神奇的數(shù)字

□ 李亞玲

獨(dú)特的數(shù)字——O

有人認(rèn)為0 作為一個(gè)數(shù)字并不合適，畢竟，數(shù)字是用來計(jì)算的東西，你不能什么都不計(jì)算。

有證據(jù)表明，數(shù)字的歷史可以追溯到5000 年前，但0 的歷史只始于公元前1800 年左右的巴比倫人。即使在那時(shí)，它也不是一個(gè)完全成熟的數(shù)字，就像我們現(xiàn)在表示3601 這樣的數(shù)字中的0，它是一個(gè)位置設(shè)置符號(hào)，用來區(qū)分3601 和361。

巴比倫人表示0 的符號(hào)是兩個(gè)對(duì)角線箭頭，人們熟悉的壓扁的雞蛋形符號(hào)在公元800 年左右才出現(xiàn)。印度數(shù)學(xué)家最早將0 作為數(shù)字的起點(diǎn)，他們第一次意識(shí)到數(shù)字可以有一種不同于計(jì)算物理對(duì)象的抽象存在。例如，印度數(shù)學(xué)家及天文學(xué)家婆羅門笈多畫了一條數(shù)軸，其中包括正數(shù)、負(fù)數(shù)和0。

這一思路直到很久以后才被西方接受，部分原因是0 被認(rèn)為是通向負(fù)數(shù)的大門，而負(fù)數(shù)代表著債務(wù)和欺詐。然而，到了19 世紀(jì)末，數(shù)學(xué)家開始對(duì)建立數(shù)學(xué)邏輯規(guī)則產(chǎn)生了興趣。當(dāng)意大利數(shù)學(xué)家朱塞佩·皮亞諾列出一系列算術(shù)規(guī)則時(shí)，他的第一個(gè)公理堅(jiān)持認(rèn)為0 必須是一個(gè)數(shù)。否則，你將無法執(zhí)行跨越正負(fù)邊界的計(jì)算，如7—9。

自此，0 的數(shù)字地位得到了保障，但它在定義數(shù)字的真正含義方面還有更重要的作用。這就要提起集合理論，集合是德國(guó)數(shù)學(xué)家格奧爾格·康托爾在1874 年首次提出的概念，它是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)容器。它可能是童話故事《白雪公主》中的小矮人，也可能是一個(gè)星期中的天數(shù)。如果你能定義一個(gè)具有7 個(gè)元素的獨(dú)特集合，將有助于解釋數(shù)字7 的含義。結(jié)果證明，最好的方法涉及一個(gè)完全唯一的集合——空集，它的成員為0。

空集就像一個(gè)空紙袋，它不包含任何東西，所以它是唯一定義良好的集合。這是定義其他數(shù)字的好方法：1 是包含空集的集合，2 是包含1 和0 的集合，以此類推。

歐拉數(shù)e

把1 元錢存入銀行。如果年利率是100%，那么1 年后你將得到2 元。如果銀行不是在年底計(jì)算利息，而是更有規(guī)律地計(jì)算呢？這個(gè)問題將我們引向了數(shù)學(xué)中最微妙的數(shù)字之一。

假設(shè)銀行每年支付2 次利息，但將利率減半至50%。這將使你在6 個(gè)月后得到1.5 元，到年底，你將得到另外50%的利息，共得2.25 元。如果按月計(jì)息，但相應(yīng)地降低利率，你將得到2.61 元。繼續(xù)增加支付利息的次數(shù)并降低利率，你最多可以得到2.171828元。

這個(gè)數(shù)實(shí)際上是一個(gè)特殊的無理數(shù)，它和π 一樣，但沒有π那樣為人們所熟知。它被稱為歐拉數(shù)（或簡(jiǎn)稱e），以瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉的名字命名。

歐拉數(shù)不僅僅在計(jì)算復(fù)利時(shí)出現(xiàn)。例如，把虛數(shù)i 和e 混合在一起，就可以推出有史以來最著名的公式之一——?dú)W拉恒等式：eiπ+1=0。數(shù)學(xué)家對(duì)它的美麗推崇有加，因?yàn)樗? 個(gè)最重要的數(shù)字塞進(jìn)了一個(gè)簡(jiǎn)潔的表達(dá)式。

歐拉數(shù)也很實(shí)用，它對(duì)一種叫作傅里葉分析的數(shù)學(xué)技術(shù)至關(guān)重要，在這種技術(shù)的幫助下，研究人員用X 射線探測(cè)晶體，對(duì)得到的圖案進(jìn)行分析，從而揭示DNA 等分子的結(jié)構(gòu)。

最大的梅森素?cái)?shù)——282 589 933-1

將2 的82 589 933 次方減去1，就得到已知最大的素?cái)?shù)（亦稱質(zhì)數(shù)，即只能被1 和它本身整除的數(shù)），它有24 862 048 位數(shù)字。它也不是一般的素?cái)?shù)，而是梅森素?cái)?shù)，即“2P-1”型的素?cái)?shù)。

梅森素?cái)?shù)“俱樂部”的其他數(shù)字包括3、7 和31 等，要尋找更大的梅森素?cái)?shù)并非易事。到目前為止，我們只發(fā)現(xiàn)了51 個(gè)。盡管幾千年來我們一直知道有無窮多的素?cái)?shù)，但我們不知道梅森素?cái)?shù)是否有無窮多個(gè)。

素?cái)?shù)不僅是一種數(shù)字的獨(dú)特形式，它在金融安全領(lǐng)域也發(fā)揮著重要作用。為了確保所有在線交易都是加密的，以便只有預(yù)期的接收者才能解讀它們，我們需要依賴素?cái)?shù)。其原理是：接收者將兩個(gè)大的素?cái)?shù)相乘，生成一個(gè)新的數(shù)字，稱為公鑰。任何擁有這把密鑰的人都可以加密信息，但要把它們從“胡言亂語(yǔ)”變成有意義的東西，就需要知道最初的兩個(gè)素?cái)?shù)。

對(duì)計(jì)算機(jī)來說，將素?cái)?shù)相乘很容易，但如果答案足夠大，要找出產(chǎn)生它的素?cái)?shù)的唯一方法是嘗試所有的可能性。這實(shí)際上是不可能的，因此保證了交易過程的安全。

并不“虛”的虛數(shù)——i

根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)則，兩個(gè)正數(shù)相乘得到一個(gè)正數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘也會(huì)得到一個(gè)正數(shù)。那么，什么數(shù)與自身相乘可以得到-1？答案是虛數(shù)。

1637 年，法國(guó)數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·笛卡爾首次將負(fù)數(shù)的平方根稱為“虛數(shù)”。但直到18 世紀(jì)，它們才被用“i”表示。

虛數(shù)不符合常規(guī)數(shù)軸，所以它們被放在另一條獨(dú)立的數(shù)軸上，這兩條數(shù)軸相交于0，使虛數(shù)能夠方便地表示在二維中變化的事物。它們經(jīng)常被用來描述量子力學(xué)中的波函數(shù)和定義交流電。

憑空捏造出一個(gè)完全不同的數(shù)族似乎是沒有道理的。但事實(shí)上，“實(shí)數(shù)”和“虛數(shù)”都是抽象概念。虛數(shù)也解放了數(shù)學(xué)家的思想。1843 年，愛爾蘭數(shù)學(xué)家威廉·漢密爾頓發(fā)明了四元數(shù)，即由實(shí)數(shù)加上3 個(gè)虛數(shù)單位i、j 和k 組成的復(fù)數(shù)。額外的數(shù)軸被用來構(gòu)建能夠在3D 圖形中編碼旋轉(zhuǎn)的軸。如今，四元數(shù)已經(jīng)應(yīng)用于電子游戲設(shè)計(jì)領(lǐng)域。