面向高校大類招生質(zhì)量評估的跨尺度結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型

李佩,，周涵，張睿，王克勤,，楊益新

（1.西北工業(yè)大學(xué)計算機學(xué)院，西安 710072；2.西北工業(yè)大學(xué)教務(wù)處，西安 710072；3.西北工業(yè)大學(xué)機電學(xué)院，西安 710072；4.西北工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，西安 710072；5.西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，西安 710072）

隨著機械結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論的不斷成熟與發(fā)展，從宏觀/細(xì)觀/微觀尺度上同時發(fā)掘材料的應(yīng)用潛力，是提升結(jié)構(gòu)性能、實現(xiàn)輕量化設(shè)計的重要方法[1-3]。機械結(jié)構(gòu)跨尺度設(shè)計是以均勻化方法、多尺度有限元理論為紐帶建立宏觀尺度與微觀尺度之間的性能映射，可同時對宏觀結(jié)構(gòu)和材料微觀構(gòu)型進行優(yōu)化從而獲得更高性能的結(jié)構(gòu)構(gòu)型[4-6]。Rodrigues等[7]利用多層級拓?fù)鋬?yōu)化實現(xiàn)了宏觀結(jié)構(gòu)和材料微觀構(gòu)型串行設(shè)計，首先對宏觀結(jié)構(gòu)進行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，然后以每個單元的密度值為材料體積用量約束，進而對每個單元單獨進行微結(jié)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計，實現(xiàn)了材料/結(jié)構(gòu)的多尺度協(xié)同優(yōu)化。Coelho等[8]將該方法拓展到三維結(jié)構(gòu)中，但該方法中結(jié)構(gòu)設(shè)計和材料設(shè)計相互獨立，并未實現(xiàn)真正的協(xié)同優(yōu)化。文獻[9-10]分別基于密度法和水平集法提出了具有單一微結(jié)構(gòu)的材料結(jié)構(gòu)協(xié)同優(yōu)化方法，這種方法為減小計算規(guī)模，保證結(jié)構(gòu)可制造性，過度強調(diào)微觀結(jié)構(gòu)的一致性，難以充分發(fā)掘材料承載潛力。文獻[11]基于FE2框架提出了更加自由的設(shè)計方法，宏觀結(jié)構(gòu)和空間各處的材料都能得到最優(yōu)構(gòu)型，但因設(shè)計變量數(shù)目龐大，計算效率比較低。隨后又構(gòu)建了簡化的數(shù)據(jù)庫模型，用顯示近似的方法替代了重復(fù)的材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，在較低的計算成本下設(shè)計出大規(guī)模、高精度的雙尺度結(jié)構(gòu)，但仍無法保證相鄰微結(jié)構(gòu)的連接性[12]。為解決這一問題，Wang 等[13-14]提出了基于參數(shù)化點陣的宏/微觀協(xié)同優(yōu)化方法，通過兩類設(shè)計變量同步優(yōu)化宏觀材料分布和點陣構(gòu)型變化，大幅降低了設(shè)計變量規(guī)模，保證了相鄰微結(jié)構(gòu)的連接性，并通過數(shù)值仿真和實驗驗證了梯度點陣結(jié)構(gòu)比均勻點陣具有更優(yōu)異的力學(xué)性能。

機械結(jié)構(gòu)跨尺度拓?fù)鋬?yōu)化的核心在于把合適屬性的微結(jié)構(gòu)放置在合適結(jié)構(gòu)的合適位置上，達到最優(yōu)性能。大類招生及培養(yǎng)工作與機械結(jié)構(gòu)跨尺度優(yōu)化設(shè)計類似，只有根據(jù)大類自身的發(fā)展情況招收具有合適大類基礎(chǔ)的本科生并制定合適的培養(yǎng)方案，才能充分發(fā)掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛力，培養(yǎng)優(yōu)質(zhì)畢業(yè)生，促進一流學(xué)科的建設(shè)。因此，本工作在機械結(jié)構(gòu)的跨尺度拓?fù)鋬?yōu)化理論基礎(chǔ)上，提出了高校大類招生質(zhì)量評估量化模型，對學(xué)生個體數(shù)據(jù)（如入學(xué)成績、報考大類和大類忠誠度）構(gòu)建各向異性微結(jié)構(gòu)量化的等效彈性矩陣表征代理模型及人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，同時以宏觀結(jié)構(gòu)應(yīng)變能對大類整體發(fā)展建立量化模型，基于多尺度有限元技術(shù)建立了多尺度優(yōu)化模型對大類招生進行優(yōu)化分析。通過對大類招生工作質(zhì)量評估，可客觀認(rèn)識所錄取學(xué)生質(zhì)量的差異性和學(xué)習(xí)潛力，進而對學(xué)生是否達到招生目標(biāo)進行全局性量化，為制定和調(diào)整招生政策提供理論參考。

1 學(xué)生個體量化模型

隨著大類招生、平行志愿和完全學(xué)分制的推廣，各大類招生時不再局限本大類第一志愿學(xué)生，同時也要吸納報考其他大類、不同考分段、不同大類訴求、甚至各類調(diào)轉(zhuǎn)大類意向的學(xué)生，因此構(gòu)建招生質(zhì)量評估模型是評價招生政策優(yōu)劣、保障招生-培養(yǎng)聯(lián)動的重要基礎(chǔ)。

招生工作中，學(xué)生個體屬性包括入學(xué)成績、報考大類和大類忠誠度，本文提出采用具有各向異性屬性的微結(jié)構(gòu)來表征每個學(xué)生個體，如圖1所示。該微結(jié)構(gòu)單胞由一個固定外框和一根可旋轉(zhuǎn)變寬度的桿（藍(lán)色區(qū)域）組成，其中微結(jié)構(gòu)體分比（相對密度）可以等效表征學(xué)生入學(xué)成績，入學(xué)成績越高體分比越大、對應(yīng)微結(jié)構(gòu)力學(xué)性能越強。約定坐標(biāo)軸x 方向代表本大類方向，藍(lán)色桿方向代表報考第一志愿大類方向，因此二者之間夾角表明了本科大類與報考大類之間的相關(guān)性，當(dāng)角度為零時，該微結(jié)構(gòu)在方向上的力學(xué)性能最佳，意味著該學(xué)生在所報考大類具有更多優(yōu)勢，相反，隨著該角度增大，報考大類的相關(guān)性就會越差。

圖1 學(xué)生個體量化微結(jié)構(gòu)

作為學(xué)生個體，其量化微結(jié)構(gòu)可通過兩個參數(shù)來描述，一是微結(jié)構(gòu)的體分比ρ，為學(xué)生的入學(xué)成績，另一個是偏轉(zhuǎn)角度θ，即大類相關(guān)性。通過改變兩個控制參數(shù)得到一系列參數(shù)化微結(jié)構(gòu)構(gòu)型，如圖2所示。

圖2 參數(shù)化微結(jié)構(gòu)構(gòu)型隨參數(shù)的演化規(guī)律

在微結(jié)構(gòu)定義基礎(chǔ)上，需要建立精確、合理、高效的微結(jié)構(gòu)性能表征模型以關(guān)聯(lián)微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)與宏觀結(jié)構(gòu)性能。為了提高后期結(jié)構(gòu)響應(yīng)的計算效率，本文提出采用多尺度有限元技術(shù)將每個微結(jié)構(gòu)看成一個超單元，與傳統(tǒng)的有限元技術(shù)不同，多尺度有限元通過構(gòu)造多尺度位移基函數(shù)來描述微結(jié)構(gòu)內(nèi)部的微觀位移信息，而這種微觀信息在進行宏觀計算的時候不需要考慮，因此顯著降低了模型復(fù)雜度。根據(jù)多尺度有限元理論，通過求解在微結(jié)構(gòu)內(nèi)部滿足邊界條件下的平衡方程來構(gòu)造多尺度數(shù)值基函數(shù)：

式中：Ni為待求解的粗網(wǎng)格節(jié)點i 上的基函數(shù)；D為組成微結(jié)構(gòu)基體材料的彈性矩陣；Ω 為微結(jié)構(gòu)求解域。根據(jù)指定邊界條件構(gòu)造完所有節(jié)點的基函數(shù)后，微結(jié)構(gòu)的等效剛度矩陣可以表達為

式中Ks為微結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣。

在實際情況中，由于對本大類的主觀認(rèn)同性和興趣方向的差異性，因此學(xué)生會有一定概率離開本大類，為描述這一情況，因此引入大類忠誠度的概念，即留在本大類不轉(zhuǎn)走的概率，其具體的取值可以通過調(diào)查問卷等措施獲得。對應(yīng)到微結(jié)構(gòu)中，該因素可以通過對剛度矩陣引入線性折減系數(shù)來衡量，因此新的微結(jié)構(gòu)等效剛度矩陣可以改寫為

式中μmin為避免微結(jié)構(gòu)剛度矩陣奇異而引入的最小折減系數(shù)，取值為0.01。

為了提高后續(xù)跨尺度優(yōu)化模型的計算效率，避免重復(fù)構(gòu)造多尺度數(shù)值基函數(shù)，基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立微結(jié)構(gòu)等效剛度的預(yù)測模型[15]。基于全試驗設(shè)計方法進行均勻采樣，選取N 個樣本微結(jié)構(gòu)并基于上述的多尺度有限元方法計算等效剛度矩陣，3種典型微結(jié)構(gòu)及其等效剛度矩陣如圖3所示。

圖3 3種典型的微結(jié)構(gòu)及其對應(yīng)的等效剛度矩陣

對4節(jié)點二維單元來說，其剛度矩陣具有64個分量，將每個分量均作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出無疑會增加網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模，同時也會導(dǎo)致訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)具有較大的誤差。因此有必要對剛度矩陣進行降維處理，采用主成分分析方法提取出一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，而微結(jié)構(gòu)的等效剛度矩陣可以進一步表達為這組基矩陣的線性組合，組合系數(shù)即為等效剛度矩陣新形式，其分量個數(shù)會遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于64。從樣本規(guī)模、訓(xùn)練速度、擬合精度等多方面綜合衡量，選擇廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為預(yù)測模型，該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由輸入層、模式層、求和層和輸出層組成，其數(shù)學(xué)表達形式為

式中：X 為輸入?yún)?shù)；Xi為模式層神經(jīng)元對應(yīng)的學(xué)習(xí)樣本；σ 為光滑因子，其值越小擬合曲面越光滑，對應(yīng)的訓(xùn)練誤差也會增大，其值越大，雖有助于減小訓(xùn)練誤差，但網(wǎng)絡(luò)的泛化能力降低。為平衡訓(xùn)練誤差和泛化能力，經(jīng)過多次數(shù)值實驗，將光滑因子設(shè)為1。

2 大類整體評估量化模型

基于上述建立的學(xué)生個體量化微結(jié)構(gòu)模型，整體大類招生質(zhì)量評估可以通過構(gòu)建以不同屬性微結(jié)構(gòu)在宏觀尺度布局為設(shè)計變量、以宏觀結(jié)構(gòu)整體應(yīng)變能最小為目標(biāo)的跨尺度結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計模型來實現(xiàn)，該模型的數(shù)學(xué)表達形式為：

式中：x 為設(shè)計變量，包含所有微結(jié)構(gòu)的位置，其中xi為第i 個微結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)向量；c 為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)變能；Ku=f 為宏觀結(jié)構(gòu)的靜力平衡方程；u和f 分別為結(jié)構(gòu)位移向量和載荷向量；K 為整體結(jié)構(gòu)剛度矩陣，由所有微結(jié)構(gòu)剛度矩陣組裝而成，而每個微結(jié)構(gòu)的等效剛度矩陣可由式（3）和式（4）快速預(yù)測。

基于該模型對西北工業(yè)大學(xué)某大類的招生質(zhì)量進行量化評估。近三年每年錄取的285名考生情況如圖4所示，按報考大類可以分為9類，其中1大類為本大類，隨著大類編號的增加，報考的大類與本大類的相關(guān)性會逐漸降低。其中2019年在9個報考大類均招收了數(shù)量不等的考生，而在后兩年為提升招生質(zhì)量取消了大類9的招生。

圖4 2019～ 2021年某大類招生情況

針對某大類招生質(zhì)量評估建立的宏觀設(shè)計域如圖5所示，該設(shè)計域被離散為20×15個微結(jié)構(gòu)單元，每個微結(jié)構(gòu)單元尺寸為10 mm ×10 mm，在設(shè)計域左側(cè)邊界在x 方向固定，同時約束左側(cè)邊界下端點y 方向的自由度，在右側(cè)邊界施加線均布壓力10 N/mm，便于壓力載荷的施加，右側(cè)添加10 mm 寬的非設(shè)計域。采用基于梯度信息的移動漸近線方法對微結(jié)構(gòu)布局優(yōu)化問題進行求解。

圖5 宏觀設(shè)計域

經(jīng)過優(yōu)化后，得到招收學(xué)生在描述大類的整體結(jié)構(gòu)中分布情況，如圖6所示。

圖6 某大類2019年招收學(xué)生分布情況

對應(yīng)的跨尺度結(jié)構(gòu)和在相應(yīng)載荷下位移分布如圖7所示，微結(jié)構(gòu)分布情況體現(xiàn)出良好的承載性能，招收學(xué)生分布合理，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能為83.66 mJ?；谔岢龅哪Ｐ蛯υ摯箢愒?020年和2021年的招生質(zhì)量執(zhí)行量化評估，得到相應(yīng)的跨尺度結(jié)構(gòu)和位移響應(yīng)分布云圖如圖8和圖9所示，同時對應(yīng)的應(yīng)變能分別為78.31 mJ 和77.55 m。

圖7 2019年大類質(zhì)量跨尺度結(jié)構(gòu)模型與位移響應(yīng)結(jié)果

圖8 2020年大類質(zhì)量跨尺度結(jié)構(gòu)模型與位移響應(yīng)結(jié)果

圖9 2021年大類質(zhì)量跨尺度結(jié)構(gòu)模型與位移響應(yīng)結(jié)果

由圖8和圖9可知，跨尺度結(jié)構(gòu)具有更佳的機械性能，說明取消9大類學(xué)生招生后，招生質(zhì)量顯著提升，而后兩年的招生質(zhì)量差別不大。

3 結(jié)束語

本文基于機械結(jié)構(gòu)跨尺度拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)提出了高校大類招生評估量化模型，從學(xué)生個體和大類整體兩個尺度出發(fā)，首先將個體入學(xué)成績、入學(xué)報考大類和大類忠誠度這3個方面屬性按照微結(jié)構(gòu)體分比、微結(jié)構(gòu)構(gòu)造特征相關(guān)度、考慮構(gòu)造缺陷的微結(jié)構(gòu)性能折減進行建模；其次基于多尺度有限元方法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型，對學(xué)生個體屬性進行綜合量化；最后構(gòu)建了以不同屬性微結(jié)構(gòu)在宏觀尺度布局為設(shè)計變量、以宏觀結(jié)構(gòu)整體應(yīng)變能最小為目標(biāo)的跨尺度結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計模型，對高校大類招生質(zhì)量的量化評估提供了有效的評估方法。