征定位誤差；dR=[dr10,…,drN0,0]T=c[dτ10,…,dτN0,0]T=cdT表征距離差測(cè)量誤差或者TDOA 測(cè)量誤差；dS=[k1-k0,…,kN-k0,0]T表征站址測(cè)量誤差。

由于距離差測(cè)量誤差與站址測(cè)量誤差相互獨(dú)立，則定位誤差的協(xié)方差矩陣為：

式中，M=(FTF)-1FT，QR=E[dRdRT] 為距離差測(cè)量誤差的協(xié)方差矩陣，QS=E[dSdST] 為站址測(cè)量誤差的協(xié)方差矩陣。將Pdx代入GDOP=可得定位精度。

下面著重分析在短基線遠(yuǎn)距離定位場(chǎng)景下，TDOA 測(cè)量誤差、站址測(cè)量誤差對(duì)GDOP 的影響。假設(shè)各測(cè)量誤差經(jīng)系統(tǒng)修正后是零均值的，站址誤差在每次測(cè)量過(guò)程中的標(biāo)準(zhǔn)差保持不變，且站址誤差各元素之間以及各站址誤差之間不相關(guān)。

2.1 計(jì)算距離差測(cè)量誤差的協(xié)方差矩陣QR

設(shè)是距離差測(cè)量誤差方差，是TDOA 測(cè)量誤差方差，ηij為dτi0與dτj0之間的相關(guān)系數(shù)，當(dāng)i≠j時(shí)取ηij=0，則有：

2.2 計(jì)算站址測(cè)量誤差的協(xié)方差矩陣QS

在短基線遠(yuǎn)距離定位構(gòu)型中，當(dāng)i≠j時(shí)，各定位站到輻射源的距離近似相等，即r0≈ri≈rj，又主站和輔站i之間的距離ri0與主站到輻射源的距離r0相比非常小，即：

可用絕對(duì)位置誤差協(xié)方差矩陣QAS和相對(duì)位置誤差協(xié)方差矩陣QBS表示QS：

由式（5）、（11）可得，在短基線遠(yuǎn)距離定位場(chǎng)景中，若考慮主站和輔站之間的相對(duì)位置誤差時(shí)，定位誤差的協(xié)方差矩陣為：

綜上可知，絕對(duì)位置誤差對(duì)GDOP 的影響遠(yuǎn)小于時(shí)差測(cè)量誤差和相對(duì)位置誤差對(duì)GDOP 的影響，GDOP 與時(shí)差測(cè)量誤差、相對(duì)位置誤差均近似呈線性關(guān)系。在短基線遠(yuǎn)距離定位工程應(yīng)用中，由于項(xiàng)的，且絕對(duì)位置誤差σas不超過(guò)百米量級(jí)，因此項(xiàng)對(duì)GDOP 的貢獻(xiàn)很小，可以忽略。

3 GDOP定量分析及快速計(jì)算方法

若定位構(gòu)型不變，則與位置有關(guān)的參數(shù)和矩陣F、M、QAA等均為定值。在短基線遠(yuǎn)距離定位場(chǎng)景中，忽略絕對(duì)位置誤差，則有記常數(shù)矩陣MEQMT為PEQ，此時(shí)GDOP 可表示為：

在式（15）的基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo)，可得式（16）所示的GDOP 的快速計(jì)算公式。當(dāng)TDOA 測(cè)量誤差變化ΔT、相對(duì)位置測(cè)量誤差變化Δσbs后，根據(jù)式（16）可快速得到新的定位精度GDOP'。

4 仿真分析

下面通過(guò)仿真分析，比較使用快速計(jì)算公式得到的GDOP 與理論GDOP 的誤差。

文獻(xiàn)[13-19]指出，在四站時(shí)差定位中要獲得最佳精度的構(gòu)型為T(mén)/Y 構(gòu)型或者倒T/Y 構(gòu)型，針對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)，在時(shí)差定位體制下，在二維平面中，輔站傳感器在以主站傳感器為圓心，某固定值為半徑的圓上均勻分布時(shí)定位誤差可達(dá)最小；在三維空間中，輔站傳感器在以主站傳感器為圓心，某固定值為半徑的圓球上均勻分布。因此，不失一般性，下面以四站時(shí)差定位為例，定位構(gòu)型取為等邊倒Y 構(gòu)型，如圖1(a)所示，三個(gè)輔站在以主站為圓心，基線長(zhǎng)度D為半徑的圓上均勻分布，呈倒Y 結(jié)構(gòu)。

定位精度算法在地心直角坐標(biāo)系下進(jìn)行運(yùn)算，需要將東北天坐標(biāo)系的ENU 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到地心直角坐標(biāo)系下的三維直角坐標(biāo)。不失一般性，取主站經(jīng)緯高坐標(biāo)為(90°,30°,50 km)，如圖1（b）所示，在ENU坐標(biāo)系下，基線長(zhǎng)度D=5 km，主站到目標(biāo)的投影距離L0=300 km，投影高H=50 km。

圖1 等邊倒Y定位構(gòu)型

仿真一：改變TDOA 測(cè)量誤差初值σT0及其誤差變化量ΔT

參數(shù)設(shè)置如表1 所示，TDOA 測(cè)量誤差初值σT0范圍為[5 10∶10∶40]ns，誤差變化量ΔT范圍為[0∶5∶100]ns，絕對(duì)位置誤差σas取30 m，相對(duì)位置誤差σbs取1 m。

表1 仿真一參數(shù)設(shè)置

根據(jù)式（14）可得理論GDOP 仿真結(jié)果如圖2 所示，根據(jù)式（16）可得快速計(jì)算的GDOP 仿真結(jié)果如圖3 所示，兩者差值如圖4 所示，兩者差值/理論GDOP 的比例如圖5 所示。

圖2 理論GDOP（改變?chǔ)襎0 和ΔT）

圖3 快速計(jì)算GDOP（改變?chǔ)襎0 和ΔT）

圖4 快速計(jì)算GDOP與理論GDOP的差值（改變?chǔ)襎0 和ΔT）

從圖2 可以看出，TDOA 測(cè)量誤差與GDOP 近似呈線性關(guān)系，和前文公式推導(dǎo)的結(jié)論一致。從圖5可以看出，初值σT0越大，快速計(jì)算GDOP 與理論GDOP 的誤差越小，當(dāng)σT0≥5 ns時(shí)，誤差小于4%；當(dāng)σT0≥20 ns時(shí)，誤差小于0.3%。

圖5 兩者差值與理論GDOP的比例（改變?chǔ)襎0 和ΔT）

仿真二：改變相對(duì)位置誤差初值σbs及其誤差變化量Δσbs

參數(shù)設(shè)置如表2 所示，TDOA 測(cè)量誤差σT取30 ns，絕對(duì)位置誤差σas取30 m，相對(duì)位置誤差初值σbs范圍為[1 5 10 20 30]m，誤差變化量Δσbs范圍為[0:5:50]m。

表2 仿真二參數(shù)設(shè)置

根據(jù)式（14）可得理論GDOP 仿真結(jié)果如圖6 所示，根據(jù)式（16）可得快速計(jì)算的GDOP 仿真結(jié)果如圖7 所示，兩者差值如圖8 所示，兩者差值/理論GDOP 的比例如圖9 所示。

圖6 理論GDOP（改變?chǔ)襜s 和Δσbs）

圖7 快速計(jì)算GDOP（改變?chǔ)襜s 和Δσbs）

圖8 快速計(jì)算GDOP與理論GDOP的差值（改變?chǔ)襜s 和Δσbs）

從圖6 可以看出，相對(duì)位置誤差與GDOP 近似呈線性關(guān)系，和前文公式推導(dǎo)的結(jié)論一致。從圖9 可以看出，初值σbs越大，快速計(jì)算GDOP 與理論GDOP的誤差越小，當(dāng)σbs≥1 m時(shí)，快速計(jì)算GDOP 的誤差小于0.2%。

圖9 兩者差值與理論GDOP的比例（改變?chǔ)襜s 和Δσbs）

以上的定量分析和仿真結(jié)果均考慮了主站和輔站之間的相對(duì)位置誤差，如果不考慮主站和輔站之間的相對(duì)位置誤差，那么站址測(cè)量誤差協(xié)方差矩陣為：

對(duì)應(yīng)的定位誤差的協(xié)方差矩陣為：

在相同的仿真條件下，比較有無(wú)考慮主站與輔站之間的相對(duì)位置誤差對(duì)GDOP 的影響。仿真參數(shù)設(shè)置如表3 所示，計(jì)算結(jié)果也在表3 中給出，考慮σbs時(shí)的GDOP為3.89 km，不考慮時(shí)的GDOP為13.60 km，可以看出，前者定位精度遠(yuǎn)優(yōu)于后者。

表3 有無(wú)考慮相對(duì)位置誤差時(shí)的仿真參數(shù)設(shè)置及對(duì)應(yīng)的理論GDOP結(jié)果

在不考慮主站與輔站之間的相對(duì)位置誤差時(shí)，對(duì)應(yīng)的GDOP 快速計(jì)算公式如式（21）所示，因?yàn)闆](méi)有忽略任何項(xiàng)，所以其理論GDOP 和快速計(jì)算GDOP一致。

當(dāng)TDOA 測(cè)量誤差變化ΔT、絕對(duì)位置測(cè)量誤差變化Δσas后，可得：

5 結(jié)論

基于無(wú)源多站時(shí)差定位數(shù)學(xué)模型，分析了定位精度的各個(gè)影響因素，針對(duì)短基線遠(yuǎn)距離定位場(chǎng)景，給出時(shí)差測(cè)量誤差、站址測(cè)量誤差對(duì)GDOP 精度影響的定量分析及對(duì)應(yīng)的快速計(jì)算方法，可以快速計(jì)算出參數(shù)變化后的GDOP。

通過(guò)實(shí)例仿真可知，在考慮主站與輔站之間相對(duì)位置誤差的情況下，當(dāng)TDOA 測(cè)量誤差初值為5 ns時(shí)，快速計(jì)算的誤差小于4%；當(dāng)TDOA 測(cè)量誤差初值在20 ns 以上時(shí)，快速計(jì)算的誤差小于0.3%；當(dāng)相位位置誤差σbs≥1 m時(shí)，快速計(jì)算GDOP 的誤差小于0.2%。

由于快速計(jì)算的誤差很小，在實(shí)際工程應(yīng)用中，尤其是在試驗(yàn)外場(chǎng)等不具備仿真環(huán)境又必須根據(jù)現(xiàn)有的定位構(gòu)型快速得到改變時(shí)差測(cè)量誤差或站址測(cè)量誤差后的定位精度時(shí)，快速計(jì)算得到的GDOP 有重要的指導(dǎo)意義。

此外，通過(guò)仿真比較可知，考慮主站與輔站之間的相對(duì)位置誤差時(shí)的GDOP 遠(yuǎn)優(yōu)于不考慮時(shí)的GDOP。同時(shí)給出了在不考慮主站與輔站之間的相對(duì)位置誤差時(shí)的GDOP 快速計(jì)算方法。在工程條件允許時(shí)，推薦考慮主站與輔站之間的相對(duì)位置誤差，可獲得更高的定位精度。