黑河上中游月徑流序列多重分形特性研究

朱新麗, 李彥彬, 李紅星, 杜雪芳

(華北水利水電大學(xué) 水利學(xué)院, 河南 鄭州 450046)

人類(lèi)活動(dòng)和氣候變化致使水文序列的非平穩(wěn)性愈加明顯,分析的復(fù)雜性增加。運(yùn)用分形理論對(duì)徑流序列的非線性規(guī)律進(jìn)行研究,能發(fā)現(xiàn)水文過(guò)程的非均勻結(jié)構(gòu)特性,深化對(duì)水動(dòng)力機(jī)制的認(rèn)識(shí),全面揭示水文系統(tǒng)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)特征。HURST H E在1951年發(fā)現(xiàn)水文時(shí)間序列存在長(zhǎng)程相關(guān)性[1],到1969年MANDELBROT B B等[2]把分形理論與水文系統(tǒng)的非線性動(dòng)力機(jī)制聯(lián)系起來(lái)。隨之,國(guó)際上展開(kāi)了對(duì)徑流序列分形特征分析的研究[3-6]。

去趨勢(shì)波動(dòng)分析(Detrended Fluctuation Analysis,DFA)[7]法是基于經(jīng)典隨機(jī)行走(random walk)的單分形分析方法,可有效濾去時(shí)間序列各階段趨勢(shì)成分[8],與R/S等常規(guī)分析方法相比,可有效消除非平穩(wěn)序列中偽相關(guān)現(xiàn)象。然而DFA無(wú)法對(duì)非線性時(shí)間序列進(jìn)行精確地分析和刻畫(huà)。2002年KANTELHARDT J W等[9]在DFA法的基礎(chǔ)上提出了多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析(Multifractal Detrended Fluctuation Analysis,MF-DFA)方法,相比DFA法有著更加豐富的內(nèi)容,不僅可用標(biāo)度指數(shù)、分形維數(shù),還可用多重分形譜來(lái)描述分形體不同層次的目標(biāo)特征。MF-DFA方法解決了噪聲和信號(hào)波動(dòng)對(duì)重分形譜計(jì)算的影響,適合于任意數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的數(shù)字計(jì)算,但其計(jì)算復(fù)雜,對(duì)參數(shù)敏感性極大。2005年LASHERMES B等[10]提出了小波領(lǐng)袖(Wavelet Leaders,WL)方法,解決了小波系數(shù)和小波變換模極大值(Wavelet Transform Modulus Maxima,WTMM)方法在多重分形分析計(jì)算中存在的不穩(wěn)定、計(jì)算量龐大以及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)缺乏等問(wèn)題,更容易處理正值和負(fù)值,能有效處理振蕩奇點(diǎn)和尖點(diǎn)奇點(diǎn)[11]。

有研究表明,序列的周期性波動(dòng)對(duì)長(zhǎng)期記憶的檢測(cè)會(huì)產(chǎn)生顯著的影響,導(dǎo)致檢測(cè)到并不存在的長(zhǎng)期記憶[12]。日尺度和月尺度的徑流時(shí)間序列,含有顯著的季節(jié)周期性,這在一定程度上導(dǎo)致徑流時(shí)間序列出現(xiàn)“虛假回歸”的現(xiàn)象,這種“虛假回歸”現(xiàn)象在很大程度上影響分形結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性[13]。因此,在進(jìn)行黑河上中游月徑流時(shí)間序列分形計(jì)算之前,本文運(yùn)用基于局部加權(quán)回歸的周期趨勢(shì)分解(seasonal-trend decomposition procedure based on loess,STL)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理,以消除季節(jié)周期波動(dòng)對(duì)分形結(jié)果的影響。

黑河是我國(guó)西北第二大內(nèi)陸河,黑河流域是一個(gè)資源缺水型流域。引入分形理論,分析黑河流域月徑流序列的分形特性,對(duì)全面認(rèn)識(shí)黑河水動(dòng)力運(yùn)動(dòng)特征,揭示其徑流系統(tǒng)在復(fù)雜變化環(huán)境下的演變規(guī)律,是非常有必要的。為揭示黑河上中游月徑流量演變的主要原因,本文采用小波領(lǐng)袖多重分形分析(Wavelet Leaders for Multifractal Analysis,WLMF)方法和2階MF-DFA(MF-DFA2)方法對(duì)STL季節(jié)分解前、后的黑河上中游札馬什克站、祁連站、鶯落峽站和正義峽站的月徑流序列進(jìn)行分析。

1 研究方法與研究區(qū)概況

1.1 STL季節(jié)分解

STL方法由CLEVELAND R B等[14]在1990年為解決從復(fù)雜時(shí)間變化數(shù)據(jù)中提取趨勢(shì)和季節(jié)性變化成分的問(wèn)題而提出的,它可以穩(wěn)健處理任何類(lèi)型的季節(jié)性數(shù)據(jù),且在數(shù)據(jù)出現(xiàn)少數(shù)異常觀測(cè)值時(shí),不會(huì)影響模型對(duì)趨勢(shì)和季節(jié)性周期因素的估計(jì)。STL方法主要應(yīng)用于水質(zhì)模型中[15-16],近兩年國(guó)內(nèi)研究者才開(kāi)始將其應(yīng)用于其他方向[17-19]。

STL方法可將時(shí)間序列X分解為季節(jié)項(xiàng)、趨勢(shì)項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng),分解表達(dá)式如下:

X=XS+XT+XR。

(1)

式中:X為月徑流量,億m3;XS為高頻季節(jié)項(xiàng);XT為低頻趨勢(shì)項(xiàng);XR為隨機(jī)分量。

STL季節(jié)分解過(guò)程中,季節(jié)項(xiàng)平滑參數(shù)(nS)和趨勢(shì)項(xiàng)平滑參數(shù)(nT)是最重要的2個(gè)參數(shù),分別控制提取趨勢(shì)項(xiàng)和季節(jié)項(xiàng)時(shí)取樣窗口的寬度。一般季節(jié)項(xiàng)平滑參數(shù)與數(shù)據(jù)的時(shí)間跨度相關(guān),為略大于時(shí)間跨度的奇數(shù)。趨勢(shì)項(xiàng)平滑參數(shù)滿足:

(2)

式中nP為一個(gè)周期內(nèi)的樣本數(shù)量。

1.2 多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)(MF-DFA)

2002年，KANTELHARDT J W等[9]在DFA方法基礎(chǔ)上提出了MF-DFA方法,該方法可以同時(shí)對(duì)平穩(wěn)和非平穩(wěn)時(shí)間序列的結(jié)構(gòu)及漲落特性進(jìn)行度量。MF-DFA方法主要包括5個(gè)步驟:

1)計(jì)算時(shí)間序列{xt}(t=1、2、…、N;N為序列長(zhǎng)度)的累積離差Y(i):

(3)

2)將Y(i)按等長(zhǎng)度S分成不重疊的NS個(gè)區(qū)間,NS=[N/S],運(yùn)算符[ ]表示取整數(shù)。由于序列長(zhǎng)度并不總是S的整數(shù)倍,這就會(huì)導(dǎo)致小部分?jǐn)?shù)據(jù)信息不能被利用。為使所有數(shù)據(jù)信息都能被利用,可對(duì)Y(i)的逆序進(jìn)行同樣操作,則共有2NS個(gè)等長(zhǎng)度的區(qū)間。

3)用最小二乘法對(duì)每個(gè)區(qū)間v進(jìn)行多項(xiàng)式擬合,得到局部趨勢(shì)。然后計(jì)算每個(gè)區(qū)間濾去趨勢(shì)后的方差F2(v,S):

(4)

(5)

式中yv(i)為第v個(gè)區(qū)間的擬合多項(xiàng)式。如果擬合多項(xiàng)式采用的階數(shù)為m,式(4)和(5)中可以消除原始序列中m-1階的趨勢(shì)成分。

4)對(duì)所有2NS個(gè)等長(zhǎng)度區(qū)間求和,計(jì)算q階DFA波動(dòng)函數(shù)Fq(S):

(6)

(7)

當(dāng)q=2時(shí),公式(6)是標(biāo)準(zhǔn)DFA的計(jì)算公式。為考察不同q值的波動(dòng)函數(shù)Fq(S)與時(shí)間尺度S的關(guān)系,可改變S值,重復(fù)第2—4步。

5)在每個(gè)q的(S,Fq(S))雙對(duì)數(shù)圖上,考察波動(dòng)函數(shù)的標(biāo)度行為。如果時(shí)間序列{xt}是長(zhǎng)程冪律相關(guān)的,那么Fq(S)與S存在以下關(guān)系:

Fq(S)～Sh(q)。

(8)

對(duì)公式(8)進(jìn)行最小二乘法線性擬合,即可得到廣義Hurst指數(shù)h(q)。

一般當(dāng)h(q)<0.5時(shí),時(shí)間序列表現(xiàn)出反持久性;當(dāng)h(q)>0.5時(shí),時(shí)間序列表現(xiàn)出持久性。若h(q)隨著q表現(xiàn)為冪律函數(shù)關(guān)系時(shí),則h(q)顯著依賴于q,表明序列具有多重分形特性。此時(shí),時(shí)間序列具有不同的標(biāo)度行為:q>0時(shí),Fq(S)的大小取決于F2(v,S)較大的波動(dòng),h(q)刻畫(huà)了大漲落的標(biāo)度行為;q<0時(shí),Fq(S)的大小取決于F2(v,S)較小的波動(dòng),h(q)描述了小漲落的標(biāo)度行為。一般在多重分形分析中,大漲落的h(q)小于小漲落的h(q)。

由Renyi尺度指數(shù)可知,廣義Hurst指數(shù)h(q)與質(zhì)量指數(shù)τ(q)存在如下關(guān)系:

τ(q)=qh(q)-1。

(9)

若τ(q)與q呈線性關(guān)系,表明時(shí)間序列是單分形結(jié)構(gòu)。若兩者存在非線性關(guān)系,說(shuō)明時(shí)間序列為多重分形結(jié)構(gòu),且非線性關(guān)系越顯著,序列的多重分形特征就越顯著。

利用Legendre變換,得:

(10)

式中α為奇異指數(shù)。α越大,信號(hào)的局部奇異性就越弱,正則性越強(qiáng),信號(hào)就越平滑;反之,信號(hào)在該區(qū)間范圍內(nèi)奇異性就越強(qiáng),正則性越弱,局部變化越劇烈。分形譜的寬度Δα可用來(lái)描述多重分形譜奇異性強(qiáng)度的范圍:

Δα=αmax-αmin。

(11)

Δα越大,時(shí)間序列分布就越不均勻,多重分形強(qiáng)度越大;Δα越小,則時(shí)間序列趨向于單分形。

1.3 小波領(lǐng)袖多重分形(WLMF)

小波領(lǐng)袖法[10]是基于離散小波變換的分形方法,它通過(guò)特定的方案搜尋不同尺度上小波系數(shù)的最大值。

對(duì)于序列X,其離散小波變換系數(shù)dX(j,k)為:

(12)

式中:ψ0(t)為具有緊支撐的小波母函數(shù);ψj,k(t)(j,k∈Z)為通過(guò)對(duì)母小波進(jìn)行平移和伸縮產(chǎn)生的函數(shù)集合。

定義λ=λj,k=[2jk,2j(k+1)]為2的冪次方間隔,用3λ表示λ與其相鄰的并集,即:

3λj,k=λj,k-1∪λj,k∪λj,k+1。

(13)

則小波領(lǐng)袖為:

(14)

LX(j,k)是鄰域?yàn)?j′(k-1)≤k′j′<2j(k+2),尺度為2j′≤2j的所有小波尺度中的上確界,即LX(j,k)等于在所有{2j|0

小波領(lǐng)袖能為多重分形分析提供多分辨率的變量,并能刻畫(huà)奇異性。其結(jié)構(gòu)函數(shù)SL(q,j)與分解尺度2j滿足SL(q,j)～(2j)ζL(q)(2j→0)。結(jié)構(gòu)函數(shù)和尺度函數(shù)分別表示為:

(15)

(16)

式中nj為當(dāng)尺度取2j時(shí)的小波領(lǐng)袖的個(gè)數(shù)。

根據(jù)Legendre變換,可以得到基于小波領(lǐng)袖的多重分形奇異譜參數(shù):

(17)

WENDT H等[20]利用參數(shù)公式避免了Legendre變換,簡(jiǎn)化了多重分形譜的計(jì)算,即:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

1.4 研究區(qū)概況

黑河發(fā)源于河西走廊和祁連山中段冰川區(qū),對(duì)環(huán)境的響應(yīng)較為敏感,受氣候變化和人類(lèi)活動(dòng)影響嚴(yán)重。鶯落峽水文站以上為黑河上游,西支有札馬什克水文站,東支有祁連水文站。上游地勢(shì)高峻,氣候嚴(yán)寒濕潤(rùn),植被較好,是黑河水的主要來(lái)源區(qū),黑河流域徑流主要受降水、融冰融雪等影響。春季徑流以地下水補(bǔ)給和冰雪融水為主,夏季和秋季以降水補(bǔ)給為主。每年的10月到次年的3月河流處于冰凍期,為枯水季節(jié),徑流量小而穩(wěn)定,地表徑流量占年徑流總量的20%左右;4—6月(春末夏初),隨著氣溫升高,祁連山區(qū)冰雪融化,水量增加,地表徑流量上升;7—9月為梅雨季節(jié),降水量急劇增加,同時(shí)冰川融水量也達(dá)到最大,達(dá)地表徑流量的50%以上。

鶯落峽站是黑河干流出山口控制站,鶯落峽站至正義峽站斷面為中游,是徑流利用區(qū),受人為因素影響強(qiáng)烈,徑流年內(nèi)分配變化顯著。每年的3—5月為春灌高峰期,此時(shí)河流處于冰凍期，河水徑流量小,黑河下泄水量很少,河床甚至出現(xiàn)斷流現(xiàn)象,因而正義峽站以下地表徑流量處于年內(nèi)最低值;6月河水流量開(kāi)始增加,7—9月為汛期,9月灌溉回歸水和地下水大量溢出,形成年內(nèi)徑流高峰;10月由于冬季灌溉和降水量的減少,河水流量再度減少,11月達(dá)到最低值;12月到次年3月為非農(nóng)業(yè)用水季節(jié),中游用水量減少,地下水補(bǔ)給相對(duì)穩(wěn)定,河流量平穩(wěn)。正義峽站斷面以下為下游,主要為沙漠戈壁,下游屬極端干旱區(qū),也是我國(guó)北方沙塵暴的主要來(lái)源區(qū)之一。

本文采用的數(shù)據(jù)資料為:札馬什克站1959.01—2017.12、祁連站1968.01—2017.12、鶯落峽站1954.01—2018.12、正義峽站1963.01—2012.12的實(shí)測(cè)月徑流量。研究區(qū)水系如圖1所示。

2 結(jié)果與分析

2.1 季節(jié)分解

對(duì)黑河上中游4個(gè)水文站的實(shí)測(cè)月徑流序列進(jìn)行STL季節(jié)分解,分解結(jié)果如圖2所示。由于本文時(shí)間序列為月數(shù)據(jù),因此nP取12。各水文站月徑流序列STL分解后的季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)平滑參數(shù)取值見(jiàn)表1。

圖2 各水文站月徑流序列STL季節(jié)分解圖

表1 各水文站實(shí)測(cè)月徑流序列STL分解平滑參數(shù)

由圖2可知,各水文站實(shí)測(cè)月徑流序列具有周期性,但并沒(méi)有固定的周期循環(huán)波動(dòng)特征,分解后的月徑流序列表現(xiàn)出顯著固有的穩(wěn)定周期性。其中札馬什克站、祁連站和鶯落峽站的月徑流序列具有穩(wěn)定的、單一的季節(jié)周期波動(dòng)特征,正義峽站的月徑流序列具有多個(gè)周期特征。說(shuō)明札馬什克站、祁連站和鶯落峽站的月徑流序列的周期波動(dòng)僅與季節(jié)變化有關(guān),而正義峽站月徑流序列的周期波動(dòng)不僅與季節(jié)波動(dòng)有關(guān),還與人類(lèi)周期活動(dòng)有關(guān)。

2.2 多重分形分析

在分析時(shí)間序列的多重分形性質(zhì)時(shí),MF-DFA方法通常假定一個(gè)寬泛的時(shí)間尺度,即標(biāo)度s。一般取s∈[6,N/6],其中N為時(shí)間序列的長(zhǎng)度。

札馬什克站、祁連站、鶯落峽站、正義峽站的月徑流序列在WLMF和MF-DFA2方法下的尺度函數(shù)譜和多重分形譜分別如圖3—6所示,圖中季節(jié)調(diào)整序列為實(shí)測(cè)月徑流序列經(jīng)STL分解后去除季節(jié)周期項(xiàng)的序列。

圖3 札馬什克站月徑流序列的尺度函數(shù)譜和多重分形譜

圖4 祁連站月徑流序列的尺度函數(shù)譜和多重分形譜

圖5 鶯落峽站月徑流序列的尺度函數(shù)譜和多重分形譜

圖6 正義峽站月徑流序列的尺度函數(shù)譜和多重分形譜

圖3(a)—圖6(a)的尺度函數(shù)譜顯示,各水文站時(shí)間序列的尺度函數(shù)τ(q)與q呈明顯的非線性關(guān)系,且呈凸的遞增函數(shù)關(guān)系,可見(jiàn)各水文站的月徑流時(shí)間序列都具有多重分形特性?；贛F-DFA2方法的多重分形分析顯示:在消除季節(jié)周期波動(dòng)影響后,各水文站月徑流序列的尺度函數(shù)τ(q)與q的關(guān)系曲線的斜率增大,說(shuō)明時(shí)間序列的周期性波動(dòng)對(duì)分形參數(shù)的估計(jì)產(chǎn)生影響,且在消除季節(jié)周期波動(dòng)影響后月徑流序列變化更劇烈;曲線斜率在q<0時(shí)比在q>0時(shí)變化明顯,說(shuō)明MF-DFA2方法對(duì)參數(shù)敏感性在q<0時(shí)比q>0時(shí)大。基于WLMF方法的分析結(jié)果顯示:在消除季節(jié)周期波動(dòng)影響后,札馬什克站、祁連站和鶯落峽站τ(q)與q的關(guān)系曲線的斜率在q<0時(shí)沒(méi)有發(fā)生顯著變化,但在q>0時(shí)減小,這與MF-DFA2方法的分析結(jié)果不同,這是由于時(shí)間序列較短導(dǎo)致WLMF方法的計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)偏差;正義峽站τ(q)與q的關(guān)系曲線斜率在q<0時(shí)增大,在q>0時(shí)沒(méi)有發(fā)生變化,與MF-DFA2方法的分析結(jié)果一致。

圖3(b)—圖6(b)的多重分形譜顯示,各水文站時(shí)間序列的多重分形譜為凸曲線,說(shuō)明各水文站的月徑流序列具有多重分形特性。經(jīng)季節(jié)調(diào)整后,序列的多重分形譜發(fā)生變化,說(shuō)明季節(jié)周期波動(dòng)會(huì)對(duì)分形結(jié)果產(chǎn)生影響。對(duì)于實(shí)測(cè)月徑流序列:札馬什克站和正義峽站的月徑流序列相對(duì)較短,兩種分形計(jì)算方法的結(jié)果相差較大;祁連站和鶯落峽站的月徑流序列相對(duì)較長(zhǎng),兩種分形計(jì)算方法的結(jié)果基本一致,這與WLMF方法受時(shí)間序列長(zhǎng)短的影響有關(guān);WLFM和MF-DFA2兩種方法的計(jì)算結(jié)果顯示,札馬什克站、祁連站和鶯落峽站月徑流序列多重分形譜的寬度Δα在q>0時(shí)比q<0時(shí)小,表明α較大的部分占優(yōu)勢(shì),月徑流序列的變化主要是由小漲落引起;正義峽站月徑流序列多重分形譜的寬度Δα在q>0時(shí)與q<0時(shí)基本一致,說(shuō)明小漲落和大漲落對(duì)月徑流序列的影響同等重要。與實(shí)測(cè)序列相比,WLMF方法下各水文站季節(jié)調(diào)整月徑流序列的多重分形譜向左偏,MF-DFA2方法下多重分形譜向右偏,說(shuō)明季節(jié)周期波動(dòng)對(duì)分形結(jié)果有影響;其中圖6(b)顯示,在q>0時(shí)正義峽站季節(jié)調(diào)整后月徑流序列的多重分形譜與實(shí)測(cè)序列相比變化不顯著,在q<0時(shí)季節(jié)調(diào)整后月徑流序列的多重分形譜顯著向右偏,說(shuō)明季節(jié)周期波動(dòng)對(duì)q<0時(shí)正義峽站月徑流序列的多分形特性有影響。

各水文站月徑流序列在不同分形計(jì)算方法下的奇異指數(shù)特征見(jiàn)表2。

表2 各水文站月徑流序列奇異指數(shù)特征值

表2顯示,消除季節(jié)周期影響后各水文站月徑流序列多重分形譜的寬度(Δα)普遍增大,序列變得不均勻,多重分形強(qiáng)度增大。對(duì)于實(shí)測(cè)月徑流序列,札馬什克站、祁連站、鶯落峽站和正義峽站Δα的均值分別為0.819、0.629、0.584、0.641,消除季節(jié)周期影響后,各水文站Δα的均值分別為0.961、0.898、0.726、1.104,可見(jiàn),消除季節(jié)周期影響后各水文站月徑流序列多重分形譜的寬度增大。這說(shuō)明黑河上中游月徑流序列的分布不均勻性增強(qiáng),多重分形強(qiáng)度增大,則季節(jié)周期波動(dòng)是引起黑河上中游月徑流量變化的原因之一。其中,正義峽站的Δα在4個(gè)水文站中最大(1.104),其變化也最大。但圖6(b)的分析結(jié)果顯示,季節(jié)周期波動(dòng)主要影響q<0時(shí)正義峽站月徑流序列的分形特性,而MF-DFA2分形方法對(duì)q<0時(shí)表現(xiàn)得最為敏感,因此只能說(shuō)明季節(jié)周期波動(dòng)對(duì)正義峽站月徑流量有影響,但影響程度不顯著。根據(jù)表2分析結(jié)果可知,札馬什克站、祁連站和鶯落峽站月徑流序列的多重分形特征主要受季節(jié)周期波動(dòng)的影響,且從黑河上游到中游月徑流序列的分形強(qiáng)度在減弱,不均勻性在減小。

各水文站月徑流序列的廣義Hurst指數(shù)h(q)隨階數(shù)q的變化情況如圖7所示。

圖7 各水文站月徑流序列廣義Hurst指數(shù)

由圖7可知,各水文站月徑流序列的廣義Hurst指數(shù)h(q)隨階數(shù)q的遞增而遞減,表明黑河上中游月徑流序列具有多重分形特性?；贛F-DFA2方法,鶯落峽站實(shí)測(cè)月徑流序列h(2)<0.5,札馬什克站、祁連站和正義峽站實(shí)測(cè)月徑流序列h(2)>0.5,即鶯落峽站實(shí)測(cè)月徑流序列具有反持久性,札馬什克站、祁連站和正義峽站實(shí)測(cè)月徑流序列具有持久性;消除季節(jié)周期影響的各水文站月徑流序列h(q)均大于0.5,普遍大于實(shí)測(cè)月徑流序列h(q),且在q<0時(shí)比q>0時(shí)變化顯著,說(shuō)明季節(jié)周期波動(dòng)降低了月徑流序列持久性的強(qiáng)度,同時(shí)也說(shuō)明了MF-DFA2方法在q<0時(shí)更敏感?；赪LMF方法,札馬什克站、鶯落峽站和正義峽站實(shí)測(cè)月徑流序列h(2)<0.5,祁連站實(shí)測(cè)月徑流序列h(2)>0.5;消除季節(jié)周期影響后,各水文站月徑流序列h(2)均小于0.5,與MF-DFA2方法所得結(jié)論相反。這說(shuō)明兩種方法對(duì)季節(jié)周期波動(dòng)的響應(yīng)不同,而WLMF方法受序列長(zhǎng)短影響。因此,WLMF方法不適用于札馬什克站和正義峽站。

在MF-DFA2方法下各水文站月徑流序列在季節(jié)調(diào)整前、后的配分函數(shù)圖分別如圖8—11所示。圖中(F(s),s)的雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上直線部分的斜率,即為h(q)的估計(jì)值；q∈[-10,10]。對(duì)比各水文站去除季節(jié)周期波動(dòng)趨勢(shì)前、后的配分函數(shù)關(guān)系圖發(fā)現(xiàn),在去除季節(jié)周期波動(dòng)趨勢(shì)后,札馬什克站、祁連站和鶯落峽站月徑流序列的lbFq(s)與lbs之間的非線性程度大大減小。圖8—10顯示,札馬什克站、祁連站和鶯落峽站實(shí)測(cè)月徑流序列配分函數(shù)曲線的斜率在lbs=3.5～4.0(即第10—16個(gè)月)時(shí)發(fā)生突變,而消除季節(jié)周期波動(dòng)趨勢(shì)后lbFq(s)與lbs之間表現(xiàn)出顯著的線性關(guān)系,且突變點(diǎn)消失,說(shuō)明實(shí)測(cè)月徑流序列中,季節(jié)周期波動(dòng)是導(dǎo)致lbFq(s)發(fā)生不規(guī)則變化的主要原因,突變點(diǎn)是由信號(hào)的季節(jié)周期波動(dòng)產(chǎn)生的。但q取負(fù)值時(shí),波動(dòng)函數(shù)曲線在更小的尺度范圍仍然有彎曲情況,表明還有其他因素(如噪聲)對(duì)月徑流序列產(chǎn)生影響。在消除季節(jié)周期波動(dòng)前、后,正義峽站波動(dòng)函數(shù)Fq(s)與尺度s的線性關(guān)系只在q<0時(shí)有變化,但不顯著,說(shuō)明引起正義峽站lbFq(s)產(chǎn)生不規(guī)則變化的主要原因不在于季節(jié)周期波動(dòng),而與人類(lèi)活動(dòng)有關(guān)。

圖8 札馬什克站月徑流序列MF-DFA2配分函數(shù)關(guān)系圖

圖9 祁連站月徑流序列MF-DFA2配分函數(shù)關(guān)系圖

圖10 鶯落峽站月徑流序列MF-DFA2配分函數(shù)關(guān)系圖

圖11 正義峽站月徑流序列MF-DFA2配分函數(shù)關(guān)系圖

3 結(jié)語(yǔ)

本文運(yùn)用WLMF和MF-DFA2方法,對(duì)STL季節(jié)分解前、后的黑河上中游札馬什克站、祁連站、鶯落峽站和正義峽站的月徑流序列進(jìn)行多重分形分析。通過(guò)對(duì)兩種分析方法的函數(shù)尺度譜和多重分形譜、奇異指數(shù)特征值和廣義Hurst指數(shù)進(jìn)行對(duì)比,以及對(duì)MF-DFA2方法下的配分函數(shù)關(guān)系圖進(jìn)行分析,結(jié)果顯示:黑河上中游月徑流序列具有多重分形特性;其中,鶯落峽站實(shí)測(cè)月徑流序列具有反持久性,札馬什克站、祁連站和正義峽站實(shí)測(cè)月徑流序列具有持久性;黑河上游月徑流序列的長(zhǎng)程相關(guān)性主要由季節(jié)周期波動(dòng)引起,從札馬什克站到鶯落峽站月徑流序列的分形強(qiáng)度減弱,不均勻性減小;而正義峽站月徑流序列的不均勻性主要與人類(lèi)活動(dòng)有關(guān)。

本研究中,徑流時(shí)間序列的長(zhǎng)度相對(duì)較長(zhǎng)(大于600個(gè)月),但對(duì)于WLMF方法而言,月徑流時(shí)間序列的長(zhǎng)度仍不能滿足該方法對(duì)時(shí)間序列長(zhǎng)度的要求,導(dǎo)致WLMF方法和MF-DFA2方法的多重分形分析結(jié)果存在誤差。因此,在今后的研究中需選取更長(zhǎng)的徑流序列來(lái)討論兩種分形分析方法下黑河上中游月徑流序列的多重分形特性及其影響因素。