基于問題驅(qū)動(dòng)的“以學(xué)生為中心”的矩陣乘法教學(xué)設(shè)計(jì)研究

李艷艷，蔣建新，高美平，黃衛(wèi)華

（文山學(xué)院人工智能學(xué)院，云南 文山 663099）

《線性代數(shù)》課程是理、工、農(nóng)、經(jīng)管類專業(yè)必修的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課之一，關(guān)于線性代數(shù)的課程建設(shè)、教學(xué)改革，以及教學(xué)設(shè)計(jì)等，已經(jīng)進(jìn)行了各具特色的研究。

本文把研究視角放在具體的一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)研究上，從小視角見大問題。矩陣乘法選自線性代數(shù)第二章第2節(jié)矩陣的運(yùn)算部分，矩陣是線性代數(shù)問題的主要工具，矩陣乘法是矩陣的重要運(yùn)算，不管是對(duì)于后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，還是實(shí)際的應(yīng)用，都發(fā)揮著承前啟后和不可替代的作用。本文著重從理論角度、實(shí)踐應(yīng)用角度、課程思政角度、學(xué)生中心角度研究矩陣乘法的教學(xué)設(shè)計(jì)問題。

1 預(yù)備階段

1.1 教材分析

矩陣與矩陣的相乘運(yùn)算是矩陣中常用的運(yùn)算，是學(xué)習(xí)矩陣的逆、矩陣的對(duì)角化等本課程后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求復(fù)述矩陣的乘法運(yùn)算規(guī)則，應(yīng)用矩陣的乘法運(yùn)算滿足的規(guī)律解決問題。特別地，要識(shí)記矩陣乘法運(yùn)算不滿足的規(guī)律，認(rèn)識(shí)左乘和右乘的概念。

1.2 學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)掌握了矩陣的概念，掌握了矩陣的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算，矩陣的加法是兩個(gè)矩陣相加，要求相加的兩個(gè)矩陣是同型矩陣。那么兩個(gè)同型的矩陣是否也可以相乘呢？運(yùn)算規(guī)則是什么？帶著這些問題，學(xué)習(xí)矩陣的乘法運(yùn)算。

1.3 教學(xué)目標(biāo)

（1）復(fù)述兩個(gè)矩陣相乘C=AB的運(yùn)算中，必須滿足前一個(gè)矩陣的列數(shù)等于后一個(gè)矩陣的行數(shù)才可以相乘，掌握乘法運(yùn)算法則。

（2）識(shí)記矩陣乘法運(yùn)算不滿足的規(guī)律，深入理解矩陣的概念。

（3）靈活、熟練利用矩陣乘法解決矩陣運(yùn)算的問題。

1.4 教學(xué)重點(diǎn)

（1）兩個(gè)矩陣相乘C=AB的運(yùn)算法則中，前提條件、結(jié)果類型、乘積之后元素的特點(diǎn)。

（2）矩陣乘法運(yùn)算與實(shí)數(shù)域中兩個(gè)實(shí)數(shù)乘法的差別，矩陣乘法運(yùn)算不滿足交換律和消去律。

1.5 教學(xué)難點(diǎn)

（1）矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)則。

（2）矩陣乘法不滿足的規(guī)律。

2 從理論角度的教學(xué)設(shè)計(jì)

目前文山學(xué)院使用的線性代數(shù)教材是同濟(jì)大學(xué)工程數(shù)學(xué)——線性代數(shù)，貫穿教材的主線是求解線性方程組，重要載體是矩陣，那么矩陣運(yùn)算的學(xué)習(xí)就顯得尤為重要。矩陣乘法不像實(shí)數(shù)乘法那樣直接，但又關(guān)聯(lián)度緊密。為了使該問題的認(rèn)識(shí)能更加自然和深刻，所以采用了從具體到抽象，從特殊到一般的設(shè)計(jì)思路，以及類比的數(shù)學(xué)思想方法。

2.1 從具體到抽象

通過工廠總收入和總利潤問題的簡便解決，探究矩陣乘法法則，然后將該法則從具體抽象到一般情況。

表1 2017年各工廠的各產(chǎn)品產(chǎn)量（噸）

表2 各產(chǎn)品的單位價(jià)格及單位利潤（萬元/噸）

表3 各工廠一年的總收入及總利潤（萬元/噸）

將上述3個(gè)表格分別抽象成矩陣

2.2 從特殊到一般

矩陣乘法的性質(zhì)，與傳統(tǒng)認(rèn)知中的實(shí)數(shù)乘法有著一定的差異和相似，所以在第一階段基礎(chǔ)初級(jí)的訓(xùn)練中，設(shè)計(jì)兩個(gè)例題，分別是針對(duì)矩陣乘法不滿足交換律和消去律的探討，從而將其不滿足的性質(zhì)從特殊推廣到一般。

兩個(gè)例題讓學(xué)生分組完成，在表象結(jié)果的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生思考矩陣乘法不滿足的性質(zhì)，并深刻的分析其原因，使學(xué)生的認(rèn)知發(fā)生質(zhì)的飛躍。

2.3 類比的思想

矩陣乘法的性質(zhì)，通過類比實(shí)數(shù)乘法的性質(zhì)，平行得出結(jié)果，充分體現(xiàn)了舊知類比得出新知的理念。具體有

3 從實(shí)踐的角度設(shè)計(jì)應(yīng)用

線性代數(shù)來源于生活實(shí)際，又很好地服務(wù)于科學(xué)研究和生活，所以在導(dǎo)入環(huán)節(jié)（情境創(chuàng)設(shè)）通過大量的圖片介紹其廣泛的應(yīng)用。在升華環(huán)節(jié)，通過具體的實(shí)例分析其詳細(xì)的應(yīng)用。通過表象感觸和深入探討的結(jié)合，使學(xué)生深刻領(lǐng)悟到矩陣乘法的廣泛應(yīng)用。

（1）導(dǎo)入環(huán)節(jié)：首先從矩陣乘法在圖片加密，字體變換，人臉識(shí)別，搜索引擎，圖像處理，我國自主研發(fā)的飛機(jī)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用案例，進(jìn)行課題導(dǎo)入。緊接著通過如何快速計(jì)算工廠的總收入和總利潤問題，歸納、總結(jié)、抽象矩陣乘法的法則。

（2）應(yīng)用環(huán)節(jié)：通過設(shè)計(jì)，明文—加密—密文，展示了矩陣乘法的應(yīng)用，同時(shí)也為，密文—解密—明文，中逆矩陣的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

4 從課程思政的角度設(shè)計(jì)

課程思政貫穿于本節(jié)課的始終，從多角度和多維度進(jìn)行融入，有愛國情懷，數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化以及數(shù)學(xué)家的精神，攻堅(jiān)克難的勇氣，團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和精益求精精神等。

4.1 愛國情懷

情境創(chuàng)設(shè)、課題引入環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)了運(yùn)20和殲20的總設(shè)計(jì)師——西北工業(yè)大學(xué)最牛上下鋪——楊偉與唐長紅，感悟他們?yōu)榱藝仄鞣瞰I(xiàn)終生的精神。

4.2 數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化以及數(shù)學(xué)家的精神方面

一是科學(xué)家的執(zhí)著精神。介紹了英國數(shù)學(xué)家凱萊的成長成才經(jīng)歷，在被迫放棄自己熱愛的工作時(shí)，也沒有間斷自己為之著迷的數(shù)學(xué)研究。

二是團(tuán)隊(duì)合作的力量。凱萊與他的金牌搭檔英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特，一起為了代數(shù)型不變理論的研究的奮斗歷程。

三是奉獻(xiàn)精神。積極主動(dòng)投身社會(huì)工作，為了劍橋大學(xué)接收女性學(xué)生發(fā)揮了很大的作用，借此引出“七一勛章”獲得者，“全國優(yōu)秀共產(chǎn)黨員”張桂梅老師。

4.3 攻堅(jiān)克難的勇氣

設(shè)計(jì)了三個(gè)逐步遞進(jìn)的環(huán)節(jié)，梯度式的上升，在實(shí)踐中錘煉學(xué)生求真的意志和能力，攻堅(jiān)克難的勇氣。

第一階段：基礎(chǔ)初級(jí)階段—簡單的矩陣乘法法則的練習(xí)；

第二階段：提高、應(yīng)用—重走長征路，體會(huì)凱萊發(fā)明矩陣乘法的初衷，深刻感受科學(xué)家的求真精神，以及矩陣乘法的廣泛應(yīng)用。

例3已知兩個(gè)線性變換

第三階段：延伸、拓展—巧妙利用矩陣乘法的結(jié)合律，解決矩陣冪的計(jì)算問題。

4.4 通過合作式學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和精益求精精神

團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和精益求精精神貫穿整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的始終。小組合作探究環(huán)節(jié)，兩人一組，在團(tuán)隊(duì)成員之間可以對(duì)探究結(jié)果反復(fù)補(bǔ)充，直到滿意為止。

5 學(xué)生中心

“以學(xué)生為中心”的理念，是整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)、落腳點(diǎn)、產(chǎn)出點(diǎn)，也是靈魂之所在。

（1）兩次學(xué)習(xí)通3分鐘測試（課前、課后）。

（2）學(xué)生小組合作（兩兩一組），希沃白板學(xué)生作品展示，讓學(xué)生時(shí)時(shí)處處、真真切切參與課堂。在充分體現(xiàn)“學(xué)生中心”的基礎(chǔ)上，教師隨時(shí)隨刻掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

（3）通過PPT、希沃白板、黑板、學(xué)習(xí)通的無縫切換，讓智慧課堂淋漓盡致的展現(xiàn)，從而顯著提高學(xué)生課堂參與度和課堂的時(shí)效性。

6 總結(jié)

本文研究了工程數(shù)學(xué)——線性代數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)問題，基于教材、學(xué)情、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)，從理論、實(shí)踐、課程思政、學(xué)生中心四個(gè)角度，通過問題驅(qū)動(dòng)和案例式的方法，秉承學(xué)生中心的理念，進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)的深層次探討和實(shí)踐。