結(jié)合面首次加載過程的法向接觸剛度分形模型*

殷東華，張學(xué)良，溫淑花，蘭國生，陳永會(huì)

(1.太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024；2.山西工學(xué)院智能制造產(chǎn)業(yè)學(xué)院，朔州 036000)

0 引言

結(jié)合面廣泛存在于機(jī)械結(jié)構(gòu)中，在動(dòng)載荷作用下，結(jié)合面間會(huì)產(chǎn)生微小的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，這使得結(jié)合面既存儲(chǔ)能量又消耗能量，表現(xiàn)出既有彈性又有阻尼，即存在接觸剛度和接觸阻尼，并嚴(yán)重影響著機(jī)械結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)態(tài)特性[1]。結(jié)合面的接觸剛度常常是機(jī)械結(jié)構(gòu)整體剛度的重要組成部分。如對(duì)機(jī)床結(jié)構(gòu)而言，機(jī)床振動(dòng)問題中60%以上的問題源于結(jié)合面，并且結(jié)合面的接觸剛度約占機(jī)床總剛度的60%～80%。許多學(xué)者針對(duì)結(jié)合面接觸剛度進(jìn)行了一系列的研究。在結(jié)合面接觸剛度的研究中，最困難的任務(wù)之一是建立表征接觸面并準(zhǔn)確模擬接觸行為的理論模型。MJUMDAR等[2]基于Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)(W-M函數(shù))首先提出粗糙表面接觸的二維接觸分形模型。YAN等[3]首先提出了粗糙表面接觸的三維接觸分形模型。張學(xué)良等[4]最早建立了結(jié)合面法向接觸剛度分形模型。尤晉閩等[5-6]建立了結(jié)合面法向動(dòng)態(tài)參數(shù)的分形模型，揭示了接觸剛度和接觸阻尼與作用在粗糙表面上的法向載荷、粗糙表面材料屬性參數(shù)以及分形參數(shù)之間的復(fù)雜關(guān)系。隨后，田紅亮等[7]再次對(duì)結(jié)合面法向接觸剛度模型進(jìn)行了改進(jìn)，但只考慮了彈性接觸變形階段和塑性接觸變形階段。然后，張學(xué)良等[8]提出了包含彈性變形、彈塑性變形和塑性變形情況的結(jié)合面法向接觸剛度分形模型。MIAO等[9]提出一個(gè)完整的尺度相關(guān)的分形表面接觸修正模型，研究了分形粗糙表面的總載荷、面積和剛度。田紅亮等[10]基于修正分形幾何學(xué)理論與Hertz法向接觸力學(xué)方程，建立了微凸體與平面接觸的法向接觸剛度方程。張偉等[11]基于經(jīng)典Greenwood-Willamson(GW)統(tǒng)計(jì)模型計(jì)算剛度的方法，建立了一種綜合考慮微凸體基體變形和相互作用的結(jié)合面法向接觸剛度模型。綜上所述，關(guān)于固定結(jié)合面加卸載過程中的接觸剛度分形理論建模研究工作非常少見。KOGUT等[12]基于有限元法建立了單個(gè)球體與剛性平面的彈塑性接觸模型，簡稱KE模型，但該模型獲得的接觸載荷是不連續(xù)的，從而引起其剛度模型的不連續(xù)性。JACKSON等[13]采用比KE模型更細(xì)的網(wǎng)格，建立了新的單個(gè)微凸體與剛性平面的有限元模型，該模型考慮了硬度的變化，但沒有給出開始發(fā)生塑性變形時(shí)的臨界點(diǎn)。

因此，本文基于接觸分形理論，采用Hermite插值法建立單個(gè)微凸體彈塑性變形階段的接觸面積模型，同時(shí)引入平均接觸壓力參數(shù)，彌補(bǔ)了單一微凸體接觸載荷建模時(shí)存在的不連續(xù)缺陷，進(jìn)而建立了接觸剛度模型，借此提出一種固定結(jié)合面加載過程中的法向接觸剛度分形模型，并通過仿真揭示了各相關(guān)參數(shù)對(duì)結(jié)合面法向接觸剛度的影響，以及法向接觸剛度和法向接觸載荷的關(guān)系。本文研究為今后深入并準(zhǔn)確地進(jìn)行結(jié)合面加卸載法向接觸剛度的研究提供了理論基礎(chǔ)。

1 分形理論

兩粗糙表面之間的接觸往往可以等效為一個(gè)粗糙表面與一個(gè)剛性光滑平面的接觸，進(jìn)而等效成研究半個(gè)球形微凸體與剛性平面的接觸，如圖1所示。

圖1 兩粗糙表面接觸示意圖

根據(jù)等效粗糙表面的各向同性的分形特性，以及表征粗糙表面的二維輪廓曲線的Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)(W-M函數(shù))[14]，表面上任何一個(gè)微凸體變形前的輪廓曲線都可描述為：

(1)

式中，x為輪廓的位移坐標(biāo)；D為表面輪廓分形維數(shù)，1

對(duì)于滿足式(1)的微凸體，其峰頂曲率半徑為：

(2)

微凸體的變形量ω與接觸面積a的關(guān)系為：

ω=GD-1a(2-D)/2

(3)

根據(jù)Mandelbrot對(duì)海岸線上的島嶼面積分布性質(zhì)，固定結(jié)合面之間微凸體的接觸面積大小分布密度函數(shù)可以表達(dá)為：

(4)

式中，aL為微凸體的最大接觸面積。

那么結(jié)合面間真實(shí)接觸面積為：

(5)

單個(gè)微凸體從彈性向彈塑性轉(zhuǎn)變時(shí)的臨界變形量為[12]：

(6)

式中，H為較軟材料的硬度，與材料的屈服強(qiáng)度σy相關(guān)，一般取H=2.8σy；K為硬度系數(shù)，取K=0.454+0.41υ，其中υ為較軟材料的泊松比。

由式(2)和式(6)可得臨界接觸變形量：

(7)

比較ω和ωc得到：

(8)

當(dāng)ω=ωc時(shí)，所對(duì)應(yīng)的接觸面積即為微凸體從彈性向彈塑性轉(zhuǎn)變時(shí)的臨界接觸面積ac，可表達(dá)為：

(9)

因此，

(10)

2 單個(gè)微凸體加載過程的力學(xué)模型

2.1 彈性接觸階段

當(dāng)ω≤ωc時(shí)，微凸體發(fā)生彈性變形。根據(jù)Hertz理論，剛性平面與峰頂曲率半徑為R的微凸體的彈性接觸中，單個(gè)微凸體的接觸面積ae、接觸載荷Fe、最大接觸壓力pm和平均接觸壓力pea與接觸干涉ω之間的關(guān)系可以表示為：

ael=πRω

(11)

(12)

pm=(2E/π)(ω/R)1/2

(13)

(14)

由式(12)可得單個(gè)微凸體的法向接觸剛度為：

(15)

2.2 全塑性接觸階段

當(dāng)ω≥110ωc時(shí)，微凸體發(fā)生完全塑性變形，其平均接觸壓力達(dá)到硬度值H并保持恒定。根據(jù)文獻(xiàn)[15]，單個(gè)微凸體的接觸面積apl、接觸載荷Fpl和平均接觸壓力ppa可以表示為：

apl=2πRω

(16)

Fpl=Hapl=2πRωH

(17)

ppa=H

(18)

但當(dāng)去除載荷后，發(fā)生完全塑性變形的微凸體沒有恢復(fù)過程，故忽略此階段的接觸剛度。

2.3 彈塑性接觸階段

當(dāng)ωc≤ω≤110ωc時(shí)，微凸體發(fā)生彈塑性變形。根據(jù)文獻(xiàn)[16]，在微凸體的彈塑性變形范圍內(nèi)，平均接觸壓力pepa與接觸干涉ω之間的關(guān)系可以表示為：

(19)

接觸面積aep和接觸干涉ω之間的關(guān)系可以用一個(gè)多項(xiàng)式來表示。通過滿足以下邊界條件：①在ω=ωc處aepl=ael，daepl/dω=dael/dω；②在ω=110ωc處aepl=apl，daepl/dω=dapl/dω，本文采用Hermite插值法對(duì)定義域?yàn)棣豤≤ω≤110ωc的aepl-ω函數(shù)進(jìn)行逼近得到：

(20)

然后利用式(19)和式(20)，在彈塑性變形狀態(tài)下微凸體的接觸載荷可以表示為：

(21)

對(duì)KE模型和式(21)進(jìn)行數(shù)值仿真，得到兩種模型下接觸載荷和變形量的關(guān)系，如圖2所示。

圖2 兩種模型下接觸載荷和變形量的關(guān)系

由圖可知，KE模型中的接觸載荷在ω/ωc=6處是不連續(xù)的，而且眾所周知接觸載荷在ω/ωc=1和ω/ωc=110處也是不連續(xù)的。而本文模型彌補(bǔ)了這種不連續(xù)性缺陷。

由式(21)可得加載過程中單個(gè)微凸體的法向接觸剛度為：

(22)

3 結(jié)合面加載過程的分形模型

結(jié)合微凸體的接觸面積大小分布密度函數(shù)，加載過程中結(jié)合面的法向接觸載荷和法向接觸剛度分別為：

(23)

(24)

對(duì)上式進(jìn)行無量綱化得：

(25)

(26)

式中，

4 仿真及結(jié)果

(c) φ=2.5

基于考慮微接觸加載過程中的接觸載荷和接觸剛度分析，本文結(jié)合粗糙表面的分形參數(shù)，分析了整個(gè)結(jié)合面接觸剛度模型對(duì)接觸載荷的依賴關(guān)系。由本文模型得到的加載過程中法向接觸剛度與接觸載荷的關(guān)系如圖4所示，結(jié)合面無量綱法向接觸剛度隨著法向接觸載荷的增大而增大，但在不同的分形維數(shù)和特征尺度系數(shù)的范圍內(nèi)其變化速率不同。根據(jù)文獻(xiàn)[17]中實(shí)驗(yàn)例證得到的結(jié)論：由于實(shí)際接觸面積的增加，接觸剛度隨接觸載荷的增加而增加?？梢姡疚哪Ｐ团c結(jié)合面實(shí)際情況相符合。

(a) 1.1≤D≤1.3 (b) 1.3≤D≤1.5

(c) 1.5≤D≤1.7 (d) 1.7≤D≤1.9

5 結(jié)論

基于接觸分形理論，本文采用Hermite插值法建立單個(gè)微凸體彈塑性變形階段的接觸面積模型，同時(shí)引入平均接觸壓力參數(shù)，彌補(bǔ)了單一微凸體接觸載荷建模時(shí)存在的不連續(xù)缺陷，進(jìn)而建立了接觸剛度模型，借此提出一種固定結(jié)合面加載過程中的法向接觸剛度分形模型。得到結(jié)論如下：

(1)加載過程中固定結(jié)合面無量綱法向接觸剛度隨著分形維數(shù)的增大而增大，且分形維數(shù)取值范圍不同時(shí)增長速率不同。

(2)加載過程中固定結(jié)合面無量綱法向接觸剛度隨著特征尺度系數(shù)的增大而減小，但是在分形維數(shù)取值1.1～1.4時(shí)，特征尺度系數(shù)的變化對(duì)無量綱法向接觸剛度的影響不明顯。

(3)加載過程中固定結(jié)合面無量綱法向接觸剛度隨著塑性指數(shù)的增大而增大，且隨法向接觸載荷的增大而增大。