橫向穩(wěn)定桿作用下的AGV平順性分析

杜汶勵(lì)

(江蘇省聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院無(wú)錫機(jī)電分院機(jī)電工程系，無(wú)錫 214122)

0 引言

隨著社會(huì)科技的不斷發(fā)展，自動(dòng)導(dǎo)引小車(AGV)獲得了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。由于對(duì)地面適應(yīng)度要求的不斷提高，將懸架系統(tǒng)應(yīng)用于AGV已成為當(dāng)前主流的趨勢(shì)。目前，懸架系統(tǒng)是汽車重要的組成部分，汽車懸架系統(tǒng)的性能是影響汽車行駛平順性、操縱穩(wěn)定性和安全性的重要因素[1]。此外，現(xiàn)代汽車為了提高懸架的側(cè)傾角剛度，減小橫向傾斜，常在懸架裝置中添加橫向穩(wěn)定器，保證良好的操縱穩(wěn)定性[2]。

許多研究人員對(duì)汽車懸架和橫向穩(wěn)定桿的分析做了大量工作，但是將橫向穩(wěn)定桿應(yīng)用于AGV的情況非常少。張慧杰等[3]根據(jù)汽車懸架理論知識(shí)建立了7自由度汽車懸架整車動(dòng)力學(xué)方程。張立軍等[4]應(yīng)用等效協(xié)方差方法建立了單輪隨機(jī)輸入非平穩(wěn)時(shí)域模型。鄭恩瑞等[5]設(shè)計(jì)了一種主動(dòng)橫向穩(wěn)定器，基于Simulink建立了8自由度整車動(dòng)力學(xué)模型。BENITEZM等[6]在一種小型直升機(jī)縱向動(dòng)力學(xué)軌跡跟蹤問(wèn)題求解方法上考慮穩(wěn)定桿動(dòng)力學(xué)。SUNADA等[7]對(duì)小型共軸直升機(jī)穩(wěn)定桿的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析。然而，目前很少有學(xué)者考慮過(guò)橫向穩(wěn)定桿在AGV中的使用情況。

由于AGV需要面對(duì)日益復(fù)雜的地面環(huán)境，因此有必要考慮橫向穩(wěn)定桿對(duì)AGV平順性的影響，本文采用動(dòng)力學(xué)建模仿真確定不同因素對(duì)AGV平順性所造成的影響，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。

1 4自由度系統(tǒng)的線性動(dòng)力學(xué)建模

1.1 模型簡(jiǎn)化及動(dòng)力學(xué)方程建立

為便于研究橫向穩(wěn)定桿與AGV平順性的關(guān)系，建立帶橫向穩(wěn)定桿的4自由度懸架系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型，如圖1所示。

本文通過(guò)對(duì)懸架系統(tǒng)4個(gè)自由度建立平衡方程可以得到懸架系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué)方程如下：

對(duì)車體垂直運(yùn)動(dòng)建立平衡方程：

(1)

對(duì)車體側(cè)傾力矩建立平衡方程：

(2)

對(duì)左輪垂直運(yùn)動(dòng)建立平衡方程：

(3)

對(duì)右輪垂直運(yùn)動(dòng)建立平衡方程：

(4)

由于圖1懸架系統(tǒng)有隨機(jī)不平路面激勵(lì)輸入，因此根據(jù)現(xiàn)代控制理論，選取狀態(tài)變量：

將狀態(tài)變量代入懸架系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，得到其狀態(tài)方程組為：

(5)

式中，輸入矩陣取u=[Fl,Fr,z01,z02]T，輸出矩陣取

(6)

表1給出了懸架系統(tǒng)參數(shù)值。

表1 4自由度懸架系統(tǒng)參數(shù)表

此外，對(duì)懸架系統(tǒng)中所受的力和位移做如下說(shuō)明：Z3為車身位移，m；Z1、Z2為左、右非簧載位移，m；Fl、Fr為桿左、右端支反力；Z01、Z02為左、右輪路面激勵(lì)。

1.2 穩(wěn)定桿兩端支反力輸入

橫向穩(wěn)定桿的兩端通過(guò)軸套固定在底盤上，穩(wěn)定桿可在套筒內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)形成鉸鏈。在車體行駛過(guò)程中，當(dāng)左右兩輪同向跳動(dòng)并且跳動(dòng)量一致時(shí)，穩(wěn)定桿僅在套筒中轉(zhuǎn)動(dòng)而并不具有穩(wěn)定效果。當(dāng)左右兩輪反向跳動(dòng)或跳動(dòng)不一致時(shí)，穩(wěn)定桿受到扭力作用，那么穩(wěn)定桿本身便以一定角度的扭轉(zhuǎn)來(lái)抵抗左輪和右輪的不一致跳動(dòng)，從而保持車身的平衡。

圖2 橫向穩(wěn)定桿尺寸圖

本文AGV使用的橫向穩(wěn)定桿尺寸如圖2所示。橫向穩(wěn)定桿材料選用為60Si2Mn，其彈性模量E=206 GPa；橫向穩(wěn)定桿的截面慣性矩為I。圖2中各尺寸參數(shù)如表2所示。

表2 橫向穩(wěn)定桿尺寸表

根據(jù)橫向穩(wěn)定桿幾何特性，穩(wěn)定桿剛度的計(jì)算公式可以從式(7)得到：

(7)

將表2中的數(shù)值代入式(7)，求得橫向穩(wěn)定桿的角剛度值K=32.48 N/mm。然后對(duì)懸架系統(tǒng)模型輸出向量Y的側(cè)傾角速度進(jìn)行積分，可以得到車身側(cè)傾角隨時(shí)間變化的角度θ，將此角度代入式(8)，最終可以得到橫向穩(wěn)定桿的端部反側(cè)傾力：

Fl=2·K·θ·a；Fr=2·K·θ·a

(8)

1.3 隨機(jī)路面模型輸入

根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況，此AGV運(yùn)行在紡紗車間，路況平整性一般，綜合文獻(xiàn)[8]和實(shí)際工廠路面情況，將AGV行駛路面等級(jí)定為C級(jí)路面。行車車速分別為0.5 m/s，1 m/s，1.5 m/s。隨機(jī)路面輸入使用濾波白噪聲法作為激勵(lì)。其路面功率譜公式為：

(9)

式中，n00是下限截止空間頻率，取值為0.01；n0是參考空間頻率，取值為0.1；u是車體行駛速度；Gq(n0)是路面不平度系數(shù)，其值為256×10-6m3；q(t)是路面激勵(lì)；w(t)是均值為0和功率譜密度為1的理想單位白噪聲。

圖3 C級(jí)路面仿真信號(hào)

最后，獲得的C級(jí)路面激勵(lì)的仿真信號(hào)如圖3所示。

由圖3可知，C級(jí)路面仿真信號(hào)隨時(shí)間不斷變化，約在15 s處達(dá)到峰值。

1.4 懸架系統(tǒng)Simulink仿真建模輸出

帶有穩(wěn)定桿的4自由度懸架Simulink仿真模型如圖4所示。模型中輸出向量分別是車身加速度、車身側(cè)傾角速度、左右懸架動(dòng)撓度以及左右輪胎動(dòng)載荷。其中對(duì)車身側(cè)傾角速度進(jìn)行積分得到側(cè)傾度，根據(jù)上述穩(wěn)定桿公式求得支反力后作為閉環(huán)反饋輸入到模型中。同時(shí)，模型輸入端加入兩個(gè)時(shí)間差為1 s的C級(jí)隨機(jī)路面激勵(lì)。

圖4 帶穩(wěn)定桿的懸架系統(tǒng)仿真模型

1.5 線性系統(tǒng)仿真結(jié)果分析

對(duì)于線性懸架模型，取仿真時(shí)間為30 s。行駛速度為1.5 m/s，得到影響車身平順性的參數(shù)時(shí)域變化結(jié)果如圖5所示。由圖5表明，在C級(jí)隨機(jī)路面激勵(lì)下，橫向穩(wěn)定桿作用下的系統(tǒng)側(cè)傾度明顯降低。但在改善車身加速度，懸架動(dòng)撓度和輪胎動(dòng)載荷方面的作用效果不明顯。因此，以側(cè)傾度為評(píng)價(jià)指標(biāo)，深入分析多種因素影響下的穩(wěn)定桿作用效果。

(a) 車身豎直加速度時(shí)域圖 (b) 車身側(cè)傾角時(shí)域圖

(c) 左懸架動(dòng)撓度時(shí)域圖 (d) 右懸架動(dòng)撓度時(shí)域圖

(e) 左輪胎動(dòng)載荷時(shí)域圖 (f) 右輪胎動(dòng)載荷時(shí)域圖

2 系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)建模

2.1 懸架非線性因素分析

在實(shí)際中，懸架的彈簧力與其位移之間的關(guān)系并不是呈線性分布的[9]。

圖6所示為實(shí)際彈簧力與位移的特性曲線。因此有必要對(duì)懸架非線性因素進(jìn)行考慮。一般的，懸架的非線性特性可由試驗(yàn)獲取得到[10]。

圖6 彈簧力非線性特性曲線

用冪函數(shù)多項(xiàng)式來(lái)擬合由試驗(yàn)獲得的彈簧恢復(fù)力曲線，其數(shù)學(xué)多項(xiàng)式表示為式(10)。

(10)

取其多項(xiàng)式前三階展開，形式為：

Fk=K1+K3x3=K1+ε·K1x3

(11)

式中，ε為彈簧剛度非線性系數(shù)，試驗(yàn)結(jié)果擬合后取值為0.01。

當(dāng)考慮阻尼非線性時(shí)，由于產(chǎn)生阻尼的因素較多，因此其數(shù)學(xué)模型較為復(fù)雜，若僅用一種阻尼描述，則其與實(shí)際相差較多。所以本文使用阻尼因子構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，其形式為：

(12)

式中，n為阻尼因子，值越大，對(duì)速度的變化越敏感，通過(guò)對(duì)樣機(jī)AGV懸架的阻尼測(cè)試，本文取值為3。最后，將式(11)和式(12)分別代入懸架系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，文中為式(1)～式(4)，可以得到其非線性微分方程組。

2.2 微分方程求解

由于引入非線性因子形成的系統(tǒng)為非線性微分方程，所以無(wú)法得到其解析解。因此本文采用4階龍格-庫(kù)塔(Runge-Kutta)法，可以快速準(zhǔn)確求得其數(shù)值解[11]。

(13)

(14)

利用數(shù)值分析軟件MATLAB導(dǎo)入非線性微分方程組，使用龍格庫(kù)塔法求解其數(shù)值解。

2.3 非線性系統(tǒng)仿真分析

上述線性系統(tǒng)仿真的結(jié)論為：橫向穩(wěn)定桿對(duì)車身的側(cè)傾度有顯著影響。因此，考慮在非線性系統(tǒng)仿真中，在不同車速下分別對(duì)引入剛度非線性和阻尼非線性進(jìn)行側(cè)傾度仿真分析。將仿真時(shí)間定為30 s。在不同車速下與線性系統(tǒng)的仿真結(jié)果對(duì)比如圖7所示。

(a) 0.5 m/s時(shí)引入剛度阻尼非線性比較圖 (b) 1 m/s時(shí)引入剛度阻尼非線性比較圖

(c) 1.5 m/s時(shí)引入剛度阻尼非線性比較圖

從仿真結(jié)果中可以得到以下結(jié)論：在不同車速行駛條件下，由車速的增加引起的側(cè)傾角也隨之增大。在考慮懸架剛度非線性時(shí)，其與線性懸架側(cè)傾度曲線基本一致。在引入阻尼非線性之后發(fā)現(xiàn)，阻尼非線性會(huì)使得側(cè)傾角明顯增大。而在穩(wěn)定桿作用下，以上3種情況的側(cè)傾角均能得到明顯改善。

3 樣機(jī)實(shí)驗(yàn)

圖8 實(shí)驗(yàn)樣機(jī)

以現(xiàn)有的一款適用于捻線機(jī)閘刀抬升的AGV移動(dòng)平臺(tái)作為樣機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，如圖8所示。車架由歐標(biāo)鋁型材搭成；底盤上的驅(qū)動(dòng)輪由伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)，分別裝配于獨(dú)立懸架上；橫向穩(wěn)定桿橫置于底盤上，與懸架相連。

3.1 側(cè)傾角度測(cè)量系統(tǒng)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)方案布局圖見(jiàn)圖9。將兩個(gè)型號(hào)為MPU6050的3軸角速度計(jì)固定于平臺(tái)兩側(cè)，分別距離平臺(tái)中心300 mm。角速度計(jì)通過(guò)編寫的采集程序可以獲得底盤繞3個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)角速度。在本實(shí)驗(yàn)中需要得到繞Y軸旋轉(zhuǎn)的值，將其記為G-Y，為了得到更好的測(cè)試結(jié)果，將傳感器倍率設(shè)為250 °/s。處理器使用單片機(jī)Arduino Mega2560，在測(cè)試過(guò)程中能測(cè)得的最大值為32 768，因此可以根據(jù)式(15)得到真實(shí)角速度值，對(duì)其積分最終可以得到側(cè)傾角度真實(shí)值。重復(fù)實(shí)驗(yàn)20次，取兩個(gè)傳感器的平均值作為最后的實(shí)驗(yàn)值輸出。

圖9 實(shí)驗(yàn)方案布局

ωG-Y=250×(G-Y)/32768

(15)

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)時(shí)，使AGV小車分別在有無(wú)橫向穩(wěn)定桿作用下按照不同車速行駛過(guò)實(shí)驗(yàn)路面。單片機(jī)采樣頻率設(shè)為100 Hz，采樣時(shí)間為30 s。重復(fù)實(shí)驗(yàn)20次，求取平均值后進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。最后，得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示。

(a) 0.5 m/s時(shí)側(cè)傾度試驗(yàn)結(jié)果 (b) 1 m/s時(shí)側(cè)傾度試驗(yàn)結(jié)果

(c) 1.5 m/s時(shí)側(cè)傾度試驗(yàn)結(jié)果

在實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，由于傳感器精度限制以及車速影響，實(shí)際值之間的波形存在一定的不一致，但總體來(lái)說(shuō)，側(cè)傾幅度趨向于穩(wěn)定，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)結(jié)果是有效的。最終，不同車速下的橫向穩(wěn)定桿作用比較結(jié)果如表3所示。

表3 不同速度下側(cè)傾角均值平方根仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比表

表中分別給出了仿真和試驗(yàn)環(huán)境下側(cè)傾角的均值平方根大小，以及有無(wú)橫向穩(wěn)定桿的比對(duì)結(jié)果。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析如下：

(1)仿真條件下，僅考慮剛度非線性情況時(shí)，3種車速下的側(cè)傾角相差很小。在穩(wěn)定桿作用下的側(cè)傾角減小百分比與線性系統(tǒng)分別相差0.18%，6.24%和5.35%。因此可以忽略剛度非線性對(duì)系統(tǒng)的影響。

(2)仿真條件下，在剛度非線性的基礎(chǔ)上引入阻尼非線性之后，側(cè)傾角有明顯增大的趨勢(shì)，同時(shí)橫向穩(wěn)定桿對(duì)考慮阻尼非線性情況下的側(cè)傾角幅度也有明顯改善。因此，在AGV車速較高情況下，要充分考慮阻尼非線性對(duì)懸架側(cè)傾度的影響。

(3)最終試驗(yàn)結(jié)果表明，在車速較低情況下(0.5 m/s)，真實(shí)側(cè)傾值更接近于仿真線性值。當(dāng)車速較高時(shí)(1.5 m/s)，真實(shí)側(cè)傾值偏向于仿真非線性值。這可能是在車速較高時(shí)，系統(tǒng)非線性因素被放大后造成系統(tǒng)不穩(wěn)定的結(jié)果。同樣地，在穩(wěn)定桿作用下K&C非線性仿真結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果側(cè)傾角變化百分比分別相差18.66%，10.94%和7.07%，說(shuō)明了隨著車速的提高，橫向穩(wěn)定桿實(shí)際作用效果更接近于非線性系統(tǒng)。

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一款橫向穩(wěn)定桿使用于現(xiàn)有AGV懸架。建立其帶橫向穩(wěn)定桿的懸架動(dòng)力學(xué)模型，考慮懸架參數(shù)非線性的影響，通過(guò)仿真和角速度測(cè)量實(shí)驗(yàn)證明了穩(wěn)定桿的有效性，并分析比較在不同AGV車速下穩(wěn)定桿的作用效果，仿真結(jié)果表明：

(1)剛度非線性對(duì)系統(tǒng)的影響較為微小，可忽略不計(jì)；

(2)在車速較高的情況下，阻尼非線性對(duì)懸架側(cè)傾度的影響較大，會(huì)對(duì)AGV性能造成影響。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：隨著車速的提高，橫向穩(wěn)定桿實(shí)際作用效果更接近于非線性系統(tǒng)。