“同構(gòu)”新天地，“找點(diǎn)”大舞臺
——2022年新高考Ⅰ卷第22題的解析

?江蘇省沭陽高級中學(xué) 紀(jì)秀艷 ?山東省濱州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王 潔 劉曉蕾 賈生森

1 真題呈現(xiàn)

(2022年新高考Ⅰ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

2 第(1)問分析

當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，則f(x)在R上單調(diào)遞增，此時f(x)無最小值；因?yàn)間′(x)<0，則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，此時g(x)無最小值.

當(dāng)a>0時，令f′(x)=0，則x=lna.當(dāng)x∈(-∞,lna),f′(x)<0；當(dāng)x∈(lna,+∞),f′(x)>0.于是f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)min=f(lna)=a-alna.

由f(x)min=g(x)min，得1+lna=a-alna.

此處超越式方程的解法，有兩種途徑：構(gòu)造函數(shù)和放縮.而構(gòu)造函數(shù)又有兩種方法，放縮又有四種方法，見思維導(dǎo)圖1.

圖1

思路一：求最值，直接建立關(guān)于a的方程.

解法1:構(gòu)造函數(shù)(一).

由1+lna=a-alna，得(a+1)lna+1-a=0.

解法2:構(gòu)造函數(shù)(二).

解法3:切線放縮+兩邊夾.

說明：a>0,不等式a-1≥lna取等號時的幾何意義是直線y=x-1與曲線y=lnx相切.

解法4:糖水不等式+放縮法.

思路二：設(shè)最值，化歸為公切線問題.

解法5：公切線法.

思路三：先猜后證.

解法6:必要性探路+放縮法.

設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值為t.由解法5可知，只需證明?x∈(0,+∞),lnx+t≤ax≤ex-t即可.又由常見的切線不等式，可知lnx+t≤x-1+t,x+1-t≤ex-t.因此只需證x-1+t≤ax≤x+1-t，即證t-1≤(a-1)x≤1-t，只需證|(a-1)x|≤1-t.因?yàn)閷?x∈(0,+∞)，都有|(a-1)x|≤1-t，所以a=1.

3 第(2)問分析

解決零點(diǎn)問題，需采用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)第(1)題所得f(x),g(x)的單調(diào)性作出圖象(如圖2), 圖中三個交點(diǎn)從左到右分別記為A(x1,y1),B(x0,y0),C(x2,y2).

圖2

因?yàn)榇嬖谥本€y=b與曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點(diǎn)，又由(1)可知兩函數(shù)最小值皆為1，所以b>1.

第(2)題要確定y=f(x)和y=g(x)有交點(diǎn)，以及直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)分別有交點(diǎn)，再證明這三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

第(2)題的思維導(dǎo)圖如圖3所示：

圖3

方法一：構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理，確定隱零點(diǎn).

先確定函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的交點(diǎn)B(x0,y0).

再找函數(shù)值為負(fù)的變量，有兩種常見方式：

找點(diǎn)注釋：

方式二：利用二分法思想找點(diǎn)，通過估值計(jì)算，不斷嘗試得到函數(shù)值為負(fù)即可.

再確定直線y=b與y=f(x)的兩個交點(diǎn)A(x1,y1),B(x0,y0).

令H(x)=f(x)-b，則H′(x)=ex-1，于是H(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

由H(-b)=e-b>0,且H(0)=1-b<0，可得H(-b)·H(0)<0.所以函數(shù)H(x)=f(x)-b存在唯一零點(diǎn)x1∈(-∞,0)，即曲線y=f(x)與直線y=b在(-∞,0)上有唯一交點(diǎn)A(x1,y1).

由H(b)=eb-2b≥eb-2b>0,得H(b)H(0)<0.所以函數(shù)H(x)=f(x)-b存在唯一零點(diǎn)x3∈(0,b)，即y=f(x)與y=b在x∈(0,+∞)有唯一交點(diǎn)(x3,y3).又ex3-x3=b，ex0-x0=b，且H(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增，則x3=x0.所以直線y=b與曲線y=f(x)交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x0,y0).

找點(diǎn)注釋：

上述解法中尋找-b的途徑：H(x)=ex-x-b>-x-b≥0?x≤-b，于是可取x=-b<0.

最后確定直線y=b與曲線y=g(x)的兩個交點(diǎn)C(x2,y2),B(x0,y0).

由G(eb)=eb-2b>0,且G(1)=1-b<0，可得G(eb)·G(1)<0.故G(x)存在唯一零點(diǎn)x2∈(1,+∞)，即曲線y=g(x)與y=b在(1,+∞)上有唯一交點(diǎn)C(x2,y2)，且x2>1.

由G(e-b)=e-b>0,G(0)=1-b<0，得G(e-b)·G(0)<0.故G(x)存在唯一零點(diǎn)x4∈(0,1).又x4-lnx4=b，x0-lnx0=b，且G(x)在x(0,1)上單調(diào)遞減，則x4=x0.所以曲線y=g(x)與直線y=b交于兩點(diǎn)C(x2,y2),B(x0,y0).此處還可以利用G(2b)=b-ln 2b>0找點(diǎn).

由此可知，存在直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點(diǎn)，滿足ex0-x0=x0-lnx0=b>1，即ex0+lnx0=2x0，從左至右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

找點(diǎn)注釋：

尋找eb的方法：只要大于2b，都符合題意，而b>1,eb>eb>2b.

取點(diǎn)常常取對數(shù)形式點(diǎn)代入含指數(shù)式的函數(shù)易于運(yùn)算；同樣，我們也常常取指數(shù)形式點(diǎn)代入含對數(shù)式的函數(shù)易于運(yùn)算.

導(dǎo)數(shù)找點(diǎn)有兩種方式：①猜根；②放縮取點(diǎn).當(dāng)目標(biāo)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜猜根不易時，通常采用放縮取點(diǎn).

方法二：同構(gòu)法(對數(shù)向指數(shù)轉(zhuǎn)化).

由f(x0)=g(x0)，得ex0-x0=x0-lnx0，則ex0+lnx0=2x0，所以存在直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

方法三：同構(gòu)法(指數(shù)向?qū)?shù)轉(zhuǎn)化).

方法四：反函數(shù).

由題意可得，ex-x=b和x-lnx=b共有三個不同的根，等價(jià)于ex=x+b和lnx=x-b共有三個不同的根.y=ex和y=lnx互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線y=x對稱；y=x+b和y=x-b也互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線y=x對稱.根據(jù)對稱性，得?b∈R，使y=ex與y=x+b交于A,B兩點(diǎn)，y=lnx與y=x-b交于C,D兩點(diǎn)，且B,C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同時一共有3個根.

圖4

如圖4,設(shè)A(x1y1)，B(x0y0)，C(x0y0)，D(x2y2)，由反函數(shù)的對稱性，易知x0-x1=y2-y0.

又直線CD的斜率為1，則y2-y0=x2-x0.所以x2-x0=x0-x1，即從左至右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

第(2)題方法一通過構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)，通過函數(shù)的單調(diào)性尋找函數(shù)h(x)在(0，+∞)上存在的唯一零點(diǎn)，進(jìn)而找到x0∈(e-2,1)，從而得到證明；方法二和方法三采用指數(shù)式與對數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行同構(gòu)；方法四比較巧妙地通過觀察發(fā)現(xiàn)y=ex與y=lnx互為反函數(shù)，y=x+b與y=x-b互為反函數(shù)，利用對稱性得到x0-x1=y2-y0，以及kCD=1得到證明.