數(shù)學解題教學中數(shù)學思想的滲透
——以2019年高考數(shù)學浙江卷第20題為例

◎鄭雨鑫

(云南師范大學數(shù)學學院,云南 昆明 650504)

著名的解題大師波利亞曾說：“掌握數(shù)學就意味著善于解題.”這句話在一定程度上肯定了解題在數(shù)學中的重要性.解題教學不僅可以促進學生深入掌握數(shù)學知識，還可以促進學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)及其思維的發(fā)展.但數(shù)學并不只意味著解題，數(shù)學教學也并不意味著僅僅教會學生解題.解題教學一直是數(shù)學教學的重中之重,但一些教師對解題教學存在誤解或者不能正確對待解題教學.高中數(shù)學內(nèi)容多，難度大，很多教師誤以為解題教學只需講解一下題目和答案，再簡單總結(jié)一下規(guī)律即可，其實不然，解題教學也存在重難點，題目的選取也有講究.此外，在追求素質(zhì)教育的今天，除了題目的答案，我們還要挖掘解題過程中所蘊含的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng).所謂數(shù)學思想，是指對數(shù)學事實、數(shù)學理論進行概括后的本質(zhì)認識，它是數(shù)學解題的指導思想，是數(shù)學的精髓.

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的數(shù)學模型，是高中數(shù)學中一個基礎且重要的知識點.數(shù)列與不等式、方程、函數(shù)等內(nèi)容之間存在聯(lián)系，并且蘊含著豐富的數(shù)學思想，因此它是高考數(shù)學必考內(nèi)容之一，常以選擇題、填空題、解答題等形式出現(xiàn).本文立足于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)及其思維能力的鍛煉，談談教師應如何在數(shù)學解題教學中滲透數(shù)學思想.下面以2019年高考數(shù)學浙江卷第20題為例進行說明.

一、真題呈現(xiàn)，解法探究

真題呈現(xiàn)：設等差數(shù)列{an}的前項和為Sn，a3=4,a4=S3，數(shù)列{bn}滿足：對每個n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；

1.第一小問的解法

∵a3=4,a4=S3，

∴an=2(n-1)，Sn=n(n-1).

∵Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列，

∴an+2(Sn+bn)=an+1(Sn+1+bn)，

代入得bn=n(n+1).

解法簡評:

2.第二小問的解法

(1)解法一：數(shù)學歸納法

則當n=k+1時，

解法簡評：

歸納思想是指從具體事例中尋找適用于解決該問題的一般規(guī)律.高中生面對繁重的課業(yè)，若沒有良好的歸納、總結(jié)能力，學習就會非常累且沒有效率.因此，在解題教學時，教師應引導學生領會歸納思想，減輕其學習負擔.由于數(shù)列的可數(shù)性，歸納思想可應用于數(shù)列中.在解題教學時，教師可以引導學生進行領會：當題目需證明的不等式兩邊都是關于n的式子時，數(shù)學歸納法是可選擇的方法.比如，已知數(shù)列通項與前n項和的關系，或者數(shù)列前后項的關系時，可利用數(shù)學歸納法進行解題.歸納法包括完全歸納法和不完全歸納法，數(shù)學歸納法屬于完全歸納法，它既是演繹推理，也是一種嚴謹?shù)耐评?歸納思想的滲透可以讓學生感受從特殊到一般的思想，進而拓展學生的思維.

(2)解法二：放縮法

解法簡評：

在不等式的證明方法中，放縮法是一種常用的方法，這種方法體現(xiàn)了放縮思想.放縮法的原理是要證明不等式A

(3)解法三：分析法

(1)

(2)

∴不等式得證.

解法簡評：

此解法采用的是從已知到未知的思維方式，這是一種正向思考的方式.但分析法是從待求證的結(jié)論出發(fā)，逆向逐步找出它成立時需要具備的條件，直至找到的條件是題目已知的條件或基本事實.此解法中，(1)(2)兩式等價，所以題目轉(zhuǎn)化成證明(2)式，這不僅使證明更簡單，而且解題邏輯也更通暢明了.在數(shù)列的教學中，教師可以教給學生利用由果索因的方式逆向完成證明.然而這種逆向思維在實際教學中是欠缺的，因此，教師應當在日常的解題教學中注重學生這方面的訓練，讓學生適應這種逆向思維的思考方式.如此，學生擁有正向思維和逆向思維這兩種思考方式，并能夠?qū)煞N思考方式相互結(jié)合，進而擁有更強的思維能力.

(4)解法四：定積分法

解法簡評：

函數(shù)思想是一種用函數(shù)的概念、性質(zhì)對問題進行分析、轉(zhuǎn)化，直至解決問題的思維策略.解法四運用了函數(shù)思想.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可將其通項看作定義域為正整數(shù)集的函數(shù).在解題時，我們可將數(shù)列和函數(shù)聯(lián)系起來，當求數(shù)列問題未果時，我們可以考慮將其轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題.此解法將其轉(zhuǎn)化成積分的形式，從而得到最終答案.

函數(shù)的積分形式

二、解后反思，教學建議

解題教學實質(zhì)上是思維活動的教學，教師應該將教學的關注點落在學生思維培養(yǎng)的層面上.如果解題教學僅是為了讓學生會解一道題，那么這樣的教學不是成功的，解題教學的重要目的是提高學生的解題能力.高考時數(shù)學題目多、時間緊，且題目涉及多個知識點和多種數(shù)學思想，這對學生解題能力和思維能力有很高的要求.因此，教師要在教學中有效地滲透數(shù)學思想，促進學生積極思考，使學生掌握數(shù)學知識的本質(zhì)，從而在高考時高效解題.除了上文提到的幾種數(shù)學思想外，整體思想、方程思想、類比思想、分類討論思想等也是常見的數(shù)學思想.教師在滲透數(shù)學思想時，不能過于生硬，應當找好插入點，使學生潛移默化地掌握數(shù)學思想的內(nèi)涵和重要性.為了在解題教學中自然滲透數(shù)學思想，教師可以采取哪些措施呢？

首先，教師要學會篩選例題，選取的例題應當是具有針對性、代表性的問題，這樣有利于把學生思維卷入“題中”.在給出題目后，教師應當給予學生充分思考的時間，不要急于講解，并鼓勵學生進行嘗試，讓他們自己去尋找題目的解法.此外，教師還要引導其體會題目中的數(shù)學思想.例如，對于上面這道題，大部分學生會想到用數(shù)學歸納法，那么在完成用數(shù)學歸納法解題后，教師可以拋出問題：“剛剛我們涉及了哪種數(shù)學思想？這種數(shù)學思想有什么特點呢？”

其次，一道數(shù)學題可能有多種解法.在教學中，教師不僅要教給學生每個類型題目的通性解法，也要考慮一些學有余力的學生，盡量多教幾種解法.因此，教師在進行解題教學時，要組織學生討論交流，要鼓勵學生分享不同的解題方法，并對學生的分享及時地給出表揚，提升其積極性.另外，由于每個人的思考方式的差異性，將自己的解法進行分享，這有利于學生拓展思維，發(fā)散思維.在注重一題多解的同時，教師也要強調(diào)多題一解，注重思維的聚合性.教師要根據(jù)學生的反饋幫助他們厘清各種解法的優(yōu)缺點和適用范圍，以及每種解法中所蘊含的數(shù)學思想，引導學生領悟其中的思想和精髓，提升學生的解題能力，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展,這也符合素質(zhì)教育的理念.

再者，雖然新課標所給出的高中生應掌握的知識點的量是一定的，但同一個知識點可以以不同的形式出現(xiàn)在題目中.因此解題教學不應只是讓學生做到簡單模仿，而是應該發(fā)生思維的碰撞.為此，教師可以分析完一道典型例題后，給出相應的變式題.變式題改變的是問題的結(jié)構和呈現(xiàn)方式，不變的是方法、思想和數(shù)學本質(zhì).變式題既可以鍛煉學生的抽象、概括、歸納等思維能力，提高其解題能力，也可以幫助教師檢驗學生的學習成果，還可以檢驗學生是否真正理解其中蘊藏的數(shù)學思想，是否真正掌握題目的本質(zhì).

最后，教師是課堂教學的引導人.教師自身的解題能力和講題技巧是解題教學成功與否的關鍵因素.對于數(shù)學教師來說，首先自己要會解題，這是最基本也是最重要的.如果教師自己都解不了題，只是參考答案進行講解，那么他又如何引導學生解題呢？因此，數(shù)學教師必須把提高解題能力作為自身專業(yè)發(fā)展的重要內(nèi)容.當然，會解題遠遠不夠，教師還要會教，語言表達的順暢性、邏輯性、巧妙性都會影響學生思考，因此教師要注意自己的語言表達，循序漸進地引導學生形成解題思路，得出解題方法.總之，解題能力和講題技巧是教師專業(yè)化發(fā)展的必備技能，因此教師要有終身學習的思想，并通過課堂實踐或課下練習，提升解題教學的相關能力，還要及時進行教學反思，促進自身專業(yè)發(fā)展.

相對于初中數(shù)學，高中數(shù)學內(nèi)容更多，難度更大，且教學任務重，時間緊.解題教學是數(shù)學教學中重要的一部分，關系到學生對數(shù)學知識的學以致用.因此解題教學不能只是讓學生做到模仿，而是要潛移默化地滲透數(shù)學思想，使其領悟數(shù)學思想的內(nèi)涵和價值，引導其掌握數(shù)學知識的本質(zhì)，促進其思維發(fā)展.