基于組合式信號(hào)的Hammerstein系統(tǒng)兩階段辨識(shí)

俞 洋, 張明光, 李 峰, 王正群

(1. 江蘇理工學(xué)院電氣信息工程學(xué)院, 江蘇 常州 213001; 2. 揚(yáng)州大學(xué)信息工程學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225127)

Hammerstein系統(tǒng)是一類由靜態(tài)非線性模塊和動(dòng)態(tài)線性模塊串聯(lián)組成的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng), 具有易辨識(shí)、計(jì)算量少和非線性逼近能力強(qiáng)等特點(diǎn), 被廣泛用于描述非線性過程[1]．目前, 對(duì)于Hammerstein系統(tǒng)的辨識(shí)主要分為同步辨識(shí)和分步辨識(shí)兩大類[2-4]．實(shí)際工況下, 系統(tǒng)易受測(cè)量噪聲和時(shí)滯的干擾, 故噪聲和時(shí)滯干擾下的Hammerstein系統(tǒng)辨識(shí)研究具有重要意義．Ma等[5]針對(duì)Hammerstein時(shí)滯系統(tǒng)探討了基于卡爾曼濾波的最小二乘迭代算法和遞推最小二乘算法; Wang等[6]針對(duì)Hammerstein狀態(tài)空間系統(tǒng),提出基于數(shù)據(jù)濾波技術(shù)的多新息隨機(jī)梯度辨識(shí)方法; Dong等[7]考慮一類具有動(dòng)態(tài)擾動(dòng)和測(cè)量噪聲的Hammerstein系統(tǒng),提出一種擴(kuò)展遞推最小二乘辨識(shí)算法; Prasad等[8]針對(duì)具有輸入延遲和死區(qū)的Hammerstein系統(tǒng), 提出了一種新的基于分離死區(qū)參數(shù)和分?jǐn)?shù)階參數(shù)的辨識(shí)策略; Wang等[9]將具有子空間狀態(tài)空間線性元素的Hammerstein輸入非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為雙線性辨識(shí)模型, 并提出一種遞歸和迭代最小二乘辨識(shí)算法．上述方法盡管能夠辨識(shí)Hammerstein系統(tǒng),但仍存在下述問題: 1) 辨識(shí)方法中包含的靜態(tài)非線性模塊和線性模塊參數(shù)的乘積項(xiàng)增加了辨識(shí)復(fù)雜度, 須通過參數(shù)分解技術(shù)分離混合參數(shù)以提升辨識(shí)精度; 2) 對(duì)于強(qiáng)非線性或不連續(xù)的非線性系統(tǒng),采用多項(xiàng)式或分段函數(shù)建模時(shí)的精度較低．本課題組在前期工作[10]中發(fā)現(xiàn)當(dāng)輸入為可分離信號(hào)且存在常數(shù)的情況下, 可用靜態(tài)非線性系統(tǒng)的自相關(guān)函數(shù)替代其互相關(guān)函數(shù)解決中間變量信息不可測(cè)問題, 從而實(shí)現(xiàn)靜態(tài)非線性模塊和動(dòng)態(tài)線性模塊的分離辨識(shí)．本文擬針對(duì)含測(cè)量噪聲和時(shí)滯的神經(jīng)模糊Hammerstein非線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)一種由可分離信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)相結(jié)合的組合式信號(hào), 利用相關(guān)性分析方法和輔助模型遞推最小二乘法分別辨識(shí)Hammerstein系統(tǒng)線性模塊和靜態(tài)非線性模塊的參數(shù),以期實(shí)現(xiàn)靜態(tài)非線性模塊和動(dòng)態(tài)線性模塊的分離辨識(shí)．

1 問題描述

考慮如圖1所示的含測(cè)量噪聲和時(shí)滯的神經(jīng)模糊Hammerstein非線性系統(tǒng), 利用神經(jīng)模糊模型[11-12]逼近靜態(tài)非線性模塊f(·), 利用時(shí)滯狀態(tài)空間模型逼近動(dòng)態(tài)線性模塊L(·)．

圖1 神經(jīng)模糊Hammerstein系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of neuro-fuzzy Hammerstein system

Hammerstein系統(tǒng)的輸入/輸出數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

v(k)=f(u(k));
x(k+1)=Ax(k)+Bx(k-1)+hv(k);
ω(k)=cx(k);
y(k)=ω(k)+e(k),

(1)

定義adj[X]為方陣X的伴隨矩陣, det[X]為方陣X的行列式,z-1為單位后移算子, 則x(k-1)=z-1x(k),x(k+1)=zx(k)．根據(jù)單位后移算子的特性, 將Hammerstein系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為輸入/輸出形式:

(2)

式中b(z)=z-2n+1cadj[z2I-Az-B]h=b1z-1+…+a2n-1z-(2n-1),I為合適維數(shù)的單位矩陣,a(z)=z-2ndet[z2I-Az-B]=1+a1z-1+…+a2nz-2n．

對(duì)給定的閾值ε, 建立神經(jīng)模糊Hammerstein系統(tǒng), 計(jì)算滿足下述條件的參數(shù):

(3)

2 神經(jīng)模糊Hammerstein系統(tǒng)辨識(shí)

為了實(shí)現(xiàn)Hammerstein系統(tǒng)的靜態(tài)非線性模塊和動(dòng)態(tài)線性模塊的分離辨識(shí), 現(xiàn)設(shè)計(jì)一種由高斯信號(hào)u1(k)及其輸出y1(k)和隨機(jī)信號(hào)u2(k)及其輸出y2(k)相結(jié)合的組合信號(hào)．

2.1 動(dòng)態(tài)線性模塊

根據(jù)式(2)可得Hammerstein系統(tǒng)高斯輸入信號(hào)u1(k)的輸出

(4)

式中ai,bj為線性模塊的參數(shù);na,nb為階次,na=2n,nb=2n-1．在式(4)兩邊同時(shí)乘以u(píng)1(k-τ)并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望, 可得

(5)

式中Ry1u1(τ)=E(y1(k)u1(k-τ))為u1(k)和y1(k)的互相關(guān)函數(shù),Rv1u1(τ)=E(v1(k)u1(k-τ))為v1(k)和u1(k)的互相關(guān)函數(shù),Reu1(τ)=E(e(k)u1(k-τ))為e(k)和u1(k)的互相關(guān)函數(shù),E(·)表示數(shù)學(xué)期望,τ為時(shí)間常數(shù)．

由白噪聲序列e(k)的均值為零可得E(e(k))=0, 由于白噪聲序列e(k)和輸入u1(k)是相互獨(dú)立的, 則E(e(k)u1(k))=E(e(k))E(u1(k))=0, 故Reu1(τ)=0．于是, 有

(6)

利用相關(guān)性分析法辨識(shí)動(dòng)態(tài)線性模塊的參數(shù)．假設(shè)τ=1,2,…,P(P≥na+nb), 則動(dòng)態(tài)線性模塊的參數(shù)

(7)

2.2 靜態(tài)非線性模塊

利用神經(jīng)模糊模型逼近靜態(tài)非線性模塊．神經(jīng)模糊模型中須辨識(shí)的參數(shù)包含中心cl、寬度σl及權(quán)重wl, 其中中心cl和寬度σl采用聚類算法[12]辨識(shí)．下面討論權(quán)重wl的辨識(shí)．

y2(k)=ξT(k)γ+e(k),

(8)

式中參數(shù)向量γ=[a1,…,ana,b1w1,…,b1wL,…,bnbwL]T, 信息向量ξ(k)=[-ω(k-1),…,-ω(k-na),φ1(u2(k-1)),…,φL(u2(k-1)),…,φL(u2(k-nb))]T．由式(8)可見信息向量ξ(k)中存在不可測(cè)變量ω(k), 故Hammerstein系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)無法通過計(jì)算獲取．現(xiàn)運(yùn)用輔助模型技術(shù)[13]解決該問題, 即利用輔助模型的輸出ωa(k)代替辨識(shí)系統(tǒng)中的不可測(cè)變量ω(k)．定義ξa(k)和γa分別為k時(shí)刻輔助模型的信息向量和參數(shù)向量, 則輔助模型的輸出

(9)

定義準(zhǔn)則函數(shù)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

3 數(shù)值仿真

應(yīng)用2016a MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值仿真, CPU為Intel Core i7-6700HQ, 主頻2.60 GHz, GPU為NVIDIA GeForce GTX950M, Windows 10 64位操作系統(tǒng)．為了驗(yàn)證本文兩階段辨識(shí)方法的有效性, 考慮含測(cè)量噪聲和時(shí)滯的Hammerstein系統(tǒng):

(15)

y(k)=[1,0]x(k)+e(k),

其中系統(tǒng)的靜態(tài)非線性模塊v(k)是不連續(xù)函數(shù)．

圖2 不同噪信比下線性模塊參數(shù)a1,a2,a3,a4的估計(jì)Fig.2 Estimation of linear module parameters a1, a2, a3, a4 at different noise-to-signal ratios

圖3 不同噪信比下線性模塊參數(shù)b1,b2,b3的估計(jì)Fig.3 Estimation of linear module parameters b1, b2, b3 at different noise-to-signal ratios

由圖2～3可見: Hammerstein系統(tǒng)訓(xùn)練樣本總數(shù)為5 000, 當(dāng)噪信比為10.94%, 訓(xùn)練樣本數(shù)為1 000～1 500時(shí), 動(dòng)態(tài)線性模塊參數(shù)a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3的估計(jì)值接近真實(shí)值, 且隨數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的增加, 參數(shù)估計(jì)精度逐漸提高, 估計(jì)曲線趨于穩(wěn)定; 當(dāng)噪信比增加至20.51%, 訓(xùn)練樣本數(shù)達(dá)1 500～2 000時(shí), 動(dòng)態(tài)線性模塊參數(shù)a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3的估計(jì)值接近真實(shí)值, 且隨訓(xùn)練樣本數(shù)的增加,參數(shù)估計(jì)精度逐漸提高并趨于穩(wěn)定．故本文提出的相關(guān)性分析法可有效辨識(shí)動(dòng)態(tài)線性模塊的參數(shù)．

圖4 不同模型近似靜態(tài)非線性模塊的結(jié)果Fig.4 Results of different models approximating static nonlinear modules