借助三角形外心 巧妙求解參數(shù)值
——對(duì)一道向量題的探究

?江蘇省無(wú)錫市江陰長(zhǎng)涇中學(xué) 劉旭東

平面向量同時(shí)兼?zhèn)洹皵?shù)”的性質(zhì)與“形”的特征，一直是歷年高考數(shù)學(xué)試題中的熱點(diǎn)題型之一.而在平面向量中融入三角形的基本特征，設(shè)置創(chuàng)新新穎，內(nèi)涵豐富多彩，破解思維多變，是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力交匯與融合的一大主陣地，具有很好的選拔性與區(qū)分度，倍受各方關(guān)注.

1 問題呈現(xiàn)

此題以三邊長(zhǎng)確定的三角形為問題背景，結(jié)合三角形的外心，通過含參的平面向量的線性關(guān)系式的設(shè)置，來(lái)確定對(duì)應(yīng)的兩參數(shù)的和.破解時(shí)，可以從平面向量角度、解三角形角度、坐標(biāo)角度等切入，利用不同的方法來(lái)處理與求解.

2 問題破解

方法1：數(shù)量積轉(zhuǎn)化法.

圖1

如圖1,過外心O作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E，則D，E分別為AB，AC的中點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合平面幾何的圖形特征，通過輔助線的構(gòu)建，借助三角形外心的實(shí)質(zhì)，綜合平面向量的數(shù)量積以及直角三角形的定義加以轉(zhuǎn)化，建立兩參數(shù)的方程組，利用方程組的解來(lái)確定相應(yīng)的參數(shù)值，進(jìn)而求解兩參數(shù)的和.合理利用平面向量的線性關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積公式的應(yīng)用加以巧妙轉(zhuǎn)化，這是破解此類平面向量計(jì)算問題的常見方法.

圖2

方法2：解三角形法.

解析：如圖2,延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D.

根據(jù)余弦定理，可得

由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，得

在△OAB中，根據(jù)余弦定理，得

由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，得

所以∠OAB=∠ADB，于是BD=AB=4.

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合三角形的幾何背景，綜合應(yīng)用余弦定理與正弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形的內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式以及三角恒等變形公式等，通過平面向量中三點(diǎn)共線的性質(zhì)及其定理加以合理轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求解兩參數(shù)的和.合理利用解三角形與平面向量的綜合知識(shí)，結(jié)合三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)加以巧妙轉(zhuǎn)化，這是破解此類涉及三角形的平面向量問題的常見方法.

方法3：余弦定理的向量表示法.

結(jié)合余弦定理的向量表示形式，由上式可得

32λ+27μ=16.

①

3λ+8μ=4.②

故選擇答案：C.

點(diǎn)評(píng)：方法3是在方法1的基礎(chǔ)上進(jìn)一步優(yōu)化而來(lái)，借助余弦定理的向量表示形式加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，結(jié)合平面向量的數(shù)量積與余弦定理的應(yīng)用來(lái)處理，合理轉(zhuǎn)化，巧妙破解，進(jìn)而得以求解兩參數(shù)的和.合理利用余弦定理，是對(duì)平面向量與解三角形知識(shí)的有效融合與應(yīng)用，可以更好優(yōu)化過程，提升解題效益.

3 變式拓展

探究1：保留問題的所有條件，改變?cè)O(shè)問方式，分別求解兩參數(shù)的對(duì)應(yīng)值，得到以下對(duì)應(yīng)的變式問題.

探究2：保留三角形外心的背景，改變問題的相關(guān)條件，給出平面向量的線性關(guān)系式，求解對(duì)應(yīng)角的余弦值，得到以下對(duì)應(yīng)的變式問題.

4 解后反思

破解此類巧妙融合三角形與平面向量相關(guān)知識(shí)的數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵是正確把握其中“數(shù)”的性質(zhì)與“形”的特征.可以從“數(shù)”的性質(zhì)入手，利用代數(shù)視角，通過代數(shù)運(yùn)算或平面向量的運(yùn)算等形式來(lái)解決；也可以從“形”的特征入手，利用幾何直觀，通過平面幾何特征或圖形直觀等形式來(lái)處理；更高層次就是“數(shù)”與“形”的綜合應(yīng)用，兩者協(xié)同合作，通過坐標(biāo)運(yùn)算等形式來(lái)破解等.破解思維各異，方法多樣.