超磁致伸縮換能器能量回收非線性拓頻仿真分析*

閆洪波，曹 蕊，2，汪建新，于均成，付 鑫

(1.內(nèi)蒙古科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010；2.國家能源集團(tuán) 中國神華煤制油化工公司鄂爾多斯煤制油分公司，內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017209)

0 引 言

超磁致伸縮材料(giant magnetostrictive material,GMM)因具有磁致伸縮系數(shù)大、響應(yīng)速度快、能量密度高、機電耦合系數(shù)高等優(yōu)點[1]而廣泛應(yīng)用于傳感器[2]、振動控制[3]、能量回收[4]等方面。在能量回收研究中，對于壓電材料、磁致伸縮材料和壓電/磁致伸縮復(fù)合材料的研究較廣泛，但在諧振頻率附近有較高的能量回收效率，偏離諧振頻率后，能量回收效率明顯下降，使系統(tǒng)的有效頻帶寬度較窄，這一問題使能量回收裝置對外部振動的頻率依賴性較強[5，6]，嚴(yán)重限制了能量回收裝置的廣泛應(yīng)用。因此對能量回收裝置的拓頻研究具有一定的工程意義。為解決能量回收有效頻帶寬度窄這一問題，相關(guān)的拓頻技術(shù)應(yīng)運而生，這些技術(shù)原理大致歸結(jié)為3種，第1種是多峰值拓頻原理，Bai X L等人[7]利用該原理設(shè)計了一種螺旋式懸臂梁結(jié)構(gòu)的壓電/磁致伸縮復(fù)合采能模塊，使采能模塊在低頻范圍內(nèi)獲得多個輸出峰值的同時縮短各峰值之間的距離而達(dá)到拓頻的目的；第2種是共振調(diào)諧原理，Xue H等人[8]利用該原理調(diào)整壓電能量采集裝置的并聯(lián)壓電片數(shù)量以調(diào)整系統(tǒng)的共振頻率實現(xiàn)拓頻的目的；第3種是非線性拓頻原理，楊進(jìn)等人[9]利用該原理把單梁形式的壓電/磁致伸縮復(fù)合采能器改成雙梁結(jié)構(gòu)，利用雙梁結(jié)構(gòu)永磁體和采能器之間的非線性運動實現(xiàn)能量回收裝置的非線性拓頻研究。

目前對于超磁致伸縮換能器能量回收裝置的拓頻研究還較少，由于超磁致伸縮換能器的輸出具有一定的非線性特性[10]，本文將利用非線性拓頻原理對超磁致伸縮換能器能量回收裝置展開拓頻研究，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析部分設(shè)計參數(shù)對能量回收效果的影響，為獲得寬頻帶、高電壓輸出的能量回收裝置提供設(shè)計依據(jù)。

1 超磁致伸縮換能器結(jié)構(gòu)與工作原理

超磁致伸縮換能器結(jié)構(gòu)如圖1所示。GMM棒作為換能器的核心部件，是實現(xiàn)電—磁—機3種形式能量轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵部件。超磁致伸縮換能器能量回收裝置的工作原理是將外部力/位移激勵作用于GMM棒，使GMM棒內(nèi)部磁疇在外激勵作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)而產(chǎn)生變化的磁場，由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，變化的磁場會在GMM棒外部線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電場，從而實現(xiàn)機—磁—電能量形式的轉(zhuǎn)換。通常，為了提高機電耦合系數(shù)，在GMM棒兩端設(shè)計導(dǎo)磁環(huán)和永磁體，使GMM棒處于閉合磁路中。為了使換能器結(jié)構(gòu)緊湊，提高GMM的磁致伸縮系數(shù)，設(shè)計碟簧為換能器提供預(yù)應(yīng)力；換能器還設(shè)計強制冷卻設(shè)施，保障換能器處于良好的工作狀態(tài)。

圖1 超磁致伸縮換能器結(jié)構(gòu)

2 超磁致伸縮換能器輸出非線性研究

將換能器簡化為彈簧—阻尼—質(zhì)量系統(tǒng)，如圖2所示。由于換能器在工作時因為磁滯損失、渦流損失、異常損失以及幾何變形等使換能器的輸出具有一定的非線性特性[11,12]，在建立模型時考慮了非線性的影響。系統(tǒng)初始設(shè)計參數(shù)為：等效質(zhì)量m=20 kg，GMM棒直徑d=10 mm，等效剛度系數(shù)k=7.85×105N/m，等效機械阻尼系數(shù)cm=400 N·s/m，三次剛度系數(shù)γ=9.59×107N/m3，預(yù)應(yīng)力σ0=6.69×105Pa，外部激勵FcosΩt的幅值F=0.4 kN，Ω=2πf，f為激勵頻率。對圖2應(yīng)用牛頓第二定律可得系統(tǒng)的動力學(xué)方程。

圖2 換能器能量回收裝置的動力學(xué)簡圖

(1)

(2)

為便于非線性分析，引入小參數(shù)ε，使ξ=εξ1，β=εβ1，F(xiàn)0=2εF1，代入式(2)得

(3)

采用多尺度法[13]對式(3)求近似解，引入不同的時間尺度T0和T1，使T0=t，T1=εt，Dn=?/?Tn，設(shè)方程(3)的一階近似解的形式為

x=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)

(4)

將式(4)代入式(3)，令小參數(shù)ε的同次冪系數(shù)相等

ε0系數(shù)項

(5)

ε1系數(shù)項

(6)

式(6)的通解一般可表示為

(7)

(8)

式中B′為B對T1的一階導(dǎo)數(shù)，CC為前面各項的共軛。

當(dāng)激勵頻率接近系統(tǒng)的固有頻率時，系統(tǒng)發(fā)生主共振，此時引入調(diào)諧參數(shù)σ，令Ω=ω+εσ，對式(8)消除長期項可得

(9)

(10)

式中φ=σT1-φ，a′為a對T1的一階導(dǎo)數(shù)。令a′和φ′ 分別為零可得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程

(11)

非線性方程(3)的一階穩(wěn)態(tài)近似解為x=acos(Ωt-φ)，其中

(12)

外激勵頻率和振幅a之間的關(guān)系為

(13)

由式(13)可知，某一振幅響應(yīng)a對應(yīng)兩個激勵頻率Ω1和Ω2，但這兩個激勵力頻率對應(yīng)的振幅可能是穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的，此時引入雅可比矩陣[14]，利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)[15]得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件為

(14)

圖3為能量回收系統(tǒng)三次剛度系數(shù)對幅頻特性的影響曲線。可知，當(dāng)系統(tǒng)的三次剛度系數(shù)γ=0 N/m3時為線性系統(tǒng)；當(dāng)γ=-95.9 MN/m3時，幅頻特性曲線向左彎曲，為軟式非線性系統(tǒng)；當(dāng)γ=95.9 MN/m3時，幅頻特性曲線向右彎曲，為硬式非線性系統(tǒng)。以硬式非線性系統(tǒng)為例進(jìn)行分析，在外激勵不變的條件下，隨著激振頻率的緩慢增加，系統(tǒng)的振幅逐漸增大至最大值時，出現(xiàn)降幅跳躍現(xiàn)象后又隨著激勵頻率的增大而減小。反之，隨著激振頻率的減小，振幅逐漸增大，當(dāng)增大到某一值時，又出現(xiàn)增幅跳躍現(xiàn)象后隨著激勵頻率的減小而減小。

圖3 三次剛度系數(shù)對能量回收系統(tǒng)幅頻特性的影響

3 能量回收非線性拓頻技術(shù)研究

由系統(tǒng)的幅頻特性分析可知，在外激勵作用下，能量回收系統(tǒng)在三次剛度系數(shù)不為零時的輸出存在非線性特性，采用非線性拓頻原理對能量回收系統(tǒng)進(jìn)行拓頻研究。

3.1 能量回收理論模型

在外部激勵作用下，GMM棒內(nèi)部磁疇發(fā)生偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生變化的磁場，若超磁致伸縮換能器外接閉合回路，在閉合回路中會產(chǎn)生感應(yīng)電流。換能器能量回收系統(tǒng)的等效電路如圖4所示。圖中RC=1 Ω為線圈內(nèi)阻，RL=10 Ω為負(fù)載電阻，機電耦合系數(shù)α=0.5。由基爾霍夫電壓定律可得系統(tǒng)的電路方程

圖4 換能器能量回收系統(tǒng)的等效電路

(15)

式中i為能量回收系統(tǒng)的感應(yīng)電流。

考慮感應(yīng)電流影響時，對系統(tǒng)應(yīng)用牛頓第二定律得

(16)

結(jié)合式(15)與式(16)

(17)

其中,c=cm+ce，ce=α2/(RL+RC),ce為電阻尼。

同樣使用多尺度法對式(17)求解得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程及穩(wěn)定性條件為

(18)

(19)

其中,ξ2=c/2mε結(jié)合圖4可得系統(tǒng)產(chǎn)生的感應(yīng)電流

(20)

負(fù)載電阻上產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢

(21)

3.2 能量回收非線性拓頻仿真分析

圖5為三次剛度系數(shù)對能量回收系統(tǒng)負(fù)載電阻感應(yīng)電壓的影響曲線。為方便研究系統(tǒng)能量回收的有效帶寬，以負(fù)載電阻上輸出電壓超過0.2 mV的頻帶寬度作為有效帶寬。可知，當(dāng)系統(tǒng)為線性系統(tǒng)時，有效帶寬為6.58 Hz,最大電壓峰值為0.46 mV；當(dāng)系統(tǒng)為軟式非線性系統(tǒng)時，有效帶寬為9.22 Hz,最大電壓峰值為0.32 mV，軟式非線性系統(tǒng)的有效帶寬比線性系統(tǒng)拓寬了40 %，但感應(yīng)電壓幅值卻有所降低；當(dāng)系統(tǒng)為硬式非線性系統(tǒng)時，有效帶寬為9.33 Hz,最大電壓峰值為0.59 mV。與線性系統(tǒng)相比，硬式非線性系統(tǒng)的有效帶寬拓寬了近42 %，電壓峰值增加了28 %，因此，利用換能器的硬式非線性特性能明顯拓寬能量回收的有效頻帶寬度，同時也能增大輸出電壓峰值，本文以硬式非線性特性為例進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)影響性分析。

圖5 三次剛度系數(shù)對能量回收系統(tǒng)感應(yīng)電壓的影響

3.3 設(shè)計參數(shù)對能量回收效果的影響分析

圖6為預(yù)應(yīng)力對硬式非線性系統(tǒng)負(fù)載電阻感應(yīng)電壓的影響曲線。當(dāng)預(yù)應(yīng)力σ0=6.69×105Pa時，有效帶寬為9.33 Hz,最大電壓峰值為0.59 mV；當(dāng)預(yù)應(yīng)力σ0=7.69×105Pa時，有效帶寬為9.43 Hz,最大電壓峰值為0.60 mV；當(dāng)預(yù)應(yīng)力σ0=8.69×105Pa時，有效帶寬為9.54 Hz,最大電壓峰值為0.61 mV?？芍?，系統(tǒng)的預(yù)應(yīng)力對有效帶寬和輸出電壓峰值的影響較小。預(yù)應(yīng)力主要使原本與激勵力平行的磁疇發(fā)生旋轉(zhuǎn)，預(yù)應(yīng)力越大，初始方向的磁疇旋轉(zhuǎn)的越多，在施加外部激勵后，磁疇對外部激勵力的敏感性會越小，因此，應(yīng)盡可能使預(yù)應(yīng)力小些，只要使輸入桿和磁致伸縮棒緊密接觸且GMM棒不處于拉伸狀態(tài)即可[16]。

圖6 預(yù)應(yīng)力對硬式非線性系統(tǒng)負(fù)載電阻感應(yīng)電壓的影響

圖7為阻尼系數(shù)對硬式非線性系統(tǒng)負(fù)載電阻感應(yīng)電壓的影響曲線。可知，當(dāng)阻尼系數(shù)cm=300 N·s/m時，有效帶寬為15.15 Hz,最大電壓峰值為0.90 mV；當(dāng)阻尼系數(shù)cm=400 N·s/m時，有效帶寬為9.33 Hz,最大電壓峰值為0.59 mV；當(dāng)阻尼系數(shù)cm=500 N·s/m時，有效帶寬為6.59 Hz，最大電壓峰值為0.45 mV，系統(tǒng)的有效帶寬和輸出電壓峰值隨著阻尼系數(shù)的增大而減小。由于系統(tǒng)阻尼所消耗的能量與阻尼系數(shù)成正比，阻尼系數(shù)越大，系統(tǒng)消耗的能量越多，在其他參數(shù)不變的條件下，由能量守恒定律可知，系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成的電能越少。

圖7 阻尼系數(shù)對硬式非線性系統(tǒng)負(fù)載電阻感應(yīng)電壓的影響

圖8為剛度系數(shù)對硬式非線性系統(tǒng)負(fù)載電阻感應(yīng)電壓的影響曲線。當(dāng)剛度系數(shù)k=5.85×105N/m時，有效頻帶范圍為(29.82～43.06)Hz，帶寬為13.24 Hz,最大電壓峰值為0.72 mV，對應(yīng)的激勵頻率為43.06 Hz；當(dāng)剛度系數(shù)k=7.85×105N/m時，有效頻帶范圍為(31.71～41.02)Hz，帶寬為9.31 Hz,最大電壓峰值為0.59 mV，對應(yīng)的激勵頻率為41.02 Hz；當(dāng)剛度系數(shù)k=9.85×105N/m時，有效頻帶范圍為(34.41～41.80)Hz，帶寬為7.39 Hz,最大電壓峰值為0.54 mV，對應(yīng)的激勵頻率為41.80 Hz?？芍?，隨著系統(tǒng)剛度系數(shù)的增大，雖然感應(yīng)電壓峰值會有所降低，有效帶寬也會變小，但系統(tǒng)的有效頻帶范圍會產(chǎn)生偏移，通過調(diào)整系統(tǒng)的剛度系數(shù)可以調(diào)整系統(tǒng)對外界振動頻率的使用范圍，提高能量回收系統(tǒng)的適用性。

圖8 剛度系數(shù)對硬式非線性系統(tǒng)負(fù)載電阻感應(yīng)電壓的影響

4 結(jié) 論

針對目前能量回收系統(tǒng)頻帶較窄，嚴(yán)重限制了能量回收裝置的廣泛應(yīng)用這一問題，本文利用非線性特性對能量回收系統(tǒng)進(jìn)行拓頻研究，得到了以下研究結(jié)論：

1)超磁致伸縮換能器能量回收系統(tǒng)在外激勵作用下，隨著三次剛度系數(shù)的變化，系統(tǒng)會呈現(xiàn)非線性特性;

2)與線性系統(tǒng)相比，軟式非線性系統(tǒng)能夠使有效頻帶拓寬40 %，但是感應(yīng)電壓峰值會有所降低；硬式非線性系統(tǒng)可使有效頻帶拓寬42 %，同時電壓峰值也可提高28 %;

3)預(yù)應(yīng)力、阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)均對能量回收系統(tǒng)的輸出有一定的影響。其中預(yù)應(yīng)力對能量回收的影響較??；系統(tǒng)的有效帶寬和輸出電壓峰值隨著阻尼系數(shù)的增大而減??；剛度系數(shù)的增大也會使帶寬和感應(yīng)電壓峰值有所降低，但是剛度系數(shù)會使系統(tǒng)的有效頻帶范圍產(chǎn)生一定的偏移，可以擴(kuò)大能量回收系統(tǒng)的頻率使用范圍。