基于MEMS陀螺儀諧振梁的不確定度分析*

李 敏，曹 樂

(上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院，上海 201620)

0 引 言

近年來，利用微制造技術(shù)開發(fā)了一系列微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)，如MEMS陀螺儀[1,2]。MEMS具有體積小、能耗少、產(chǎn)品造價(jià)低的優(yōu)點(diǎn)，但與常規(guī)機(jī)械陀螺相比，構(gòu)件易發(fā)生大變形，不可避免地出現(xiàn)尺度效應(yīng)，進(jìn)而產(chǎn)生非線性因素，導(dǎo)致其在制造過程中出現(xiàn)較大的不確定性，性能上與傳統(tǒng)機(jī)械陀螺存在較大差距，難以滿足工業(yè)生產(chǎn)對(duì)高精度的需求。同時(shí)，由于非線性因素的影響，MEMS陀螺儀會(huì)出現(xiàn)明顯的頻率偏移或剛度的軟硬化特征，使其微結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)受到影響[3,4]。Zhao S M等人[5]指出當(dāng)諧振梁受到軸向張力時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大位移，導(dǎo)致梁的非線性振動(dòng)，使微機(jī)械諧振加速度計(jì)的精度和穩(wěn)定性受到影響。由于非線性項(xiàng)的存在，諧振梁的諧振頻率隨振幅的增大發(fā)生偏移[6～8]。

同時(shí)，由于MEMS陀螺儀在結(jié)構(gòu)加工及參數(shù)測(cè)量過程中均會(huì)引入尺寸誤差，進(jìn)而無法確定各部分構(gòu)件對(duì)陀螺儀性能產(chǎn)生的影響，不利于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)?；谝陨戏治?，確定性的設(shè)計(jì)方法無法控制產(chǎn)品質(zhì)量。因此，通過采用統(tǒng)計(jì)方法研究MEMS陀螺儀的結(jié)構(gòu)參數(shù)具有現(xiàn)實(shí)意義。Mawardi A等人[9]基于樣本的隨機(jī)模型研究了光纖拉制過程中不確定因素的影響。Kim Y W等人[10]提出了一種基于設(shè)計(jì)變量樣本的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模態(tài)特性的不確定性估計(jì)方法。Yong W K等人[11]針對(duì)MEMS陀螺儀的幾何不確定性提出了一種基于樣本的統(tǒng)計(jì)分析方法，通過約束其幾何參數(shù)來提高陀螺的穩(wěn)定性。劉夢(mèng)霞等人[12]基于雙端固支音叉的非線性振動(dòng)模型，采用施加靜電載荷的方法改變雙端音叉諧振器(DETF)的長(zhǎng)度和寬度，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

為了實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的可靠性設(shè)計(jì)，本文對(duì)該MEMS陀螺儀諧振梁的結(jié)構(gòu)不確定度進(jìn)行可靠性估計(jì)?；贛EMS陀螺儀諧振梁的振動(dòng)模型，考慮由加工過程引起的結(jié)構(gòu)尺寸的不確定性，根據(jù)所選樣本的隨機(jī)模型分析不確定的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)MEMS陀螺儀諧振梁性能的影響，得到其中的關(guān)鍵因素，為相關(guān)傳感器敏感結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)及優(yōu)化提供參考。

1 模型建立

本文對(duì)圖1中MEMS陀螺儀敏感結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行研究，該結(jié)構(gòu)包括：靜電梳齒驅(qū)動(dòng)器、質(zhì)量塊、杠桿放大裝置和兩個(gè)DETF。其中，質(zhì)量塊在x軸方向的驅(qū)動(dòng)力下做被迫振動(dòng)，若z軸方向有外部角速度信號(hào)Ω輸入，則將在y軸方向產(chǎn)生一個(gè)與輸入角速度信號(hào)成正比的科氏力，杠桿放大機(jī)構(gòu)將此科氏力進(jìn)行放大，并傳遞到兩個(gè)DETF上產(chǎn)生差動(dòng)輸出，解調(diào)該差動(dòng)輸出信號(hào)，即可得到輸入角速度Ω。

圖1 MEMS陀螺儀結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

MEMS陀螺諧振梁的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于它的寬度和厚度，可將其假設(shè)為伯努利梁，微元受力分析如圖2所示。

圖2 諧振梁的微元受力示意

本文通過構(gòu)建諧振梁的簡(jiǎn)化模型，分析其動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)特性，如圖2所示。其中，w(x,t)為梁的橫向振動(dòng)位移，N為施加于諧振梁上的初始縱向張力，F(xiàn)為由橫向振動(dòng)產(chǎn)生的張力，θ為張力與x軸的夾角，梁受到的彎矩為M，垂直剪力為U，p(x,t)表示梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度上分布的外力。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，建立豎直方向上的微分方程并化簡(jiǎn)[13]

(1)

基于線性應(yīng)力應(yīng)變假設(shè)，張力F可表示為

(2)

式中E,A分別為諧振梁的楊氏模量與橫截面積，L為諧振梁的長(zhǎng)度。對(duì)微元dx利用力矩平衡，并忽略二階小量，得到

U=?M/?x

(3)

采用平截面假設(shè)，得到

M=EI?2w/?x2

(4)

同時(shí)，考慮系統(tǒng)等效阻尼，得到梁的非線性振動(dòng)方程

=p(x,t)

(5)

w(x,t)=φ(x)q(t)=φ(x)Qmsin(ωt+φ)

(6)

式中φ(x)為梁的一階振型函數(shù)，q(t)為梁的時(shí)域振動(dòng)函數(shù)。

本文通過引入梁的附加伸長(zhǎng)量，獲得梁的總能量

(7)

同時(shí)，將梁的動(dòng)能沿著縱向進(jìn)行積分，采用拉格朗日分離法，得到總動(dòng)能

(8)

式中ma為諧振梁梳齒的附加質(zhì)量，xa為梳齒與諧振梁固定端的距離。

通過構(gòu)建Duffing方程得到系統(tǒng)非線性動(dòng)態(tài)方程

(9)

式中m為等效集中質(zhì)量，k1,k3分別為線性剛度系數(shù)與非線性剛度系數(shù)

(10)

(11)

(12)

非線性振動(dòng)系統(tǒng)等效固有頻率表示為

(13)

fe=ωe/2π

(14)

式中qm為諧振梁的振幅達(dá)到給定力下的最大值，其外部驅(qū)動(dòng)力可表示為F=F0cosωt，當(dāng)ω=ωe時(shí)，諧振梁的最大位移為

(15)

式中c為等效阻尼，ω0為諧振梁工作于線性振動(dòng)狀態(tài)且無阻尼時(shí)的固有諧振頻率。顯然，當(dāng)諧振梁受到由幾何非線性引起的非線性項(xiàng)作用時(shí)，會(huì)使系統(tǒng)的共振頻率隨著振幅的增大而增大。固有諧振頻率表示為

(16)

2 不確定度分析

利用輸入?yún)?shù)的概率分布函數(shù)表示其不確定度，并通過蒙特-卡洛采樣方法生成參數(shù)的隨機(jī)樣本，基于確定性模型可分析該樣本對(duì)輸出參數(shù)不確定度的影響。本文根據(jù)輸入?yún)?shù)諧振梁長(zhǎng)度L，寬度B，厚度H及附加質(zhì)量ma的分布情況對(duì)輸出參數(shù)等效固有頻率fe的不確定度進(jìn)行分析。假設(shè)各輸入?yún)?shù)對(duì)應(yīng)的選值集合均滿足均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布，本文將均值作為輸入?yún)?shù)的設(shè)計(jì)值，標(biāo)準(zhǔn)差表示MEMS陀螺儀諧振梁在加工過程中的設(shè)計(jì)誤差，輸入?yún)?shù)的不確定度Cov定義為對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值，即Cov=σ/μ，顯然，標(biāo)準(zhǔn)差越大、均值越小的輸入?yún)?shù)的不確定度越大，而確定參數(shù)的不確定度為0。

通過對(duì)輸入?yún)?shù)與輸出參數(shù)進(jìn)行隨機(jī)收斂分析進(jìn)一步確保所選樣本具有代表性，從而確定樣本個(gè)數(shù)。在隨機(jī)收斂分析過程中，輸入與輸出參數(shù)的均值與方差均會(huì)隨著樣本數(shù)量的增加收斂至相應(yīng)的設(shè)計(jì)值與計(jì)算值，從而確定樣本的個(gè)數(shù)Ns。參數(shù)樣本選定后，將各個(gè)樣本分別代入確定的模型中，獲得輸出參數(shù)的不確定度，進(jìn)而評(píng)估可變輸入?yún)?shù)對(duì)輸出參數(shù)的影響。

由于輸入?yún)?shù)具有可變性，通過確定性模型計(jì)算得到的輸出參數(shù)才具有不確定性，本文定義四分位差I(lǐng)QR來量化輸出參數(shù)的不確定度，該值代表輸出參數(shù)分布中25%概率位置對(duì)應(yīng)值P25與75%概率位置對(duì)應(yīng)值P75的差值

IQR=P75-P25

(17)

3 收斂性分析

本文根據(jù)輸入?yún)?shù)(L,B,H及ma)的分布情況，利用確定性模型分析對(duì)fe的影響。為了使輸出參數(shù)的分布更具代表性，需要大量的輸入?yún)?shù)樣本，由于該過程計(jì)算量較大，無法直接應(yīng)用于實(shí)際操作。因此，本文通過收斂分析方法確定能代表輸入?yún)?shù)組合分布的最少樣本數(shù)量，同時(shí)保證輸出參數(shù)的穩(wěn)定分布。

MEMS陀螺儀諧振梁尺寸輸入?yún)?shù)的設(shè)計(jì)值如下：材料密度為2 350 kg/m3，諧振梁長(zhǎng)度為0.000 54 m，諧振梁寬度為0.000 012 m，結(jié)構(gòu)厚度為0.000 075 m，附加質(zhì)量為6.75×10-10kg。假設(shè)以上輸入?yún)?shù)的不確定度Cov均為0.01。采用隨機(jī)收斂方法分析不同數(shù)量樣本下輸入輸出參數(shù)的收斂情況。輸入?yún)?shù)的隨機(jī)收斂分析如圖3所示。

圖3 輸入?yún)?shù)的均值收斂分析

觀察圖3可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)輸入?yún)?shù)的樣本數(shù)量Ns<400時(shí)，輸入?yún)?shù)的均值波動(dòng)較大；當(dāng)Ns=400時(shí)，輸入?yún)?shù)雖仍有一定的波動(dòng)，但波動(dòng)范圍均控制在1 %以內(nèi)。因此，400個(gè)樣本可以保證輸入?yún)?shù)的均值穩(wěn)定收斂至給定值。輸入?yún)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差的收斂分析如圖4所示，當(dāng)輸入?yún)?shù)樣本數(shù)仍取400時(shí)，仍可保證輸入?yún)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)定收斂至給定值。

圖4 輸入?yún)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差收斂分析

由圖5(a)容易得到，當(dāng)樣本數(shù)量Ns=400時(shí)，輸出參數(shù)的均值很容易地收斂至給定值，該樣本數(shù)量下完全滿足輸出參數(shù)的穩(wěn)定分布。輸出參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的收斂分析如圖5(b)所示，但由于標(biāo)準(zhǔn)差為均值的高階函數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差并未在樣本數(shù)量為400時(shí)呈現(xiàn)收斂態(tài)，波動(dòng)依然很大。為了同時(shí)滿足其標(biāo)準(zhǔn)差的波動(dòng)幅度也收斂至較小范圍內(nèi)，將樣本數(shù)量增大至500，輸出參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差可收斂至2 %以內(nèi)，能夠作為代表性樣本。根據(jù)以上收斂性分析，選取樣本個(gè)數(shù)Ns=500，能夠進(jìn)行后續(xù)分析。

圖5 輸出參數(shù)fe的收斂分析

4 輸出參數(shù)不確定性分析

圖6給出了輸出參數(shù)fe的分布情況，顯然，它們已經(jīng)不滿足正態(tài)分布，這是由于所構(gòu)建的模型中含有非線性因素。其中，P5,P25,P50,P75和P95分別為輸出參數(shù)分布直方圖中5%,25%,50%,75%和95%概率位置對(duì)應(yīng)值。由式(17)計(jì)算可知，輸出參數(shù)的分布情況與IQR的大小一致。因此，可以用IQR來量化表征輸出參數(shù)的不確定性。

圖6 輸出參數(shù)fe的直方圖分布

將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，從而研究被改變的輸入?yún)?shù)不確定度對(duì)輸出參數(shù)的影響。將變化的輸入?yún)?shù)Cov的范圍設(shè)定為0.01～0.08，其他輸入?yún)?shù)的Cov均保持0.01。觀察圖7輸出參數(shù)fe的IQR的影響分布圖，當(dāng)諧振梁長(zhǎng)度L的Cov從0.01增大到0.08時(shí)，fe的IQR的變化范圍最大，表明非線性振動(dòng)系統(tǒng)下諧振梁固有頻率fe受長(zhǎng)度L的影響最大。同時(shí)，當(dāng)諧振梁厚度H的Cov從0.01增加到0.08時(shí)，fe的IQR也會(huì)受到較大影響，輸入?yún)?shù)B和ma對(duì)fe幾乎沒有影響。

圖7 不同輸入?yún)?shù)Cov對(duì)應(yīng)的輸出參數(shù)fe的IQR

基于以上分析，諧振梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)不同輸出參數(shù)產(chǎn)生的影響不同。因此，在MEMS陀螺儀的設(shè)計(jì)初期，可參考輸出參數(shù)IQR的影響分布圖調(diào)整結(jié)構(gòu)參數(shù)，以滿足不同的工業(yè)需求。

5 結(jié) 論

本文采用不確定度分析方法，建立了基于隨機(jī)采樣的不確定度分析模型，通過該模型評(píng)估了MEMS陀螺儀諧振梁結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)非線性振動(dòng)系統(tǒng)下等效固有頻率fe的影響大小。分析發(fā)現(xiàn)，諧振梁的長(zhǎng)度和厚度對(duì)等效固有頻率fe的影響較大。因此，在MEMS陀螺儀的設(shè)計(jì)過程中，由于諧振梁的厚度尺寸較小，且對(duì)等效固有頻率fe的影響較大，加工時(shí)需特別注意。鑒于以上建議，本文介紹的結(jié)構(gòu)參數(shù)的不穩(wěn)定性分析方法為敏感結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了參考。